精品解析：上海市南汇中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

上海南汇中学2024学年第一学期 高一数学学科阶段练习 满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高一数学备课组 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集运算的定义求解即可. 【详解】，, 所以. 故答案为：. 2. 陈述句“或”的否定形式是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据命题的否定即可得到结论. 【详解】命题“或”的否定形式为“且”. 故答案为：且. 3. 已知集合，，若，则实数m＝________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用集合间的包含关系，对两集合中的元素进行分类讨论即可得出结果. 【详解】根据题意若满足可知或， 解得或或； 经检验时，集合中，不合题意，舍去； 所以可得或. 故答案为：或. 4. 若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，则. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 5. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，且，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理结合题意即可求解. 【详解】，所以. 故答案为：. 6. 若，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，解一元一次不等式即可. 【详解】由，得，则不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 7. 已知，则集合A的非空真子集的个数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 8. 已知对任意恒成立，则________． 【答案】 【解析】 【分析】等式右边化简得，根据题意由对应系数相等求出即可. 【详解】 ， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 9. 已知集合，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列式求解即得. 【详解】当时，恒成立，因此； 当时，，解得，因此， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 10. 若不等式的解集是，则的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得，然后再解不等式可得． 【详解】不等式的解集是， 是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得， 则化为，解得． 的解集为． 故答案为：． 11. 设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，求出含有每个元素的集合个数，再求和计算可得结果. 【详解】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 12. 设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】根据题意，满足集合A为I的一个好子集的情况共有以下四种： ①当，即集合A中元素的个数为1时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ②当，即集合A中元素的个数为2时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ③当，即集合A中元素的个数为3时，集合A的可能情况为 所以集合A的个数为; ④当，即集合A中元素的个数为4时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; 所以I的所有好子集的个数为. 故答案为：27. 【点睛】关键点睛：本题重点在于对新定义“好子集”的理解，分类讨论，进行求解. 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可. 【详解】因为，即充分性成立， 当，可知，此时不成立，即必要性不成立， 故“”是“”的是充分不必要条件. 故选：B 14. 下列结论中正确的是（ ）． A. 所有的集合都可以用列举法表示 B. 集合表示空集 C. 集合，，则 D. 已知，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据集合的定义可判断B；根据集合的性质可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，不能用列举法表示，故A错误； 对于B，集合表示含有元素的集合，不是空集，故B错误； 对于C，集合表示上的点构成的集合， 表示的实数构成的集合，则，故C错误； 对于D，因为，所以，则，故D正确. 故选：D. 15. ，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法结合不等式性质对选项逐一分析即可. 【详解】， ，所以， 所以，即，所以，故正确； ，所以， 所以，即， 所以，故正确； ，， 所以，所以，故错误； ，所以，故正确. 故选：. 16. 设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（ ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的定义，结合子集的意义判断各个命题即可. 【详解】对于集合，， 任意，即，则，即有， 因此对任意a，是的子集，命题③④错误； 对于集合，， 当时，，，则是的子集， 当时，，， 则不是的子集，命题①③错误， 所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假都需推理证明；判断全称量词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明即可. 三、解答题（分） 17. 已知集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交运算即可求解； （2）根据集合并运算即可求解. 【小问1详解】 集合，， 则. 【小问2详解】 集合，， 则. 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】（1） （2）2， 【解析】 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【小问1详解】 由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 【小问2详解】 当，可得， 所以， 所以， 19. 解决下列问题： （1）设，比较与的大小； （2）若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 【答案】（1）； （2） 假设和中都不大于，即，， 因为，所以，， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设错误，从而和中至少有一个大于． 【解析】 【分析】（1）用作差法比较大小； （2）假设和中都不大于，即，，两个不等式分别乘以它们的公分母后相加得出与已知矛盾的结论，从而可完成证明． 【小问1详解】 ∵，∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 20. 集合，，， （1）试求实数a的取值范围，使； （2）若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1）或； （2）不存在,理由如下： 由（1）可知或， 显然，且； 因此只需满足即可， 又因为a为正数， 可知时，，因为 可得，解得，此时无解； 因此不存在满足题意的 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，再对实数a的取值范围进行分类讨论即可得出论； （2）由（1）中的结论并根据交集结果分类讨论即可求得结果. 【小问1详解】 解不等式可得， 解不等式可得或， 因此可得； 当时，，不合题意； 当时，解得， 若，可得，解得； 当时，解得， 若，可得，解得； 综上可知，实数a的取值范围为或； 【小问2详解】 略 21. 已知集合P为非空数集，定义，． （1）若集合，请直接写出集合和； （2）若且，集合满足，求的最小值； （3）若集合，，且，求证：． 【答案】（1）， （2） （3） 由于，. 故，. 显然中不包含负数，且一定包含，故由知. 再由，，知，即. 进一步有，故，即. 再进一步有，故，即. 所以. 【解析】 【分析】（1）直接根据根据和的定义即可得到结果； （2）先说明当时条件不满足，再说明当时条件满足，即可得到的最小值是. （3）先由的性质确定，然后反复讨论的取值，即可得到所要证明的结论. 【小问1详解】 根据和的定义，有，. 【小问2详解】 当时，由于，故. 所以，，这与矛盾； 当时，对任意，由于，故，. 这就意味着，，所以. 综上，的最小值是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解和的定义，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2024学年第一学期 高一数学学科阶段练习 满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高一数学备课组 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 已知集合，，则________． 2. 陈述句“或”的否定形式是__________． 3. 已知集合，，若，则实数m＝________． 4. 若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为______． 5. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，且，则实数的值为________． 6. 若，则关于x的不等式的解集为________． 7. 已知，则集合A的非空真子集的个数为________． 8. 已知对任意恒成立，则________． 9. 已知集合，则实数m的取值范围是________． 10. 若不等式的解集是，则的解集为_______． 11. 设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则______． 12. 设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为________． 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列结论中正确的是（ ）． A. 所有的集合都可以用列举法表示 B. 集合表示空集 C. 集合，，则 D. 已知，，，则 15. ，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（ ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（分） 17. 已知集合，． （1）求； （2）求． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）取，设一元二次方程两个根为，求，． 19. 解决下列问题： （1）设，比较与的大小； （2）若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 20. 集合，，， （1）试求实数a的取值范围，使； （2）若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 21. 已知集合P为非空数集，定义，． （1）若集合，请直接写出集合和； （2）若且，集合满足，求的最小值； （3）若集合，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $