精品解析：北京工业大学实验学校2024-2025学年上学期期中模拟考试八年级数学试卷

北京工业大学实验学校2024-2025学年度第一学期期中模拟考试八年级数学学科试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 3. 若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 4. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是( ) A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 6. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A 12 B. C. D. 8. 如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①＋的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 _______． 10. 如图，点P在正五边形的边上运动(不与点B，C重合)，若，则x的取值范围是________． 11. 已知点．写出点关于直线的对称点的坐标_________． 12. 一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多，则这个多边形的边数为_________． 13. ________；已知，，则________． 14. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC=7，BC=5，则△BDC的周长是____． 15. 如图，在正方形中，E为边的中点，G、F分别为，边上的点，若，，，则的长为__________． 16. 如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是__________，当取得最小值时，的度数是__________． 三、解答题（共44分） 17. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 18. 如图，在△ABC中， （1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD． （2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长． 19. 如图，分别平分和，若度，求的度数． 20. 如图，在四边形中，，且与的平分线相交于O，求的度数． 21. 已知，求代数式的值． 22. 学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据下面的流程图，计算 ． （1）依据上面流程图计算时，需要经历的路径是 （只填写序号）； （2）依据（1）中路径写出正确解答过程． 23. （1）如果，那么的值是 ，的值是 ； （2）如果，求值； 24. 下面是“求作的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图，针角． 求作：的角平分线． 作法：①在和上，分别截取，使； ②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点； ③作射线． 所以射线就是所求作的的角平分线． （1）请你根据上述作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）； （2）在该作图中蕴含着几何的证明过程： 由①可得： 由②可得： 由③可知： （依据： ） 可得（全等三角形对应角相等） 即就是所求作的角平分线． 25. 如图，中，过作，交直线于，在线段上取一点，使，作的垂线交于、交于、根据题意补全图形； 求证：； 探索、、的数量关系，并证明你的结论． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和数，将点称为点的“-关联点”，例如，点的“3-关联点”为． （1）若点是点的“1-关联点”，则点的坐标为 ； （2），的“-关联点”分别是点，，且点在轴上，的面积为1，求和的值； （3）点，，以为边在直线的下方作正方形，点，，的“-关联点”分别为，，，若与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围． 27. 如图，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，AC与BD交于点O． （1）求证：OB＝OD； （2）若AC＝8，BD＝6，求△ABC的面积． 28. 如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． （1）______．（用代数式表示） （2）当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京工业大学实验学校2024-2025学年度第一学期期中模拟考试八年级数学学科试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，根据两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形，从而对选项进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A．，不能组成三角形； B．，不能够组成三角形； C．，能组成三角形； D．，不能组成三角形． 故选：C． 3. 若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设边数为x，根据题意可列出方程进行求解. 【详解】设边数为x，根据题意得（x-2）×180°=2×360° 解得x=6 故选B. 【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知多边形的外角和为360°. 4. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一副三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一副三角板中各个角的度数是解题的关键． 5. 若一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是( ) A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据多边形的内角和公式，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 根据题意得：， 解得， 故选：C． 6. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解． 【详解】解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得： ， 解得：， 即这个底角的度数为40°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 7. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和乘积的倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴这两个数为和， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构特征，熟记完全平方公式，注意积的倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 8. 如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①＋的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积；如图作于，于．只要证明，，即可一一判断． 【详解】解：如图作于，于． ， ， ， ， ， 平分，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴故①正确； ∴， ∴定值，故④正确， 设， ， ， ， ， ， ，故②正确， 在旋转过程中，是等腰三角形，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的定义及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．分当腰长是时和当腰长是时两种情况求解． 【详解】解：当腰长是时，因为，不符合三角形的三边关系，应排除； 当腰长是时，因为，符合三角形三边关系，此时周长是； 答案：14． 10. 如图，点P在正五边形的边上运动(不与点B，C重合)，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点P在点B处时，可知；当点P在点C处时，求得，再根据题意即可求解． 【详解】解：当点P在点B处时， 则，即； 当点P在点C处时， 正五边形的内角度数为，且， ， 即， 点P在正五边形的边上运动(不与点B，C重合)， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正五边形的性质 ，等腰三角形的性质，解题的关键是要注意进行分类讨论． 11. 已知点．写出点关于直线的对称点的坐标_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质．根据题意在平面直角坐标系中画出三点坐标，可知轴，再根据轴对称性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴如图所示： 由图可知，轴，直线为， ∴点关于直线的对称点坐标为，即图中点位置 故答案为：． 12. 一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多，则这个多边形的边数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，外角和定理．根据题意设正多边形每个外角度数为x，则每个内角为，再利用多边形内角与外角互补列出方程求得每个外角度数，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：设正多边形每个外角度数为x， ∵一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多， ∴每个内角为， ∴，解得：， ∴这个多边形的边数为：， 故答案为：． 13. ________；已知，，则________． 【答案】 ①. ## ②. 6 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方运算，同底数幂乘法的逆运算，根据积的乘方运算法则即可求出的值，利用同底数幂乘法的逆运算得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【详解】； ∵，， ∴． 故答案为：，6． 14. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC=7，BC=5，则△BDC的周长是____． 【答案】12 【解析】 【分析】首先利用垂直平分线的性质得出，然后通过等量代换求解即可． 【详解】∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ． ∵AC=7，BC=5， ∴△BDC的周长是， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，E为边的中点，G、F分别为，边上的点，若，，，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确利用相似求出是解题的关键．利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等，可得，进而可得，利用相似三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出的长． 【详解】∵四边形为正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵E为边的中点， ∴， ∴ ∴或（舍去） ∴，， ∴ 故答案为：5． 16. 如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是__________，当取得最小值时，的度数是__________． 【答案】 ①. 4 ②. ##20度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果，先求出的度数，即可求出取得最小值时，的度数． 【详解】作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接， 则， ∴ ∴为的最小值． ∵，，， ∴， ∴等边三角形， ∴ 即的值最小为4 当取得最小值时， 由作图知 故答案为： 4，． 三、解答题（共44分） 17. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 【答案】（1）补图见解析； （2），，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【解析】 【分析】（）根据题意补全图形，即可； （）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证； 本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为补全的图形； 【小问2详解】 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 18. 如图，在△ABC中， （1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD． （2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析 （2）26 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）求出BC+AB=18，AC=8，可得结论． 【小问1详解】 解：如图，直线DE即为所求． 【小问2详解】 ∵DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC，AE=CE=4， ∴AC=8， ∵△BDC的周长=BC+BD+DC=BC+BD+DA=BC+AB=18． ∴△ABC的周长=BC+AB+AC=18+8=26． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形周长，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 19. 如图，分别平分和，若度，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．由三角形的内角和可求得，再由角平分线的定义可求得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】解：， ， 、分别平分和， ，， ， ． 20. 如图，在四边形中，，且与的平分线相交于O，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据四边形内角和为360度求出，再由角平分线的定义求出，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴． 21. 已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， 当时， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则． 22. 学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据下面的流程图，计算 ． （1）依据上面流程图计算时，需要经历的路径是 （只填写序号）； （2）依据（1）中路径写出正确解答过程． 【答案】（1）②④；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）观察到分母不一样得经过②，作差得需要经过④； （2）先通分，化为同分母分式，再相减． 【详解】解：（1）根据的形式可选②， ，选④， 故答案是：②④； （2）原式， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式运算，解题的关键是掌握分式运算的基本步骤． 23. （1）如果，那么的值是 ，的值是 ； （2）如果，求的值； 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式； （1）根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式，得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）， ． ∴ ． 24. 下面是“求作的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图，针角． 求作：的角平分线． 作法：①在和上，分别截取，使； ②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点； ③作射线． 所以射线就是所求作的的角平分线． （1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）； （2）在该作图中蕴含着几何的证明过程： 由①可得： 由②可得： 由③可知： （依据： ） 可得（全等三角形对应角相等） 即就是所求作的的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定与性质．根据题意正确作图是解题的关键． （1）按照步骤作图即可； （2）根据按照步骤写出证明的过程，然后进行作答即可． 【小问1详解】 解：如图1，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：由①可得：， 由②可得：， 由③可知：， ∴， ∴可得（全等三角形对应角相等）， 即就是所求作的的角平分线． 故答案为：，，、． 25. 如图，中，过作，交直线于，在线段上取一点，使，作垂线交于、交于、根据题意补全图形； 求证：； 探索、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】图形见解析；证明见解析；，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，旨在考查学生的推理论证能力． 根据题意即可完成作图；根据、即可求证；作，延长交于点，证得，进而推出，再证得即可求解． 【详解】解：①如图1所示： ②∵，, ∴ ∵， ∴ ∴ ③，理由如下： 作，延长交于点，如图2所示： 结合上述证明过程可得： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 26. 在平面直角坐标系中，对于点和数，将点称为点的“-关联点”，例如，点的“3-关联点”为． （1）若点是点的“1-关联点”，则点的坐标为 ； （2），的“-关联点”分别是点，，且点在轴上，的面积为1，求和的值； （3）点，，以为边在直线的下方作正方形，点，，的“-关联点”分别为，，，若与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），或， （3）或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了坐标与图形、一元一次不等式等知识点，掌握数形结合的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据定义即可求解； （2）根据定义得，，结合点在轴上得；由的面积等于即可求解； （3）根据题意作出正方形得到正方形的边界，根据定义得，，，结合与正方形的边有公共点即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是点的“1-关联点”， ∴点的坐标为 故答案为： 【小问2详解】 解：∵，的“-关联点”分别是点，， ∴， ∵点轴上， ∴ ∴ ∵的面积为1， ∴， 即：， 解得：或 此时，或 【小问3详解】 解：由题意作出正方形，点，，，如图所示： 可知：， ∵点，，的“-关联点”分别为，，， ∴，，， ∵与正方形的边有公共点， ∴或， 解得：或 27. 如图，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，AC与BD交于点O． （1）求证：OB＝OD； （2）若AC＝8，BD＝6，求△ABC的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）由角边角证明△ADC≌△ABC，其性质得AD=AB，等腰三角形的定义得△ADB是等腰三角形，其性质得OB=OD； （2）由等腰三角形的性质得AO⊥BD，OB=OD=BD，面积公式求出△ABC的面积为12． 【小问1详解】 证明：∵AC平分∠BAD，CA平分∠BCD， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA， 在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC(ASA)， ∴AD＝AB， ∴△ADB是等腰三角形， ∴OB＝OD； 【小问2详解】 解：由（1）可知： AO⊥BD，OB＝OD， ∵BD＝6， ∴OB， 又∵AC＝8， ∴12． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积公式等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质． 28. 如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． （1）______．（用的代数式表示） （2）当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当或时与全等． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【小问1详解】 解：依题意，得， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$