精品解析：山西省吕梁市临县多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷

2024-2025学年九年级上期中评估试卷 数学试卷 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 把一元二次方程化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，，1 B. 3，1，4 C. 3， D. 3，4，1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，熟记一元二次方程一般式、二次项系数、一次项系数、常数项定义是解决问题的关键． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，1， 故选：A． 2. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，得到两个一元一次方程：，从而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 模型思想 C. 函数思想 D. 转化思想 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，熟练掌握利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想是解题的关键． 由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可． 【详解】解：解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程：，或．进而得到原方程的解为，，．这种把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解法体现的数学思想是转化思想． 故选：D． 4. 二次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据二次函数的图象的开口，对称轴，与轴的交点，判断图象经过的象限，然后作答即可． 【详解】解：∵，二次项系数为 ∴图象开口向上， 对称轴为直线， 当时，，即图象过原点， ∴图象经过第一、第二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 5. 如图，中，点A是的中点，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵点A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 6. 如图，菱形的对角线交于点O，，将绕着点C旋转得到，则点A与点之间的距离为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】根据菱形的性质得到，，再由旋转的性质得到，，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【解答】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴ ∵将绕着点C旋转得到， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点A与点之间的距离为10，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 7. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程根的判别式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键． 先将方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A. ， 即：， ， 方程没有实数根， 故选项符合题意； B. ， ， 方程有两个相等的实数根， 故选项不符合题意； C. ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选项不符合题意； D. ， 即：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选项不符合题意； 故选：． 8. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】解：将小路平移到边上，如图所示： 图中空白部分即是种植面积为的地方，则， 故选：B． 9. 石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度（所对的弦的长）约为，拱高（的中点到弦的距离）约为，则所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，点圆心，连接，由垂径定理的推论可得，进而利用勾股定理求出半径即可，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 【详解】解：如图，点圆心，连接， 由题意可得，，，， ∴， 设圆的半径为，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 10. 已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的两根是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y轴交点位置可知， ∴，A选项正确，不符合题意； 根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于和， ∴方程的两根是，B选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，变形可得，D选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，故时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，C选项不正确，符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是_____________． 【答案】x1＝4，x2＝﹣3 【解析】 【分析】直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵（x﹣4）（x+3）＝0， ∴x﹣4＝0或x+3＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣3； 故答案为：x1＝4，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=125°，则∠C的度数为______． 【答案】55°##55度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=125°， ∴∠C=180°-125°=55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 13. 若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用二次函数图象解不等式，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象与坐标轴交点坐标求法，先由待定系数法确定抛物线解析式，求出抛物线与轴的交点，再由二次函数图象与性质得到抛物线开口向上，即可确定不等式的解集，熟练掌握利用二次函数图象解不等式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ，解得，则抛物线， 令，则，即，解得，， ， 抛物线开口向上， 当，抛物线在轴及轴下方， 不等式的解集是， 故答案为：． 14. 铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是_________m． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的函数和性质，把二次函数一般形式化成顶点式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为3． 则铅球的最大行进高度是， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，是边上一点，对角线相交于点，于点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，如图所示，由中点定义、矩形对角线相互平分及三角形中位线的判定与性质得到相关线段长及，在由矩形的判定与性质确定长，最后在中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ， 在矩形中，对角线相交于点，则是中点， 是的中位线，即，， 在矩形中，，即， ， ，则， 在矩形中，， 四边形是矩形，即， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及中点定义、中位线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）以下是小夏同学解方程的过程，请解决问题： 解：原方程可变形为， 第一步 方程两边同时除以得， 第二步 ∴原方程的解是． 第三步 ①上述解方程的过程从第_______步开始出错，错误的原因是____________ ②请直接写出方程的解：_________________________ 【答案】（1）；（2）①二；没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形，② 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解可得． （2）①依据等式的基本性质判断即得；②利用因式分解法求解可得． 【详解】解：（1）原方程变形为，这里， ∴． ． ． （2）①二，没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形． 故答案为：二，没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形． ②原方程可变形为． 移项，得． 分解因式，得． ∴． ∴． 故答案为：． 17. 已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求点，，，的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（每个小方格的边长都是个单位长度）． （2）描述抛物线是由抛物线如何平移得到的． （3）求四边形的面积． 【答案】（1），，，， 二次函数的大致图象如下图所示： （2）抛物线可由抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到（方法不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）令，则，利用因式分解法解该一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点，的坐标；令，则，于是可求出抛物线与轴的交点的坐标；将抛物线化成顶点式，利用二次函数的图象与性质即可求出其顶点的坐标；最后，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象即可； （2）将抛物线的解析式化成顶点式，然后再根据“左加右减，上加下减”的平移规律来进行判断即可； （3）连接，则可得，利用三角形的面积公式即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，则， ， ， ， 【小问2详解】 解：， 抛物线可由抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到（方法不唯一）； 【小问3详解】 解：如图，直线是该抛物线的对称轴，其中点为对称轴与轴的交点， 由抛物线的顶点式可知，该抛物线的对称轴为直线， ， ，，， ， ， ， ， 如图，连接，则可知： ， 四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，求函数值， 把化成顶点式，的图象和性质，画的图象，二次函数图象的平移，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并善于将不规则图形划分成三角形求解面积是解题的关键． 18. 如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求弦的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵直径垂直弦于点， ∴， ∴， ∴， 又∵为的中点，经过圆心， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由垂径定理及垂直平分线性质得到、，再由弦与弧的关系及垂径定理推论确定，进而由垂直平分线判定与性质得到即可得证； （2）由（1）中结论，判定是等边三角形，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角确定，在中，利用勾股定理即可得到，从而确定答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴是等边三角形， ∴， 连接，如图所示： ， 在中，，，则由勾股定理可得， ∴． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理及其推论、垂直平分线的判定与性质、弦与弧的关系、等边三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解决问题的关键． 19. 大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80 单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26 （1）根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植x株（），则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒． （2）如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 【答案】（1） （2）单位面积大豆应种植60株 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，及一元二次方程的应用． （1）设单株的平均产量为y，由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数．设y与x的关系式为，在表格中取两组值代入，求出k、b的值，即可得到单位面积试验田单株的平均产量； （2）根据题意列出一元二次方程，求出x的值，再根据题意选取合适的值即可． 【小问1详解】 解：设单株的平均产量为y， 由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数． 设y与x的关系式为， 将，；，代入得 ， 解得， ∴y与x的关系式为：， 单位面积试验田单株的平均产量粒； 【小问2详解】 解：根据题意可列方程：． 整理，得， 解得． ∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故应舍去， ∴． 答：单位面积大豆应种植60株． 20. 某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x（单位：吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x（单位：吨）近似满足函数关系 （其中a，b为常数，），且当进货量为1吨时，销售利润为万元，当进货量为2吨时，销售利润为万元．如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨，问这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大？最大利润是多少？ 【答案】甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二元一次方程组的应用等知识，由题意可知，求解得到，再根据二次函数最值的求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴， 设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元， 根据题意，， ∵， ∴当时，W的最大值为， ∴， 答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是万元． 21. 阅读与思考 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ， ， ， ， （1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征． （2）方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征． （3）请以一元二次方程（，）为例证明关联方程根的关系特征． 【答案】（1） 一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数， 一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数； （2） 是，理由如下： 方程和的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程； 方程的根是：，， 方程的根是：，， 它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征； （3） 证明：一元二次方程（，）的根是：， 它的关联方程的根是：， 它们的两个根对应互为相反数． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断是否互为相反数，公式法解一元二次方程等知识点，通过观察表格信息发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过观察表格信息即可发现并得出一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征； （2）根据一元二次方程和关联方程的系数特征进行判断即可；利用公式法求解两个方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可； （3）利用公式法解一元二次方程及其关联方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： （1）在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． （2）若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? （3）在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2）喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内 （3）王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质及其在实际问题中的应用，熟练抛物线的解析式、抛物线的对称性和与x轴的交点等性质是解题的关键； （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，即可得出解析式； （2）表示出水池的半径，在加上水平距离即可； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的x值，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 由题意可知，，抛物线的顶点， 设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由题可知C为喷水池中心，则为喷水池的半径时，喷出的水都落在水池内， ，， ∴． 答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． 【小问3详解】 解：当时，， 解得， ． 答：王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C逆时针旋转到的位置，点A，B的对应点分别是与相交于点D．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过的中点D时，试判断四边形与的位置关系，并加以证明． 问题解决：（1）请你解答老师提出的问题． 数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A与点之间的距离． 数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：，理由如下， 由旋转的性质可知． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）的长为2或或 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，利用直角三角形的性质得，则有，即可判断； 在中，利用勾股定理求得，结合三角形面积公式可得，由旋转可知，即可解得和，则有； 分、和对应求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：如图，连接， 在中，根据勾股定理可得． 根据三角形面积公式可得， 由旋转可知． ∴， 在中，根据勾股定理可得， 在中根据勾股定理可得 ∴点A与点之间的距离为 （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当时， 过点C作交于点E，如图， 则， ∵， ∴， ∴， 则； ③当时， ∵D是的中点， ∴， 故的长为2或或． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质和分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级上期中评估试卷 数学试卷 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 把一元二次方程化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，，1 B. 3，1，4 C. 3， D. 3，4，1 2. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，得到两个一元一次方程：，从而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 模型思想 C. 函数思想 D. 转化思想 4. 二次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，中，点A是的中点，若，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线交于点O，，将绕着点C旋转得到，则点A与点之间的距离为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度（所对的弦的长）约为，拱高（的中点到弦的距离）约为，则所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的两根是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是_____________． 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=125°，则∠C的度数为______． 13. 若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是____________． 14. 铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是_________m． 15. 如图，在矩形中，是边上一点，对角线相交于点，于点，连接．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）以下是小夏同学解方程的过程，请解决问题： 解：原方程可变形为， 第一步 方程两边同时除以得， 第二步 ∴原方程的解是． 第三步 ①上述解方程的过程从第_______步开始出错，错误的原因是____________ ②请直接写出方程的解：_________________________ 17. 已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求点，，，的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（每个小方格的边长都是个单位长度）． （2）描述抛物线是由抛物线如何平移得到的． （3）求四边形的面积． 18. 如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求弦的长． 19. 大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80 单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26 （1）根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植x株（），则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒． （2）如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 20. 某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x（单位：吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x（单位：吨）近似满足函数关系 （其中a，b为常数，），且当进货量为1吨时，销售利润为万元，当进货量为2吨时，销售利润为万元．如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨，问这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大？最大利润是多少？ 21. 阅读与思考 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ， ， ， ， （1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征． （2）方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征． （3）请以一元二次方程（，）为例证明关联方程根的关系特征． 22. 综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： （1）在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． （2）若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? （3）在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C逆时针旋转到的位置，点A，B的对应点分别是与相交于点D．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过的中点D时，试判断四边形与的位置关系，并加以证明． 问题解决：（1）请你解答老师提出的问题． 数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A与点之间的距离． 数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $