精品解析：甘肃省西北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

西北师大附中 2024—2025学年第一学期期中考试试题 高二数学 命题人：但立平 审题人：张勇 一､单选题（本题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 2. 已知，，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】依题意根据计算可得； 【详解】解：因为，， 则，所以事件与事件不相互独立， ． 故选：B 3. 过点，且法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的点法式方程即可得出正确答案. 【详解】由直线的点法式方程可得所求直线方程为：， 即. 故选：A. 4. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过. 【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的， 那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为 故选：A. 5. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离. 【详解】∵直线与平行， ∴且，解得． ∴直线与间的距离． 故选：B． 6. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（ ） A. 4.5尺 B. 5.5尺 C. 6.5尺 D. 7.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列，公差为，根据条件列出关于的方程组，求出可得答案. 【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为 ，且是等差数列，设其公差为， 依题意有， 解得，则. 故选：D. 7. 已知等比数列满足：，则的值为（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得：，对进行化简后求值即可. 【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：. 所以． 故选：D 8. 设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度. 【详解】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故选A. 【点睛】一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 今年”国庆"假期期间，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（ ） A. 小王和小张都中奖的概率为0.1 B. 小王和小张都没有中奖的概率为0.48 C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D. 小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用随机事件概率以及相互独立事件的定义，根据对立事件概率的加法公式对选项逐一计算可得结论. 【详解】记事件：顾客小王中奖，事件：顾客小张中奖，则小王、小张未中奖可记为； 易知； 由题意可知与相互独立，所以与，与，与均相互独立； 所以小王和小张都中奖的概率为，即A错误； 小王和小张都没有中奖的概率为，可得B正确； 小王和小张中只有一个人中奖的概率为，即C正确； 小王和小张中至少有一个人中奖的概率为，即D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据直线的一个方向向量为进行求解；B选项，分截距为0和不为0两种情况进行求解；C选项，设出对称点，列出方程组，求出对称点坐标；D选项，画出图形，求出，数形结合得到或，D正确. 【详解】A选项，的斜率为， 故直线的一个方向向量为，A正确； B选项，当直线的截距为0时，设直线方程为，将代入得，， 故此时直线方程为， 当直线的截距不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，故直线方程为， 综上，直线方程为或，B错误； C选项，设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点为，C正确； D选项，画出图形如下： 则， 直线过点且与线段有公共点，则或， 则的取值范围是，D正确. 故选：ACD 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 数列为等差数列 D. 为奇数时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，则， 对任意的，由可得， 上述两个等式作差可得， 所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列， 数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列， 当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 综上所述，，B对； 对于C选项，，故数列不是等差数列，C错； 对于D选项，当为奇数时，设，则， 则 ，D对. 故选：ABD. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用等比数列性质求得，然后由等差数列前项和公式计算． 【详解】因为公差，且成等比数列， 所以，即，解得， 所以． 故答案为：0 13. 已知，直线和垂直，则的最小值为__________. 【答案】8. 【解析】 【分析】根据两直线垂直的关系可得到关于和的关系式，再根据关系式结合基本不等式求出的最小值即可. 【详解】由题意得，因为直线和垂直， 则，即， 所以， 因为，所以，， 所以根据基本不等式，， 所以， 所以的最小值为8，当且仅当时等号成立， 故答案为：8. 14. 已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为__________. 【答案】2025 【解析】 【分析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再利用及的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是以首项为4，公差为2的等差数列， 故， 由累加法可知当时， ， 所以，，又也符合该式，所以. 所以， 又时，， 又时，，此时， 所以的前2024项和为. 故答案为：2025. 【点睛】关键点点睛：构造数列并求通项公式，再由累加法求的通项公式，结合函数新定义求目标式的值. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应该写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的三个顶点是，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出点的中点坐标，从而可得边上的中线所在直线的斜率，然后根据点斜式即可写出直线方程； （2）求出点的中点坐标，求出直线的斜率可得其垂直平分线的斜率，然后根据点斜式即可写出直线方程. 【小问1详解】 点的中点， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即； 【小问2详解】 点的中点坐标为， 直线的斜率为， 则边上的垂直平分线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为， 即. 16. 甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是，甲､丙都未命中的概率是，乙､丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙､丙两人各自命中的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率. 【答案】（1）乙､丙两人各自命中的概率分别； （2） 【解析】 【分析】（1）设乙､丙两人各自命中的概率分别为，由题意得到方程组，求出； （2）求出甲､乙､丙三人均命中的概率和2人命中的概率，相加得到答案. 【小问1详解】 设乙､丙两人各自命中的概率分别为， 故，，解得， 故乙､丙两人各自命中的概率分别； 【小问2详解】 甲､乙､丙三人均命中的概率为， 甲､乙､丙三人中2人命中的概率为 ， 故甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率为. 17. 设函数，数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，若对一切成立，求最小正整数的值. 【答案】（1）证明：结合题意可知， 两边取倒数可得：，即. 所以数列是以首项，公差为的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过两边取倒数进行变形构造，再利用定义法证明; （2）利用裂项相消法求和，再利用函数方法研究最值来处理恒成立问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上问可知数列是以首项，公差为的等差数列， 所以，所以. 所以. 又，也满足上式，所以 由可得： ， 所以，因为对一切成立， 所以,解得. 最小正整数的值为. 18. 已知直线：． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）①的最小值为，；②. 【解析】 【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解； （2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算 的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程. 【详解】（1）由可得：， 由可得，所以经过的定点坐标； （2）直线：， 令可得；令，可得， 所以， 由可得：， ①的面积 ， 当且仅当即时等号成立，的最小值为， 此时直线的方程为：即； ②设直线的倾斜角为，则，可得，， 所以， 令， 因为，可得，， ， 将两边平方可得：， 所以， 所以， 因为在上单调递增，所以 ，所以，此时， 可得，所以， 所以直线的方程为. 19. 已知为数列的前n项和，且，数列前n项和为，且，． （1）求和的通项公式； （2）设，设数列的前n项和为，求； （3）若数列满足：，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 由（1）知，则， 设，则， 所以，所以， 所以 ， 即. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可得到，根据得到，结合等比数列的定义即可得到； （2）根据得到，结合等差数列前n项求和公式计算即可； （3）由（1）可得，利用作差法证明不等式，可得，结合等比数列前n项求和公式计算即可证明. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，， 检验时，，所以； 因为，（）， 所以，即（）， 而，故满足上式， 所以数列是以，公比等于的等比数列，即； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2024—2025学年第一学期期中考试试题 高二数学 命题人：但立平 审题人：张勇 一､单选题（本题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 3. 过点，且法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（ ） A. 4.5尺 B. 5.5尺 C. 6.5尺 D. 7.5尺 7. 已知等比数列满足：，则的值为（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 8. 设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为 A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 今年”国庆"假期期间，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（ ） A. 小王和小张都中奖的概率为0.1 B. 小王和小张都没有中奖的概率为0.48 C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D. 小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52 10. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 数列为等差数列 D. 为奇数时， 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则__________. 13. 已知，直线和垂直，则的最小值为__________. 14. 已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应该写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的三个顶点是，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程. 16. 甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是，甲､丙都未命中的概率是，乙､丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙､丙两人各自命中的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率. 17. 设函数，数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，若对一切成立，求最小正整数的值. 18. 已知直线：． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 19. 已知为数列的前n项和，且，数列前n项和为，且，． （1）求和的通项公式； （2）设，设数列的前n项和为，求； （3）若数列满足：，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $