上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024学年第一学期南模中学高二年级期中考试 数学学科 （本次考试时间120分钟，满分150分，命题人：高俊翔，审题人：艾晓云） 一、填空题（本大题共有12题） 1. 空间两直线所成的角大小的取值范围是__________. 2. 如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为_____. 3. 已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=__． 4. 以下四个命题中，所有真命题的序号为__________.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 5. 正方体中，点为的中点，则异面直线，所成的角的大小为__________. 6. 已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为__________. 7. 如图，在正四棱柱中，，，为的中点，则点到平面的距离为__________. 8. 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知，是两个相交平面，空间两条直线、在上的射影是直线、，、在上的射影是直线，．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：________． 9. 已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为和，高为，将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为__________. 10. 已知正四面体中，，、，…，在线段上，且，过点（、、…、）作平行于直线、的平面，截面面积为，则所有截面积之和为__________. 11. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面 内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最小时，记过点的平面截正方体所得到的截面为，所有的面积组成的集合记为，则_______． 12. 在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为___________. 二、选择题（本大题共有4题） 13. 如图、用斜二测画法作△的直观图得△，其中，是边上的中线，由图形可知，在△（是的中点）中，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 15. 分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为､､，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题） 17. 已知长方体中，，，E，F分别是，的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，. （1）求异面直线和所成角； （2）求二面角的正切值. 19. 如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，设、的纵坐标为. （1）求此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积和表面积关于的表达式； （2）求、的取值范围. 20. 对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. （1）若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； （2）在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； （3）若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 21. 如图，在平行六面体中，，，平面，与底面所成角为，设直线与平面､平面､平面所成角的大小分别为，，. （1）若，求平行六面体的体积的取值范围； （2）若且，求，，中的最大值； （3）若，，，，（其中，是指，中的最大的数），求的最小值. 2024学年第一学期南模中学高二年级期中考试 数学学科 （本次考试时间120分钟，满分150分，命题人：高俊翔，审题人：艾晓云） 一、填空题（本大题共有12题） 【1题答案】 【答案】. 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】②④ 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】，且与相交（或：，且与相交） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共有5题） 【17题答案】 【答案】 （1）取的中点P，连接，，由条件E，F分别是，的中点可知 ，且 故为平行四边形，所以 ∵平面，且平面 ∴平面 （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 【20题答案】 【答案】（1）20 （2），理由如下： 当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时，（*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3）不存在，理由如下： ，则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【21题答案】 【答案】（1） （2），，中最大值为 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $