精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

河溪中学2024-2025学年度第一学期学月考试 高一数学科试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答第1卷前，务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第一部分（选择题） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 以下四组函数中，表示同一函数是（ ） A. B. f（x）= C. D. f（x）=，g（t）= 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上奇函数，且当时，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，答案是三个选项的，对1个得2分；两个选项的对1个得3分，选错得0分） 9. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若时， C. 若时，关于轴对称 D. 恒过定点 10. 已知函数满足，有，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 是增函数 11. 下列函数的最小值为2的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则“”是“”的_______.（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 13. 函数的单调递增区间是_________. 14. 若不等式对于一切恒成立，则实数a取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，，. （1）列举法表示集合、、、； （2）求； （3）求； 16. 已知函数 （1）求； （2）若，求的取值范围 （3）画出的图象，并写出函数的单调区间和值域. （直接写出结果即可） 17. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 18. 对于函数，分析并求解下列问题： （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （3）解不等式：； 19. 设. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，解关于的不等式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河溪中学2024-2025学年度第一学期学月考试 高一数学科试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答第1卷前，务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第一部分（选择题） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为集合， ， 因此. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由特称命题的否定为全称命题，即可得到结果； 【详解】因为命题“”， 则其否定为. 故选：C 4. 以下四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. f（x）= C. D. f（x）=，g（t）= 【答案】D 【解析】 【分析】通过定义域和解析式是否相同，即可根据选项逐一判断是否同一函数. 【详解】A.的定义域为,的定义域为，由于两个函数定义域不同，故不是同一函数；故A错误， B.= 的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数；故B错误， C. 的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数；故C错误， D. ， 的定义域都为，解析式也相同，故两个函数是同一函数. 故选：D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据奇偶性判断排除即可. 【详解】函数定义域为， 又， 函数为奇函数，只有C符合. 故选：C. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的定义分析求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得. 故选：B. 7. 若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解集，用分别表示和，并判断的符号，然后求解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 则，且和3是的两个根， 所以，即，， 故， 解得或， 从而关于x不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可. 【详解】在上单调递减，，解得， 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分，答案是三个选项的，对1个得2分；两个选项的对1个得3分，选错得0分） 9. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若时， C. 若时，关于轴对称 D. 恒过定点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质，即可得到各选项的判断. 【详解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的； 故选：BC. 10. 已知函数满足，有，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 是增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】利用特殊值法判断A、B、D，令，可得，再计算，即可判断C. 【详解】因为，有，， 令，可得，所以，故A正确； 令，可得，故B正确； 令，可得，即，所以为奇函数， 令，，可得，所以，故C错误； 因为，所以不是增函数，故D错误. 故选：AB 11. 下列函数的最小值为2的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A：结合已知条件利用二次函数性质即可求解可判断；对于BCD：结合已知条件利用基本不等式求最值可判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值1，故A错误； 对于选项B：因为，所以， 故， 当且仅当时，即时，有最小值2，故B正确； 对于选项C：因为，所以， 由题意，， 又因为，即， 当且仅当时，即时，不等式取等号， 进而，即当时，的最小值为2，故C正确； 对于选项D：由基本不等式可知，， 又无解，故等号不成立，所以，故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则“”是“”的_______.（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】首先求解不等式，再根据集合间的关系判断命题关系即可. 【详解】由不等式，解得：或， 由于可以推出或， 但或推不出. 因此“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 13. 函数的单调递增区间是_________. 【答案】, 【解析】 【分析】画出函数图像观察即可. 【详解】易得图像为 故单调递增区间为与 故答案为：, 【点睛】本题主要考查了函数图像的运用与函数的单调性问题,属于基础题型. 14. 若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值 【详解】解：，， 在的最小值为， 实数a的取值范围为． 故答案为． 【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，，. （1）列举法表示集合、、、； （2）求； （3）求；. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据描述法所给集合，用列举法求出集合； （2）根据集合的交集、并集运算得解； （3）根据集合的交并补的概念进行计算即可. 【小问1详解】 全集，集合， 集合， 集合. 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 . . 16. 已知函数 （1）求； （2）若，求的取值范围 （3）画出的图象，并写出函数的单调区间和值域. （直接写出结果即可） 【答案】（1）； （2） （3）图像见解析，答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接由函数解析式求得，然后求解值； （2）分类讨论的取值情况，得到关于的不等式，解之即可得解； （3）直接利用分段函数作图法，作出分段函数的图象，从而结合图象写出的单调区间及值域即可. 【小问1详解】 因为函数的解析式. 所以，则； 【小问2详解】 因为，， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 画出函数的图象如图： ； 由图可知，的单调递增区间，单调递减区间为； 的最大值为，的值域. 17. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2），最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可. 【小问1详解】 由题意知利润收入总成本， 所以利润， 故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为 . 【小问2详解】 当时，， 故当时，， 当时，， 当且仅当，即时取得等号; 综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 18. 对于函数，分析并求解下列问题： （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （3）解不等式：； 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证明； （2）根据函数的单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性结合题意得到关于的不等式，即可求解. 【小问1详解】 函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以奇函数. 【小问2详解】 ，且， 则 ， ，， ，， 在上单调递增. 【小问3详解】 在区间上单调递增，且为奇函数， 在上单调递增， 令，解得或， 又，即， 或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 19. 设. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，解关于的不等式 【答案】（1）1 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得和1为方程的两实数根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对一切实数恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可； （3）将不等式化为，进而根据一元二次不等式的解法步骤求解即可. 【小问1详解】 由题意，不等式的解集是， 所以和1为方程的两实数根，且， 则，解得. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 当时，，不满足题意； 当时，则满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 小问3详解】 由不等式，即， 方程的两个根为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$