上海市上海音乐学院虹口区北虹高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上音北虹 2024 学年第一学期期中考试 2024.10 高一年级 数学试卷 命题人：商轶玮 审核人：周骥华 （满分 100分，时间 90 分钟；答案做在答题纸上） 一. 填空题（1-6 每题 3 分，7-12 每题 4 分，共 42 分） 1. 已知集合 ( 1,2)A = − ， (0, )B = +∞ ，则 A B = 2. 将 5 3a a⋅ 化为有理数指数幂的形式： 3. 不等式 | 1 | 1x − ≥ 的解集是 4. 若 3 4log (log ) 1x = ，则 x = 5. 一元二次方程 2 3 0x x c+ + = 的两个根分别是 1x 和 2x ，若 2 2 1 2 1 2 3x x x x+ = ，则实数 c = 6. 设 1x > ，则 4 1 x x + − 的最小值是 7. 已知 2 2| 4 4 | 6 9 0x x y y− + + + + = ，则 yx− = 8. 已知 2log 5a = ， 2log 3b = ，则 5log 6 可用 a、b 表示为 9. 已知函数 22 2 1( 1) m my m m x − −= − − 是幂函数，且函数图像不经过第二象限，则实数 m 的 值为 10. 不等式 4 4 5 5( 2) (5 2 )x x − − + < − 的解集为 11．已知关于 x 的不等式 2 6 0mx x m − ≥ − 的解集为 A，若 2 A∉ ，则实数 m 的取值范围是 12. 若关于x的不等式 2 2(2 1)x ax− < 的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围为_____ 二. 选择题（13,14 每题 3 分，15，16 每题 4 分，共 14 分） 13. 函数 ( 0, 1)xy a a a= > ≠ 的值域为（ ） A. ( )0,+∞ B. [ )0 +∞， C. R D. ( )1,+∞ 14. 设 0ab > ，则“ a b> ”是“ 1 1 a b < ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 如图所示是函数 m ny x= （m、n 均为正整数且 m、n 互质）的图象，则（ ） A. m、n 是奇数且 1m n < B. m 是偶数，n 是奇数，且 1m n < C. m 是偶数，n 是奇数，且 1m n > D. m、n 是奇数且 1m n > 16. 设集合 21 { | 1 0}P x x ax= + + > ， 2 2 { | 2 0}P x x ax= + + > ， 2 1 { | 0}Q x x x b= + + > ， 2 2 { | 2 0}Q x x x b= + + > ，其中 a、b∈R ，下列说法正确的是（ ） A. 对任意 a， 1P 是 2P 的子集，对任意的 b， 1Q 不是 2Q 的子集 B. 对任意 a， 1P 是 2P 的子集，存在 b，使得 1Q 是 2Q 的子集 C. 存在 a，使得 1P 不是 2P 的子集，对任意的 b， 1Q 不是 2Q 的子集 D. 存在 a，使得 1P 不是 2P 的子集，存在 b，使得 1Q 是 2Q 的子集 三. 解答题(8+10+12+14=44 分) 17.（本小题满分 8 分） 已知 0a > ， 0b > ，比较 2 2( )( )a b a b+ + 与 3 32( )a b+ 的大小. 18 . （本小题满分 10 分，第一小题满分 4 分，第二小题满分 6 分） 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1 10x≤ ≤ ，每一小时可获 得的利润是 3100(5 1 )x x + − 元. （1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； （2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此 最大利润. 19. （本小题满分 12 分，第一小题满分 4 分，第二小题满分 8 分） 已知 a、b 均为正数，设 ( ) | | | | 2f x x a x b= + + − + . （1）当 1a b= = 时，求不等式 ( ) 6f x > 的解集； （2）若 ( )f x 的最小值为 6，求 a b+ 的值，并求 1 1 a b + 的最小值 20. （本小题满分 14 分，第一小题满分 4 分，第二小题满分 5 分，第二小题满分 5 分） 已知集合 1 2 3{ , , , , }nA a a a a= ⋅⋅ ⋅ 中的元素均为正整数，其中 n∈N 且 3n ≥ . 若对任意 x， y A∈ （ x y≠ ），都有 | | xyx y k − ≥ ，则称集合 A 具有性质 kM . （1）集合 {1,2, }A a= 具有性质 3M ，求 a 的最小值； （2）若集合 A 具有性质 24M ，且 A 中最小元素和最大元素分别为 a、b，求证： 1 1 1 24 n a b − − ≥ ； （3）已知集合 A 具有性质 24M ，求 A 中元素个数的最大值，并说明理由.