上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

七宝中学2024学年第一学期高一数学期中练习 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若，则 ． 2. 设全集，集合，，则 ． 3. 已知幂函数的定义域为，则实数 ． 4. “若且，则且”是 命题．（填“真”或“假”）假 5. 求值： ． 6. 已知，化简：= ． 7. 已知，则 （结果用a，b表示）． 8. 已知满足，则的值为 ． 9. 已知，且，则的最小值是 ． 10. “”是关于x的方程“至少有一个负数根”的 条件． (用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空) 11. 已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为 ．或 12.设，若，则的取值范围 为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置直接填写正确选项． 13. 下列关于幂函数的描述中，正确的是 （ ） A．幂函数的图像都经过点和； B．幂函数的图像不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点． 14. 设，，则下列不等式中正确的是 （ ） A．； B．； C．； D．． 15. 已知集合，， 则下列结论正确的 是 （ ） A．存在，使得； B．当时，； C．当时，； D．对任意的，都有． 16. 定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； 其中真命题的个数为 （ ） A．1； B．2； C．3； D．4． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知集合，集合 ． （1）当 时，求； （2）已知全集为，记的补集为，若，求实数的取值范围． 18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）已知且，试比较与的大小； （2）已知，，求证：． 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x吨时，月处理成本为元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． （1）若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围? （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元? 20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 已知全集为，关于x的不等式：的解集为， （1）若或，求的值； （2）若，记的补集为，中恰好有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若，集合，且满足，求实数a的取值范围． 21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由． 第4页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七宝中学2024学年第一学期高一数学期中练习 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若，则 ． 2. 设全集，集合，，则 ． 3. 已知幂函数的定义域为，则实数 ．3 4. “若且，则且”是 命题．（填“真”或“假”）假 5. 求值： ． 6. 已知，化简：= ． 7. 已知，则 （结果用a，b表示）． 8. 已知满足，则的值为 ． 9. 已知，且，则的最小值是 ． 10. “”是关于x的方程“至少有一个负数根”的 条件． (用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空)充分非必要 11. 已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为 ．或 12.设，若，则的取值范围 为 ． 解：，，当且仅当，时取等号．，又， 只有成立，此时，，根据不等式的性质可以得到，． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置直接填写正确选项． 13. 下列关于幂函数的描述中，正确的是 （ C ） A．幂函数的图像都经过点和； B．幂函数的图像不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点． 14. 设，，则下列不等式中正确的是 （ C ） A．； B．； C．； D．． 15. 已知集合，， 则下列结论正确的 是 （ D ） A．存在，使得； B．当时，； C．当时，； D．对任意的，都有． 16. 定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； 其中真命题的个数为 （ A ） A．1； B．2； C．3； D．4． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知集合，集合 ． （1）当 时，求； （2）已知全集为，记的补集为，若，求实数的取值范围． 解：（1）当 时，，又因为，则． （2），由知，，解得． 18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）已知且，试比较与的大小； （2）已知，，求证：． 解：（1）因为，，所以，，，由题意， ， 所以(当且仅当当时取等)． 法2：因为，(当且仅当时取等)，所以(当且仅当时取等)． （2）因为，，且， 则，所以． 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x吨时，月处理成本为元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． （1）若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围? （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元? 解：（1）由题意得，即，所以又，所以，故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在，范围内. （2）每吨的平均处理成本为 ，当且仅当，即时取等号，所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低,且最低为200元. 20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 已知全集为，关于x的不等式：的解集为， （1）若或，求的值； （2）若，记的补集为，中恰好有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若，集合，且满足，求实数a的取值范围． 解：（1）因为的解集为或，所以1，4是方程的两根，由，解得． （2）的解集为，中的3个整数只能是或，0，1； 若解集中的3个整数是，则，得； 若解集中的3个整数是，0，1，则，得． 综上，由知，实数a的取值范围为或． （3）根据题意，即在上恒成立， 所以或，可得． 21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由． 解：（1）因为，故集合中所有可能的元素有，即，所以． （2）设，不妨设，因，所以中元素个数大于等于5个，又当时，，此时中元素个数等于5个，此时积集中元素个数的最小值为5．（注：此处必须举例，但举例不唯一） （3）不存在. 理由如下： 法1：假设存在5个正实数构成的集合，使其积集，不妨设， 则． 所以，，，，设，则，，，，所以，但集合中不存在元素4，所以矛盾，假设不成立，故不存在5个正实数构成的集合A，使其生成集． 法2：不存在，理由如下：假设存在5个正实数构成的集合，使其积集，不妨设，则 ，所以集合A的生成集B有三种情况：，或． 当时，则必有，所以又因为，或6，所以或72，矛盾； 当时，则必有，所以又因为，矛盾； 时，则必有，所以又因为，或12，所以或60，矛盾； 所以假设不成立，故不存在5个正实数构成的集合A，使其生成集． 第4页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$