精品解析： 北京市第三中学2024-2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷

北京三中2024一2025学年度第一学期学业测试 高二年级数学期中试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知直线过点和点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 1 4. 以点为圆心，半径为2的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线平行，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 7. 已知向量，，，若，，共面，则x等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 1或0 8. 若圆与圆外切，则＝（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 9. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 空间向量，且，则__________，__________． 12. 试给出一组使两条直线与互相垂直的实数a，b的值，它们分别是__________；__________． 13. 已知椭圆的中心在原点，长轴的一个顶点坐标为，离心率为．则椭圆的标准方程是__________． 14. 已知点，，点P在直线上，则最小值等于______． 15. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号） ①若，则； ②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为； ③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为； ④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知三角形的顶点为，，. （1）求BC边上的中线所在直线方程； （2）求BC边上的高线所在直线方程. 17. 如图所示，已知是正方体，E，F分别是棱AB，的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知圆上三点坐标分别为． （1）求该圆的一般方程； （2）求弦BC垂直平分线的方程； （3）求的面积． 19. 已知椭圆C：， （1）求椭圆的离心率. （2）已知点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标. （3）已知点，P是椭圆C上的动点，求的最大值及相应点P的坐标. 20. 如图，正四棱锥的侧棱的长是底面边长的倍，P为侧棱上的点． （1）求证：； （2）若平面，求二面角的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 21. 已知圆． （1）求过点且与圆心距离为2的直线方程； （2）设直线与圆的两个交点分别为A，B，M为劣弧AB上一动点，求面积的最大值； （3）判断直线与圆的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京三中2024一2025学年度第一学期学业测试 高二年级数学期中试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知直线过点和点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两点的斜率公式即可求解 【详解】解：由两点的斜率公式得，直线的斜率， 故选：B. 2. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=， P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． 故选C． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题． 3. 两条平行线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线，所以所求距离为. 故选：A 4. 以点为圆心，半径为2的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每个选项的一般方程转化为标准方程即可判别. 【详解】对A选项化为标准方程为，半径为，故A错误， 对B选项化为标准方程为，半径为，故B错误， 对C选项化为标准方程为，故其圆心为，，故C正确， 对D选项化为标准方程为，其圆心为故错误. 故选：C. 5. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 6. 若直线与直线平行，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可直接构造方程组求解. 【详解】两直线方程可整理为：与， 两直线平行，，解得：. 故选：B. 7. 已知向量，，，若，，共面，则x等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 1或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面关系，建立坐标等式即可得解. 【详解】向量，，，由，，共面， ，即 ，解得，． 故选：B． 8. 若圆与圆外切，则＝（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【详解】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则， 又，且两圆外切，则，得到，解得． 故选：C. 9. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 10. 在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，点P是以为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体的棱的交点，进而即可求解． 【详解】解：正方体的棱长为1， ， ， 点在以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆上， 在正方体的棱上， 是椭圆与正方体的棱的交点， 所以满足条件的点在棱BC，AB，，，，上各有一点，共有6个点． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 空间向量，且，则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由可得，进而可求的值. 【详解】由可得，则， 于是，即. 故答案为：； 12. 试给出一组使两条直线与互相垂直的实数a，b的值，它们分别是__________；__________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】结合直线定义与两直线垂直的性质计算可得，再取符合要求的解即可得. 【详解】由题意可得，且、不能同时为， 即，故可取，. 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）. 13. 已知椭圆的中心在原点，长轴的一个顶点坐标为，离心率为．则椭圆的标准方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，解出即可得. 【详解】由题意可设该椭圆方程为， 则有，，解得， 即该椭圆的标准方程是. 故答案为：. 14. 已知点，，点P在直线上，则最小值等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点，然后三点共线时取最小值即可. 【详解】设关于直线的对称点为, 则，解得即， 且,. 如图，则. 故答案为：8 15. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号） ①若，则； ②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为； ③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为； ④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据定义直接计算①，设点到原点的“折线距离”不大于，即可得到，画出图象，求出面积即可判断②，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得③，依题意设，则，再利用点到直线的距离求出的范围，即可判断④； 【详解】解：对于①若则，故①正确； 对于②，设点到原点的“折线距离”不大于，则，即，则点在下图所示的平面区域内，则所围成的区域的面积为，故②错误； 对于③，设，则，函数图象如下所示：则，故③正确； 对于④，因为圆表示以为圆心，为半径的圆， 设，则，令，则 所以，解得，即，故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知三角形的顶点为，，. （1）求BC边上的中线所在直线方程； （2）求BC边上的高线所在直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点及A即可求解直线方程； （2）根据高所在直线斜率及A求解即可. 【小问1详解】 设中点为，则，又， 所以中线的斜率不存在，所以中线所在直线方程为. 【小问2详解】 因为， 所以边的高所在直线的斜率为， 所以边上高所在直线为，即直线方程为. 17. 如图所示，已知是正方体，E，F分别是棱AB，的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，结合空间向量夹角公式计算即可得解； （2）建立适当空间直角坐标系，求出平面法向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得解； （3）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可建立如图所示空间直角坐标系，设为单位长度， 则有、、、、、， 则，， 有， 故直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，， 则， 令，则有，，即， 则， 即与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 18. 已知圆上三点坐标分别为． （1）求该圆的一般方程； （2）求弦BC垂直平分线的方程； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将圆上三点坐标代入方程，得到一个三元一次方程组，解方程组即可求出、、的值. （2）先求出弦中点坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出垂直平分线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程. （3）可先求出的长度，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式计算. 【小问1详解】 设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. 【小问2详解】 先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. 【小问3详解】 . 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 19. 已知椭圆C：， （1）求椭圆的离心率. （2）已知点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标. （3）已知点，P是椭圆C上的动点，求的最大值及相应点P的坐标. 【答案】（1） （2） （3）最大值，此时点P的坐标是 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出a，c，再结合离心率公式，即可求解； （2）先求出直线m的方程，联立直线与椭圆方程可得，求解x，即可推得另一个交点B的坐标； （3）设，因为在椭圆上，所以符合椭圆方程，再根据距离公式得到，结合椭圆的有界性得到的最大值及此时点P的坐标. 【小问1详解】 因为，所以， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 因为直线m过椭圆左顶点，且斜率为1，所以直线m的方程为， 联立，消去得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问3详解】 设，因为在椭圆上，所以即， 因为，所以， 因为， 所以当时，取得最大值，此时点P的坐标是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题 （1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解； （2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解. 20. 如图，正四棱锥的侧棱的长是底面边长的倍，P为侧棱上的点． （1）求证：； （2）若平面，求二面角的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面， 则可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系如图． AI 设底面边长为，则高， 于是S，D，C， 则＝，＝， ∵，故，从而； （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可证明； （2）分别求出平面与平面ACD的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果； （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法向量，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设知，平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐二面角， ∴二面角为； 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 由（2）知是平面的一个法向量， 且，， 设， 则， 而，即，解得， 即当时，，又平面，故平面. 21. 已知圆． （1）求过点且与圆心距离为2的直线方程； （2）设直线与圆的两个交点分别为A，B，M为劣弧AB上一动点，求面积的最大值； （3）判断直线与圆的位置关系． 【答案】（1）或 （2） （3）当时，直线与圆相交. 当时，直线与圆相切. 当时，直线与圆相离. 【解析】 【分析】（1）先将圆方程化为标准方程求出圆心坐标，再根据点到直线距离公式设出直线方程求解. （2）先求出弦长，再求出圆心到直线的距离，通过分析三角形高的最大值来求面积最大值. （3）根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系. 【小问1详解】 先将圆化为标准方程， 则圆心，半径. 设直线方程为，即. 根据点到直线的距离公式， 这里圆心到直线的距离. 化简，. 两边平方得，. 解得，所以直线方程为，即. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为也满足条件. 【小问2详解】 圆心到直线的距离. 根据弦长公式，弦的长. 当到直线距离最大时，面积最大， 此时到直线的最大距离为. 所以面积的最大值. 【小问3详解】 圆心到直线的距离. 当时，的最大值为，最小值为. 令，则. 当时，,直线与圆相交. 当时，，直线与圆相切. 当时，直线与圆相离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $