北京市怀柔区第一中学2023-2024学年高二上学期期中检测试数学试题

1 怀柔一中高二年级 2023-2024 学年度第一学期数学学科期中检测试题 2023.11 一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分） 1. 已知复数 1 2z i  （ i是虚数单位），则复数 z的虚部为（ ） A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 2.圆 2 2 4 2 4 0x y x y     的圆心坐标和半径分别为( ) A. ( 2,1), 1r  B. ( 2,1), 2r  C. (2, 1), 1r  D. (2, 1), 2r  3.若直线经过    1,0 , 4,3A B 两点，则直线 AB的倾斜角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D . 120 4. 已知 ,m n表示两条不同的直线， 表示平面，则下列说法正确的是( ) A. 若 / / , / /m n m  ，则 / /n  B. 若 / / ,m n n  ，则 / /m  C. 若 / / ,m n m  ，则 n  D. 若 ,m n m   ，则 / /n  5.在空间直角坐标系中，点 (2, 1,3)A  关于平面 xOz的对称点为 B，则OA OB    ( ) A. 10 B. 10 C. 12 D. 12 6. “ 4a   ”是“直线 1 : 2 2 0l ax y   与直线 2 :8 4 0l x ay   平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.过点 (0, 2)作与圆 2 2 2 0x y x   相切的直线 l，则直线 l的方程为 A. 3 4 8 0x y   B. 3 4 8 0x y   C. 0x  或 3 4 8 0x y   D. 0x  或 3 4 8 0x y   8. 已知复数 z满足 2z  （ i是虚数单位），则 3z  的取值范围是（ ） A. [0, 2] B. [1,3] C. [3,5] D. [1,5] 9.如图：在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， E是 1BB 的中点，若 6AB  ， 则点 B到平面 ACE的距离等于( ) A. 5 B. 6 C. 3 6 2 D. 3 10. 设m R ，过定点 A的动直线 0x my  和过定点 B的动直线 3 0mx y m    交于点 ( , )P x y ， 则 | | | |PA PB 的取值范围是( ) 2 A. [ 5,2 5] B. [2 5,4 5] C. [ 10,4 5] D. [ 10,2 5] 二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25分） 11. 已知直线 1 : 3 1 0l ax y   与直线 2 : ( 4) 0l x a y a    垂直，则实数 a的值为 . 12. 已知复数 z满足 (1 ) 2z i i  （ i是虚数单位），则 z  13. 已知在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为正方形，侧面 SAB为边长为 2的等边三角形，则四棱锥 S ABCD 体积的最大值为 . 14.若圆 1C ： 2 2 6 5 0x y x    与圆 2C ： 2 2 8 0x y y m    恰有 3 条公切线，则m的值为 15.如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，M，N分别是棱 1 1A B ， 1 1AD 的中点，点 P在线段 CM上运动，给出下列四个结论： ①平面 CMN截正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 所得的截面图形是五边形； ②直线 1 1B D 到平面 CMN的距离是 2 2 ； ③存在点 P，使得 1 1 90B PD   ； ④ 1PDD 面积的最小值是 4 5 . 5 其中所有正确结论的序号是______ . 3 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） 16. （本题 14 分）已知复数 2( 6 8) ( 2) ( )z m m m i m R      . （1）若复数 z为纯虚数，求实数m的值； （2）若复数 z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围. 17. （本题 13 分） 已知平行四边形 ABCD的顶点为 (2,3)A ， (0,1)B ， (1, 1)C  . （1）求CD边所在直线的方程； （2）求平行四边形 ABCD的面积. 18. （本题 14 分）如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PD  底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形， 2PD CD  ， 1AD  ，M是线段 PC的中点． （1）求证： AD 平面 PCD； （2）求二面角M BD C  的余弦值； 19. （本题 15 分） 如图所示，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD是正方形， 侧面 PAD是等边三角形， 2AD  . ,M N分别为线段 ,AB PC的中点. （1）求证： / /MN 平面 PAD； （2）求直线 PB PDC和平面 所成角的正弦值. 4 20. （本题 14 分）已知圆C的圆心为 (1,0)，圆C截 y轴所得的弦长为 2。 （1）求圆C的方程； （2）斜率为1的直线 l与圆交于 ,A B两点，若OA OB ，求直线 l的方程。 21.（本题 15 分） 已知四边形 ABCD为直角梯形， //AD BC ，AB BC ， =2 =4BC AB ， =3AD ，F 为 BC 中点， //EF AB，EF与 AD交于点 E，沿 EF将四边形 EFCD折起，连接 , ,AD BC AC . （1）若平面 ADC BFC l平面 ，求证： / /AD l； （2）若平面 ABFE 平面 .EFCD （i）求二面角 B AC D  的大小； （ii）线段 AC 上是否存在点 P ，使 FP  平面 ACD ，若存在，求出 AP AC 的值，若不存在，请说明 理由． 怀柔一中高二年级 2023-2024 学年度第一学期数学学科期中检测答案 2023.11 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1-5 AABCD 6-10 CCDBD 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 3 12. 2 13. 4 3 3 14. 7 15. ①③④ （说明：15 题对一个给 2 分，对两个给 3 分，全对给 5 分，有错答 0 分） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） 16. （本题 14 分） 解：（1）因为复数 z为纯虚数，所以 2 6 8 0 2 0 m m m        ，…………………………4 分 解的 2 4 2 m m m     或 ………………………………………………………6 分 解之得， 4m  ………………………………………………………………7 分 （2）因为复数 z在复平面内对应的点在第二象限，所以 2 6 8 0 { 2 0 m m m      ….11 分 解之得 2 4 { 2 m m    ……………………………………………… ………13 分 得 2 4m  .所以实数 m的取值范围为 (2,4). ……………...…………14 分 17. （本题 13 分） 解：（1）由 (2,3)A ， (0,1)B 可得 1 3 1 0 2AB k    ，………………….………………2 分 因为在平行四边形 ABCD中， / /AB CD 所以 1AB CDk k  ………………………………………………………4分 所以CD直线方程为 1 1y x   ，即 2 0x y   .………………………6分 （2） 2 2(3 1) (2 0) 2 2AB      ……………………………………………8 分 C到直线 AB的距离等于 B到CD的距离，即 0 1 2 3 2 21 1 d      ………11 分 所以 3 22 2 6 2 S AB d     ………………………………………………13 分 18. （本题 14 分） （1）证明：因为 PD  底面 ABCD，所以 PD AD ， PD DC ，………………………2 分 因为 ABCD是矩形，所以 AD DC ，…………………………………………4 分 因为 PD DC D  ， ……………………………………………………………6 分 所以 AD 平面 .PCD ……………………………………………………………7分 （2）解：由知（1）DA、DC、DP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， (0,1,1)M ， (1, 2, 0)B ， (0,1,1)DM   ， (1, 2, 0)DB   ，………………………………9分 设 ( , , )m x y z  是平面 BDM的法向量，则有 0 0 m DB m DM         得 2 0 0 x y y z      ， 令 1y   得平面 BDM 的一个法向量 (2, 1,1)m    ，……………………………11 分 由图可知平面 BDC的法向量为 (0, 0,1)n   ， ……………………………12 分 因为二面角M BD C  为锐角， 所以二面角M BD C  的余弦值为 | | 1 6 . | | | | 66 1 m n m n          ……………………14 分 19. （本题 15 分） （1）证明： 取 PD的中点 E，连接 ,AE EN ，…………………1分 因为 N 为 PC中点， 所以 1/ / , 2 EN DC EN DC 因为M 为 AB中点，所以 1/ / , 2 AM DC AM DC 所以 / /EN AM EN AM且 所以 ENMA为平行四边形………………………4分 所以 / /AE MN ……………………………………5 分 因为 ,AE PAD MN PAD 平面 平面 …………6 分 所以 / /MN PAD平面 ………………………………7分 （2）解：取 AD的中点O，连接 PO， 因为 PAD是等边三角形，所以 PO AD 因为侧面 PAD 底面 ABCD，侧面PAD底面 ABCD AD ， PO 侧面 PAD 所以 PO 底面 ABCD……………………………………………………………………9 分 如图在底面 ABCD内过O做 AD的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系， ( 1,0,0)D  ， ( 1, 2, 0)C  ， (0, 0, 3)P ， (1, 2, 0)B ， (0,2,0)DC   ， (1, 0, 3)DP   ， (1, 2, 3)PB    ………………………………………11 分 设 ( , , )m x y z  是平面 PDC的法向量，则有 0 0 m DC m DP         得 2 0 3 0 y x z     ， 令 1z   得平面 PDC的一个法向量 ( 3, 0, 1)m   ，…………………………………13 分 设 PB与平面PDC所成角为 ，则有 3 3 6sin 42 2 2 PB m PB m            ……………15 分 20.（本题 14 分） （1）由已知条件可知圆心 (1,0) 到 y轴的距离为 1，……………………………1 分 因为圆截 y轴所得弦长为 2 所以 2 2 21 ( ) 2 2 r    …………………………………………………4 分 所以圆的方程为 2 2( 1) 2x y   ………………………………………5分 （2）设直线 l的方程为 y x b  联立方程 2 2( 1) 2x y y x b        ，消 y得 2 22 (2 2) 1 0x b x b     ………6 分 由 2 2(2 2) 4 2 ( 1) 0b b        得 3 1b   ………………………7分 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则有 2 1 2 1 2 2 2 11 , 2 2 b bx x b x x       ………9分 由OA OB 得 0OA OB    ………………………………………………10 分 因为 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )OA OB x x y y x x x b x b         2 2 2 2 1 2 1 22 ( ) ( 1) (1 ) 1x x b x x b b b b b b b            所以 2 1 0b b   ，解得 1 2 1 5 1 5, 2 2 b b     ………………………12 分 所以直线方程为 1 5 2 y x   或 1 5 2 y x   …………………………14 分 21.（本题 15 分） （1）证明：由已知 //DE CF ， / / FAE B ， AE DE E 所以平面 //ADE 平面 BCF ………………………………………3分 由已知平面 ADC BFC l平面 ，平面 ADC ADE AD平面 所以 / /AD l ………………………………………6 分 （也可以用线面平行的性质证明） （2）解：由已知 ABFE 为边长为 2 的正方形， AE EF  ， 因为平面 ABFE 平面 EFCD ，平面 ABFE  平面 EFCD EF ， 又DE EF ， DE  平面 EFCD， DE  平面 ABFE，…………………8分 , ,EA EF ED 两两垂直． 以 E为原点， , ,EA EF ED分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,0,1), (0,2,2).E A B F D C （i）  0,2,0AB   ，  2,2,2AC    ，  2,0,1AD    ， 平面 BAC法向量为  1 1 1 1= , ,n x y z  ， 则 1 1 0 0 n AB n AC           ，即 1 1 1 1 2 0 2 2 2 0 y x y z      ， 取 1 1x  ，则  1 1,0,1n   ，………………………9分 平面 ACD法向量为  2 2 2 2= , ,n x y z  ， 则 2 2 0 0 n AD n AC           ，即 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 x z x y z        ， 取 2 1x  ，则  2 1, 1,2n    ，………………………………………………………10 分 1 2 1 2 1 2 3cos , = = 2 n nn n n n         ，………………………………………………………11 分 而二面角 - -B AC D为钝二面角， 所以二面角 - -B AC D的平面角的大小为 5 6  ；…………………………………12 分 （ii）假设线段 AC 上存在点 P ，使 FP  平面 ACD ，设 AP = (0 1) AC  „ „ ， 则 = =(-2 , 2 , 2 )AP AC      ， = + =(2-2 , -2+2 , 2 )FP FA AP       …………13 分 FP  平面 ACD ，则 2//FP n   ， 2 2 2 2 2 1 1 2          ，………… 14 分 可求 2= [0,1]. 3   所以线段 AC 上存在点 P ，使 FP  平面 ACD ，且 AP 2= . AC 3 ……………15 分