精品解析：广东省惠州市2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

广东省惠州市2024-2025九年级上学期期中考试 数学试卷 （满分120分，完卷时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列属于一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各点在抛物线上的是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 已知一元二次方程两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（　　） A. B. 7或5 C. 7 D. 6 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 关于二次函数下列说法正确的是（　　） A 有最大值1 B. 有最小值1 C. 有最大值5 D. 有最小值5 8. 如图，有一块长、宽的矩形试验地，要开辟3条等宽小路，要使种植面积为，求小路的宽可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；⑨④3a+c＞0．其中正确的结论个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量取值范围是_______. 12. 已知，在抛物线上，则______ 13. 某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，则根据题意可列方程为：_____． 14. 二次函数的图象如图所示，则方程的根为______． 15. 设是方程的一个根，则的值为____________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1） （2） 17. 若，是方程的两个根，求下列各式的值： （1） （2） 18. 某种服装，平均每天可销售件，每件盈利元，若每件降价元，每天可多卖件，如果每天要盈利元，每件应降价多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根 （2）已知方程的一个根为，求m值及方程的另一根． 20. 二次函数的图像与轴交于点，对称轴是直线，函数最大值为3． （1）求顶点坐标； （2）求该二次函数的解析式． 21. 如图，直线和抛物线相交于点和点． （1）求点和点的坐标 （2）直接写出不等式的解集． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，抛物线过点、、，顶点为M． （1）求该二次函数的解析式； （2）求顶点M坐标； （3）x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若点P存在，求出点P的坐标． 23. 如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P． （1）求点A、B的坐标； （2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省惠州市2024-2025九年级上学期期中考试 数学试卷 （满分120分，完卷时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的定义： 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，逐项判断即可， 【详解】A．，是二元一次方程，此选项不符合题意； B．，是一元二次方程，此选项符合题意； C．，最高次数为，一元三次方程，此选项不符合题意； D．，不是整式方程，此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各点在抛物线上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．分别将，，代入中，求出函数值，对比各选项坐标即可求解． 【详解】解：A.把时代入中，可得，故该选项不符合题意； B. 把时代入中，可得，故该选项不符合题意； C. 把时代入中，可得，故该选项符合题意； D. 把时代入中，可得，故该选项不符合题意； 故选C． 3. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为， 故选：． 4. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式；把，，代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 已知一元二次方程的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（　　） A. B. 7或5 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 先利用直接开平方法求解方程求出，，再分两种情况解答即可． 【详解】解：解方程， ∴ 得，． 当腰长为3，底边长为1时，，能围成三角形， ∴其周长为； 当腰长为1，底边长为3时，，不能围成三角形，不符合题意． 综上所述，的周长为7． 故选：C． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．令，求出y的值，即得出图象与y轴交点的坐标可判断A；由顶点式可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，可判断B和C；由，对称轴是直线，可得出当时，y随x的增大而增大，可判断D． 【详解】解：对于，令，则， ∴图象与y轴交点的坐标是，故A选项错误，不符合题意； 由二次函数解析式为，可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，故B选项错误，不符合题意、C选项正确，符合题意； ∵， ∴该抛物线开口向下． 又∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 7. 关于二次函数下列说法正确的是（　　） A. 有最大值1 B. 有最小值1 C. 有最大值5 D. 有最小值5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键．由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为． ∴函数的最大值为5． 故选：C． 8. 如图，有一块长、宽的矩形试验地，要开辟3条等宽小路，要使种植面积为，求小路的宽可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．设小路的宽为，根据种植部分可合成一个长为、宽为的矩形，进而利用面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意，得， 故选：A． 9. 已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，相反数的定义，解一元二次方程，根据的两个根，互为相反数，得到，进而得到方程为，对其求解，即可解题． 【详解】解：的两个根，互为相反数， ，即， ， 解得， 方程的两个根为， 故选：C． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；⑨④3a+c＞0．其中正确的结论个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向上知a>0， ∵对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴b<0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c<0， ∴abc>0，故①正确； ②∵对称轴为直线，a>0， ∴2a>−b，即2a+b>0， 故②错误； ③由图可知：当x=−2时，y>0， ∴4a−2b+c>0， 故③正确； ④∵当x=−1时，y=0， ∴0=a−b+c<a+2a+c=3a+c， 即3a+c>0， 故④正确． 综上所述，有3个结论正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根据二次函数的图象与系数之间的关系，确定式子的符号，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 已知，在抛物线上，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，已知自变量求函数值，计算出是解决本题的关键．将，分别代入，计算出，即可比较大小． 【详解】解：将，分别代入 得：，， ∴， 故答案为：． 13. 某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，则根据题意可列方程为：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台，列出方程即可． 【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，由题意，得：； 故答案为：． 14. 二次函数的图象如图所示，则方程的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象，可得二次函数的图象与轴的交点横坐标为一元二次方程的根，即可解答． 【详解】解：根据图形可得二次函数与轴的交点为， 方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的解的关系，解题的关键是明确函数与方程的联系． 15. 设是方程的一个根，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入方程中，可得，再将上式代入中，即可求解． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴上式可化为：， 将代入中，可得： ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的方法是的解答解题的关键； （1）把原方程配方成完全平方形式，再开方即可， （2）移项，合并同类项，再利用因式分解法即可解答． 【小问1详解】 解： 或． 解得：，． 【小问2详解】 解： 或． 解得：， 17. 若，是方程的两个根，求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的运用，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，再根据进行计算，即可解题． （2）根据，，结合进行计算，即可解题． 【小问1详解】 解，，，且，是方程的两个根 ．， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ． 18. 某种服装，平均每天可销售件，每件盈利元，若每件降价元，每天可多卖件，如果每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价或元 【解析】 【分析】设每件降价元，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每件降价元， 那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件； 根据每天要盈利元， 可列方程为：． 解得：或． 答：每件应降价或元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根 （2）已知方程的一个根为，求m值及方程的另一根． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义： （1）根据题意只需要证明即可； （2）一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值，进而根据根与系数的关系求出另一个根即可． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得， ∴原方程为， 设另一个根为， ∴， ，即另一个根为． 20. 二次函数的图像与轴交于点，对称轴是直线，函数最大值为3． （1）求顶点坐标； （2）求该二次函数的解析式． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据该二次函数图像的对称轴和函数最大值，即可确定顶点坐标； （2）设该二次函数的解析式为，将点代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，对称轴是直线，函数最大值为3， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 设该二次函数的解析式为， 把代入， 可得，解得， ∴该二次函数的解析为． 21. 如图，直线和抛物线相交于点和点． （1）求点和点的坐标 （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）联立直线解析式和抛物线解析式，求解即可获得答案； （2）结合函数图像，由二次函数图像在直线上方部分，即可获得答案． 【小问1详解】 解：联立直线解析式和抛物线解析式， 可得， 解得，， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， 结合图像，可知不等式的解集为或． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，抛物线过点、、，顶点为M． （1）求该二次函数的解析式； （2）求顶点M的坐标； （3）x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若点P存在，求出点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）顶点M的坐标为 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）将解析式化为顶点式，进而可得顶点坐标； （3）连接，与x轴交于点P，即的值最小，利用待定系数法求得直线的解析式为，求出当时的x值即可 【小问1详解】 解：依题意， 把、、代入 得 解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 （2）由（1）得， ∴顶点M的坐标为.； 【小问3详解】 解：存在．理由如下 如图，连接，与x轴交于点P，即的值最小． 设直线的解析式为 把和点代入 ． 解得． ∴直线的解析式为． 当时，由得， ∴点P的坐标为． 23. 如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P． （1）求点A、B的坐标； （2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标． 【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）；（2）存在，E的坐标为（﹣1﹣2 ， 2）或（﹣1+2 ， 2）；（3）存在，F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2） 【解析】 【分析】（1）令y=0，则x2+x﹣=0，解方程即可得到点A、B的坐标； （2）先利用对称性得到顶点P的坐标（﹣1，﹣2），然后根据△ABP的面积等于△ABE的面积，得到△ABE的边AB上的高为2，故设点E坐标为（a，2），再把E（a，2）代入抛物线的解析式得到关于a的方程，解方程即可确定E点坐标； （3）分类讨论：分别以AB、PA、PB为平行四边形的对角线，根据平行四边的性质易确定点F的坐标. 【详解】（1）令y=0，则x2+x﹣=0， 解得x1=﹣3，x2=1， ∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）； （2）存在． 抛物线的对称轴为直线x=﹣1，令x=﹣1，则y=﹣1﹣=﹣2， ∴P点坐标为（﹣1，﹣2）， ∵△ABP的面积等于△ABE的面积， ∴点E到AB距离等于2， 设E（a，2）， 把E（a，2）代入抛物线的解析式得，a2+a﹣=2，解得a=﹣1﹣2或﹣1+2 ， ∴符合条件的点E 存在，且坐标为（﹣1﹣2， 2）或（﹣1+2，2）． （3）①若AB为平行四边形的对角线，则PF为另一对角线，且PF在抛物线的对称轴上， ∴由平行四边形的性质得：点P与点F关于x轴对称， ∴F点坐标为（﹣1，2）； ②若PA为平行四边形的对角线，设F(x，y)， 则有 ， ∴ ， 即点F的坐标为（﹣5，﹣2）； ③若PB为平行四边形的对角线，设F(x，y)， 则有 ， ∴ ， 即点F的坐标为（3，﹣2）； 综上所述，所有符合条件的点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）． 【点睛】本题是二次函数的实际应用-几何问题，综合性较强，考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，三角形面积等知识，要分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$