精品解析：山西省长治市壶关县多校2023-2024学年上学期期中测试九年级数学试卷

2023—2024学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试券和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，是最简二次根式，符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可. 【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似. 故选：C. 3. 如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故此选项正确，符合题意； C、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； D、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标，掌握平移中点的变化规律是解题的关键；根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点向左平移2个单位得到点， ，即， 故选：． 5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟记相关运算步骤即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， 即：， 故选：A 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，除法运算，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据二次根式的加减可以判断，，根据二次根式的除法可以判断，根据二次根式的性质可以判断． 【详解】解：、不是同类二次根式，无法相加，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 7. 如图，已知，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例．根据题意可得，求得的长，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：D． 8. 根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：C． 9. 山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商年售出菖蒲酒瓶，在年实现销量翻一番，若设这两年菖蒲酒销量的平均年增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际情况列一元二次方程，理解年平均增长率的意义是解题的关键。 根据题意用表示 年与 年的销量列方程即可。 【详解】解： 由题意知，年销量为 ，年销量为 ，且在年实现销量翻一番， 因此， 故选D. 10. 如图，点P是内一点，，,，点D，E，F，G分别是、，、的中点，若四边形的周长为28，则长为（　　） A. 13 B. 9 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，根据三角形的中位线定理得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ 点D，E，F，G，分别是、，、的中点， ∴，， ∵四边形的周长为28， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键；根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知m是方程的一个根，则的值为______________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2024． 13. 蝴蝶标本通常用于收藏、研究和教育，在制作蝴蝶标本的过程中，首先要选择合适的采集地点和时间，避免对蝴蝶种群造成过度干扰或损害；其次要使用恰当的固定工具和脱水剂，确保蝴蝶姿势稳定且身体内的水分和脂肪得到充分去除．如图，小颖借助平面直角坐标系固定一个展翅蝴蝶标本，该蝴蝶标本可以近似的看作轴对称图形，若图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键；根据关于y轴对称的两点坐标的关系求解即可． 【详解】解：A，B关于y轴对称， ， ， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数a的值可以是____________．（填一个即可） 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握有两个不相等的实数根，则是解题关键；当一元二次方程有两个不相等的实数根时，，由此进行求解即可； 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且， 故答案为：1． 15. 如图，在矩形中，，，是边的中点，是对角线上一动点．当与相似时，的长为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，设，则，然后分两种情况讨论：当时；当时；分别根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是边的中点， ， 设，则， 分两种情况： 当时， 则有， 即：， 解得：或； 当时， 则有， 即：， 解得：； 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，两直线平行内错角相等，线段中点的定义，相似三角形的性质，公式法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：移项，得． 方程两边都除以4，得． 解得，． 【小问2详解】 解：移项，得． 整理，得． 解得， 17. 下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）两 （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）由二次根式的乘法和二次根式的减法即可看出错误； （2）根据二次根式的乘法和二次根式的减法求解即可． 【小问1详解】 解：，， 第一步中出现了两处错误； 【小问2详解】 略 18. 如图，延长平行四边形的一边至点F，连接交于点E．若，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的判定．根据平行四边形性质得到，，即可证明得到，等量代换即可解题． 【详解】解：因为四边形是平行四边形， 所以，． 所以． 所以． 所以． 19. 如图，已知各顶点都在正方形网格的格点上，且与的顶点坐标信息如下表： （1）请你根据表格信息，在网格图中建立适当的平面直角坐标系，并将表格补充完整； （2）在（）的条件下，画出； （3）观察与，写出一条有关这两个三角形关系的结论． 【答案】（1）由点可知原点是通过点下移个单位，左移个单位，得到原点，然后建立平面直角坐标系如图所示；表格中从上至下依次填，，， （2） 如图所示，即为所求作； （3）与是以原点为位似中心的位似图形． 【解析】 【分析】（）根据点的坐标建立直角坐标系，在平面直角坐标系中写出点坐标，通过表格观察可知对应点的横纵坐标都乘以，则可以得到点的坐标； （）利用（）中各点的坐标描点即可； （）根据位似的定义进行判断； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 与是以原点为位似中心的位似图形． 20. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 【答案】（1） （2）90元/盒 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量学校旗杆高度 问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板，标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案： 方案一 方案二 … 测量工具 自制直角三角形硬纸板，皮尺 标杆，皮尺 … 测量示意图及说明 说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，点D与点B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上，C，F，G三点在同一直线上． 说明：线段表示学校旗杆，小亮的眼睛到地面的距离，标杆竖立位置点F与点B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上． 测量数据 D，B之间的距离 16.8m D，B之间的距离 16.8m … 的长度 0.50m D，F之间的距离 1.35m 的长度 0.75m 标杆的长度 2.60m … … 根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例． 方案一：易得，根据对应边成比例即可求解； 方案二：过作交于，交于，构造矩形和矩形，易得，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：方案一：由题意得四边形是矩形，所以，． 因为，， 所以． 所以，即． 解得． 方案二：过作交于，交于， 则四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， 即：， 解得：． 答：学校旗杆的高度为． 22. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 方程及其解法 方程（equation）是含有未知数的等式，是表示两个数学式之间相等关系的一种等式．使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”，求方程的解的过程称为“解方程”．早在3600年前，古埃及人用象形文字写在草纸上的数学问题中，就涉及了含有未知数的等式．约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米在《对消与还原》一书中，重点讨论方程的解法． 我们知道，求解一元一次方程，就是根据等式的基本性质，把方程转化为“（已知数）”的形式；求解二元一次方程组，就是通过消元，转化为一元一次方程来求解；求解一元二次方程，就是通过降次，转化为两个一元一次方程来求解；求解分式方程，就是通过去分母，转化为整式方程来求解，但因整式方程的解可能会使原分式方程中的分母为0，故解分式方程必须进行检验． 由此可知，各类方程的解法不尽相同，但它们利用了共同的基本数学思想——转化，即将复杂问题转化为容易求解的问题．特别要注意，方程的解要使方程左右两边的式子有意义． 例：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，即可得到原方程的解． 任务： （1）材料中方程的解是____________； （2）若根号下含有未知数的方程称为无理方程，请用“转化”思想求无理方程的解； （3）如图，某小区有一块面积为的矩形草坪（其中），为维护草坪，对角线处铺有一根m长的喷雾式浇水管．若物业管理处计划将这块矩形草坪用栅栏围起来，则需要多长的栅栏？ 【答案】（1），， （2） （3）需要的栅栏 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关求解方法即可． （1）求解方程即可求解； （2）方程两边平方，得．整理得．解得，．再进检验即可求解； （3）方法一：设，则．根据即可求解；方法二： 设，则．根据题意，得．即可求解； 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴方程的解为， ∴方程的解是，，； 故答案为：，， 【小问2详解】 解：方程两边平方，得． 整理得． 解得，． 检验：当时，方程左边，方程右边，左边＝右边，所以是原方程的解； 当时，方程左边，方程右边，左边≠右边，所以不是原方程的解． 所以原方程的解是． 【小问3详解】 解：方法一：因为四边形是矩形，所以． 设，则． 在中，由勾股定理，得，即． 整理，得． 解得，，，． 经检验，它们都是原方程的解． 又因为，且矩形的边长不能为负，所以，，不合题意，舍去． 所以． 所以需要栅栏的长为． 答：需要m的栅栏． 方法二：因为四边形是矩形，所以． 设，则． 根据题意，得． 整理，得． 解得，，，． 经检验，，不是原方程的解． 又因为，所以不合题意，舍去． 所以． 所以需要栅栏的长为． 答：需要m的栅栏． 23. 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ． 由折叠的性质，得，，． ，， ． 又， ． ． ，， ． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，推导出，结合等边三角形，可得，得到，结合，，可得． （2）结合正方形性质和折叠性质课推导出，设，表示．在中，用勾股定理可求、，用相似比，即可求． （3）由等腰直角三角形性质三角形内角和、平角定义可推导出，结合，可得，设，在中，用勾股定理求得，由相似比可求，得到．过点作于点，可证，相似比求，则可求． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ，． 由折叠的性质，得，． ，， ． 又， ． ． 是的中点，． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． ，． ， ． ． （3）与都是等腰直角三角形， ，，，． ，， ． 又， ． ． ，，． 设． 在中，由勾股定理，得，即，解得，（舍去）． ． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点，则． 又为公共角， ∴． ，即．． ． 【点睛】本题考查勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等的综合应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定，并能正确作图是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试券和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 3. 如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 18 8. 根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 9. 山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商年售出菖蒲酒瓶，在年实现销量翻一番，若设这两年菖蒲酒销量的平均年增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是内一点，，,，点D，E，F，G分别是、，、的中点，若四边形的周长为28，则长为（　　） A. 13 B. 9 C. 5 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____________． 12. 已知m是方程的一个根，则的值为______________． 13. 蝴蝶标本通常用于收藏、研究和教育，在制作蝴蝶标本的过程中，首先要选择合适的采集地点和时间，避免对蝴蝶种群造成过度干扰或损害；其次要使用恰当的固定工具和脱水剂，确保蝴蝶姿势稳定且身体内的水分和脂肪得到充分去除．如图，小颖借助平面直角坐标系固定一个展翅蝴蝶标本，该蝴蝶标本可以近似的看作轴对称图形，若图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为____________． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数a的值可以是____________．（填一个即可） 15. 如图，在矩形中，，，是边的中点，是对角线上一动点．当与相似时，的长为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； （2）请写出正确的解答过程． 18. 如图，延长平行四边形的一边至点F，连接交于点E．若，求的值． 19. 如图，已知各顶点都在正方形网格的格点上，且与的顶点坐标信息如下表： （1）请你根据表格信息，在网格图中建立适当的平面直角坐标系，并将表格补充完整； （2）在（）的条件下，画出； （3）观察与，写出一条有关这两个三角形关系的结论． 20. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量学校旗杆高度 问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板，标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案： 方案一 方案二 … 测量工具 自制直角三角形硬纸板，皮尺 标杆，皮尺 … 测量示意图及说明 说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，点D与点B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上，C，F，G三点在同一直线上． 说明：线段表示学校旗杆，小亮的眼睛到地面的距离，标杆竖立位置点F与点B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上． 测量数据 D，B之间的距离 16.8m D，B之间的距离 16.8m … 的长度 0.50m D，F之间的距离 1.35m 的长度 0.75m 标杆的长度 2.60m … … 根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度． 22. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 方程及其解法 方程（equation）是含有未知数的等式，是表示两个数学式之间相等关系的一种等式．使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”，求方程的解的过程称为“解方程”．早在3600年前，古埃及人用象形文字写在草纸上的数学问题中，就涉及了含有未知数的等式．约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米在《对消与还原》一书中，重点讨论方程的解法． 我们知道，求解一元一次方程，就是根据等式的基本性质，把方程转化为“（已知数）”的形式；求解二元一次方程组，就是通过消元，转化为一元一次方程来求解；求解一元二次方程，就是通过降次，转化为两个一元一次方程来求解；求解分式方程，就是通过去分母，转化为整式方程来求解，但因整式方程的解可能会使原分式方程中的分母为0，故解分式方程必须进行检验． 由此可知，各类方程的解法不尽相同，但它们利用了共同的基本数学思想——转化，即将复杂问题转化为容易求解的问题．特别要注意，方程的解要使方程左右两边的式子有意义． 例：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，即可得到原方程的解． 任务： （1）材料中方程的解是____________； （2）若根号下含有未知数的方程称为无理方程，请用“转化”思想求无理方程的解； （3）如图，某小区有一块面积为的矩形草坪（其中），为维护草坪，对角线处铺有一根m长的喷雾式浇水管．若物业管理处计划将这块矩形草坪用栅栏围起来，则需要多长的栅栏？ 23. 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $