江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷

第 1 页 共 4 页 扬大附中东部分校 2021-2022 学年度第一学期期中考试 高一数学 （总分： 150 分 时间：120 分钟 命题人：王海 审核人：陈海华） 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知集合  1,0,1, 2A   ，  1 2B x x    ，则 A B  （ ） A． 1,0,1 B． 1,1,2 C． 1,2 D． 0,1 2.已知命题 :p “ 0, 2  xNx ”，则命题 p的否定为（ ） A. 0, 2  xNx B. 0, 2  xNx C. 0, 2  xNx D. 0, 2  xNx 3.“ ba  ”是“ 22 bcac  ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若直角三角形的面积为 50，则该直角三角形两条直角边的和的最小值是（ ） 25.A 10.B 210.C 20.D 5.不等式（ 1 2 ﹣x）（x﹣ 1 3 ）＞0的解集为（ ） A. {x| 1 3 ＜x＜ 1 2 } B. {x|x＞ 1 2 } C. {x|x＜ 1 3 } D. {x|x＜ 1 3 或 x＞ 1 2 } 6.下列各组函数  f x 与  g x 的图象相同的是（ ） A．   3 3f x x x    与   2 9g x x  B． 2 4( ) 2 xf x x    与 ( ) 2g x x  C．   1f x  与 0( )g x x D．  f x x 与   , 0 , 0 x x g x x x     第 2 页 共 4 页 7.函数    2 2 1 2f x x a x     在 ），（ 2- 上是增函数，则 a的取值范围是（ ） A．  5, B．  3, C．  ,3 D．  ,5 8.若对任意 0x  ，不等式 2 3 1 x a x x    恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． 1 , 5    B． 1 , 5      C． 1, 5      D． 1, 5     二､多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.） 9.已知集合  1,2A  ，  1,B x mx m R   ，若 B A ，则实数m可能的取值为（ ） A． 0 B．1 C． 12 D．2 10.已知函数  011  x x xy ，则该函数（ ） A.最小值为 3 B.最大值为 3 C.没有最小值 D.最大值为-1 11.下表表示 y 是 x的函数，则 （ ） x 50  x 105  x 1510  x 2015  x y 2 3 4 5 A.函数的定义域是 ]20,0( B.函数的值域是 ]5,2[ C.函数的值域是 }5,4,3,2{ D.函数是增函数 12.下列说法中正确的是（ ） A.函数 1y x   在定义域上是单调递增函数 B.方程 2 ( 3) 0x a x a    的有一个正实根，一个负实根，则 0a  C.若 0x ,则 n xx n lglg 1  恒成立 D.若3 3 2 2x x  ，则3 3x x 的值为 2． 三､填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，其中第 16题第一空 2分， 第二空 3分.） 第 3 页 共 4 页 13.函数 1( ) 1 3 f x x x     的定义域为________． 14.已知 5 a ＝3，log54＝b，用 a，b 表示 log12536＝________． 15.已知函数�(�)是定义在[ − 2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若 f(2x + 1) + f(1) < 0，则 x的取值范围是______． 16.若函数   2f x x x a   为偶函数，则实数 a ________，函数  f x 的单调递增区间是 ___________. 四、解答题（本题共 6小题，共 70分，其中第 16题 10分，其它每题 12分， 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。） 17.已知全集 U=R，A={ x | 2 ax }，B = { x | 862  xxy }， 求： ⑴ 若 ,1a 求 A∩B； ⑵若 "" Ax 是 "" Bx 的充分不必要条件，求 a的取值范围. 18.计算：(1) 2 0.5 1 2 31 10(5 ) ( 1) 0.75 (2 ) 16 27      ； （2）已知 3log 2a  ， 2log 9b  ，求 21 11 3 3 34 22a b a b               的值. 19.已知   2 4 xf x x   ，  2,2x  ． （1）判断  f x 的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数  f x 在  2,2 上是增函数； 第 4 页 共 4 页 20.设函数 ( )=f x 2 ( 2) 3 0)ax b x a   ，( （1）若不等式 ( ) 0f x  的解集为(-1,3),求 a,b的值； （2）若 (1) 2, 0, -1,f a b   求 1 4 +1a b  的最小值． (3)若  b a ,求不等式 ( ) 1f x  的解集. 21.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁， 百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这并没有让华为却步. 华为在 2020 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进 一步增加市场竞争力，计划在 2021 年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此 款手机全年需投入固定成本 250 万，每生产 x（千部）手机，需另投入成本 )(xR 万元， 且 210 100 +1000,0 40 ( ) 10000701 8450, 40 x x x R x x x x          ， 由市场调研知，每千部手机售价 700 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求 2021 年的利润 )(xW （万元）关于年产量 x（千部）的函数关系式，（利润=销售 额—成本）； （2）2021 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 22.已知函数    2 2 2f x x ax a a   R . （1）若 1a  ，  2,2x   ， mxf )( 成立，求实数 m的取值范围; （2）若 0a  ，   1 2 1 2, 0,x x x x    ，    1 2 1 2| | 2 | |f x f x x x   成立，求实数 a的最大值; （3）函数     1g x f x x   在区间  1,2 上单调递减，求实数 a的取值范围. 第 1 页 共 7 页 扬大附中东部分校 2021-2022 学年度第一学期期中考试 高一数学 （总分： 150 分 时间：120 分钟 命题人：王海 审核人：陈海华） 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知集合  1,0,1, 2A   ，  1 2B x x    ，则 A B  （ ） A． 1,0,1 B． 1,1,2 C． 1,2 D． 0,1 【答案】D 2.已知命题 :p “ 0, 2  xNx ”，则命题 p的否定为（ ） A. 0, 2  xNx B. 0, 2  xNx C. 0, 2  xNx D. 0, 2  xNx 【答案】C 3.“ ba  ”是“ 22 bcac  ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 4.若直角三角形的面积为 50，则该直角三角形两条直角边的和的最小值是（ ） 25.A 10.B 210.C 20.D 【答案】D 5.不等式（ 1 2 ﹣x）（x﹣ 1 3 ）＞0的解集为（ ） A. {x| 1 3 ＜x＜ 1 2 } B. {x|x＞ 1 2 } C. {x|x＜ 1 3 } D. {x|x＜ 1 3 或 x＞ 1 2 } 【答案】A 6.下列各组函数  f x 与  g x 的图象相同的是（ ） A．   3 3f x x x    与   2 9g x x  B． 2 4( ) 2 xf x x    与 ( ) 2g x x  C．   1f x  与 0( )g x x 第 2 页 共 7 页 D．  f x x 与   , 0 , 0 x x g x x x     【答案】D 7.函数    2 2 1 2f x x a x     在 ），（ 2- 上是增函数，则 a的取值范围是（ ） A． 5, B． 3, C．  ,3 D．  ,5 【答案】B 8.若对任意 0x  ，不等式 2 3 1 x a x x    恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． 1 , 5    B． 1 , 5      C． 1, 5      D． 1, 5     【答案】A 二､多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.） 9.已知集合  1,2A  ，  1,B x mx m R   ，若 B A ，则实数m可能的取值为（ ） A． 0 B．1 C． 12 D． 2 【答案】ABC 10.已知函数  011  x x xy ，则该函数（ ） A.最小值为 3 B.最大值为 3 C.没有最小值 D.最大值为-1 【答案】CD 11.下表表示 y 是 x 的函数，则 （ ） x 50  x 105  x 1510  x 2015  x y 2 3 4 5 A.函数的定义域是 ]20,0( B.函数的值域是 ]5,2[ C.函数的值域是 }5,4,3,2{ D.函数是增函数 【答案】AC 12.下列说法中正确的是（ ） A.函数 1y x   在定义域上是单调递增函数 B.方程 2 ( 3) 0x a x a    的有一个正实根，一个负实根，则 0a  第 3 页 共 7 页 C.若 0x ,则 n xx n lglg 1  恒成立 D.若3 3 2 2x x  ，则3 3x x 的值为 2． 【答案】BC 三､填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，其中第 16题第一空 2分， 第二空 3分.） 13.函数 1( ) 1 3 f x x x     的定义域为________． 【答案】 ( , 3) ( 3,1]   14.已知 5a＝3，log54＝b，用 a，b表示 log12536＝________． 【答案】 3 2 ba  15.已知函数�(�)是定义在[ − 2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若 f(2x + 1) + f(1) < 0，则 x的取值范围是______． 【答案】( − 1, 1 2 ] 16.若函数   2f x x x a   为偶函数，则实数 a ________，函数  f x 的单调递增区间是 ___________. 【答案】 0 1 ,0 2      、 1 , 2      四、解答题（本题共 6小题，共 70分，其中第 16题 10分，其它每题 12分，解 答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。） 17.已知全集 U=R，A={ x | 2 ax }，B = { x | 862  xxy }， 求：⑴ 若 ,1a 求 A∩B； ⑵若 "" Ax 是 "" Bx 的充分不必要条件，求 a的取值范围. 【答案】(1)A=    ；3,12,2  aa B= 42|  xxx 或 ;  2,1 BA (2) 因为 "" Ax 是 "" Bx 的充分不必要条件，所以 A是 B的真子集，  22 a 或 42 a ，  0a 或 6a . 18.计算：(1) 2 0.5 1 2 31 10(5 ) ( 1) 0.75 (2 ) 16 27      ； 第 4 页 共 7 页 （2）已知 3log 2a  ， 2log 9b  ，求 21 11 3 3 34 22a b a b               的值. 【答案】1. 4 9 2.原式  2 1 2 11 3 1 3 3 3 3 32 2 2 21 12 2 2 a b a b a b ab                      将 ,a b的值代入上式得 3 2 1 1 1 lg 2 lg9 1 lg 2 2lg3log 2 log 9 212 2 2 lg3 2 lg3lg 2 lg 2 2 ab                19.已知   2 4 xf x x   ，  2,2x  ． （1）判断  f x 的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数  f x 在  2,2 上是增函数； 【详解】解：  1 函数   2 4 xf x x   是定义域  2 2 ， 上的奇函数， 理由如下， 任取  2 2x  ， ，有      2 2 44 x xf x f x xx          ， 所以  f x 是定义域  2 2 ， 上的奇函数；  2 证明：设 1x ， 2x 为区间  2 2 ， 上的任意两个值， 且 1 2x x ，则            2 1 1 21 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4 4 4 4 x x x xx xf x f x x x x x                   ； 因为 1 22 2x x    ， 所以 2 1 0x x  ， 1 2 4 0x x   ， 即    1 2 0f x f x  ； 所以函数  f x 在  2 2 ， 上是增函数； 20.设函数 ( )=f x 2 ( 2) 3 0)ax b x a   ，( 第 5 页 共 7 页 （1）若不等式 ( ) 0f x  的解集为(-1,3),求 a,b的值； （2）若 (1) 2, 0, -1,f a b   求 1 4 +1a b  的最小值． (3)若  b a ,求不等式 ( ) 1f x  的解集. 【详解】（1）由不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3)可得：方程  2 2 3 0ax b x    的两根为 1,3 且 0a  由根与系数的关系可得： 1 4 a b     （2）若  1 2, 0 0f a b  、 ，则 1a b  ， +1 2a b （ ） ，  1 +1 1 2 a b （ ） 所以  1 4 1 1 4 1 +1 4 9+1 5 ] +1 2 +1 2 +1 2 b aa b a b a b a b               （ 1 4 +1a b  的最小值为 9 2 （当且仅当 1 4- , 3 3 a b  时式中等号成立） (3) 当b a  ，不等式   1f x  即    2 2 2 0 0ax a x a    ， 即     2 1 0 0ax x a   ， ① 0a  时，不等式可化为   21 0x x a       － － ， 原不等式的解集为 2{ | 1}x x x a  或 ② 0a  时，原不等式可化为   21 0x x a       － － ∴当0 2a  时，原不等式的解集为 2{ |1 }x x a   当 2a  时，原不等式的解集为{ | 1}x x  当 2a  时，原不等式的解集为 2{ | 1}x x a   21.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁， 百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这并没有让华为却步.华 为在 2020 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步 第 6 页 共 7 页 增加市场竞争力，计划在 2021 年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机 全年需投入固定成本 250 万，每生产 x （千部）手机，需另投入成本 )(xR 万元，且 210 100 +1000,0 40 ( ) 10000701 8450, 40 x x x R x x x x          ， 由市场调研知，每千部手机售价 700 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求 2021 年的利润 )(xW （万元）关于年产量 x（千部）的函数关系式，（利润=销售额 —成本）； （2）2021 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）当 0 40x  时，    2 2700 10 100 1000 250 10 600 1250W x x x x x x        ； 当 40x  时，   10000 10000700 701 8450 250 8200W x x x x x x                    ，    210 600 1250,0 40 10000 8200, 40 x x x W x x x x                . （2）若0 40x  ，    210 30 7750W x x    ， 当 30x  时，  max 7750W x  万元 . 若 40x  ，   10000 8200 8200 2 10000 8000W x x x            ， 当且仅当 10000x x  时，即 100x  时，  max 8000W x  万元 . 答：2021 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 8000 万元. 22.已知函数    2 2 2f x x ax a a   R . （1）若 1a  ，  2,2x   ， mxf )( 成立，求实数 m的取值范围; （2）若 0a  ，   1 2 1 2, 0,x x x x    ，    1 2 1 2| | 2 | |f x f x x x   成立，求实数 a 的最大值; （3）函数     1g x f x x   在区间  1,2 上单调递减，求实数 a的取值范围. 【详解】（1）若 1a  ， 2 2( ) 2 2 ( 1) 1f x x x x      在 [ 2,1) 上递减，在 (1,2]上递增， 第 7 页 共 7 页 所以 max( ) ( 2) 10f x f   ， 因为对  2,2x   ， mxf )( 即 2 2 2x x m   成立，所以 max( ) 10m f x  . （2）若 0a  ，   1 2 1 2, 0,x x x x    ，    1 2 1 2| | 2 | |f x f x x x   成立， 则 2 2 1 1 2 2 1 2| 2 2 2 2 | 2 | |x ax a x ax a x x       ，即 1 2 1 2 1 2| | | 2 | 2 | |x x x x a x x      ， 因为 0a  ， 1 2 1 20, 0,x x x x   ，所以 1 2 2 2x x a   ，即 1 22 2a x x   恒成立， 因为 1 2 0x x  ，所以 2 2 0a  ，得 1a   ，所以实数 a的最大值为 1 . （3） 2 1 1( ) ( ) 2 2g x f x x ax a x x       在区间  1,2 上单调递减， 设 1 21 2x x   ，则 1 2( ) ( )g x g x  2 2 1 1 2 2 1 2 1 12 2 2 2x ax a x ax a x x        1 2 1 2 1 2 1( )( 2 )x x x x a x x      0 对任意的 1 21 2x x   恒成立， 因为 1 2 0x x  ，所以 1 2 1 2 12 0x x a x x     ，即 1 2 1 2 12a x x x x    对任意的 1 21 2x x   恒成立， 因为 1 2 1 2 1 1 152 2 2 2 4 x x x x        ，所以 152 4 a  ，即 15 8 a  .