精品解析：上海市上海音乐学院虹口区北虹高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上音北虹2024学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （满分150分，时间120分钟；答案做在答题纸上） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 用集合符号表示直线l在平面上______ 【答案】 【解析】 【分析】直线l在平面上，利用集合与集合的关系符合表示即可. 【详解】直线l在平面上，即直线l包含于平面，利用集合与集合的关系表示为. 故答案为： 2. 圆柱的底面半径为1，高为2，则其体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】依题意，圆柱的体积为. 故答案为： 3. 如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为______（结果用反三角函数值表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系找到线面角，在直角三角形中利用三角关系即可求解. 【详解】如图,因为平面,平面, 所以,所以为直线与底面所成的角， 所以, 所以， 故答案为：. 4. 在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是______. 【答案】相交 【解析】 【分析】利用平面的性质结合图形可得答案. 【详解】在正方体中，易知，且， 即四边形是平行四边形， 又平面， 在同一平面中，，所以直线与直线相交. 故答案为：相交 5. 轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意求圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式，即可求解. 【详解】圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则易知圆锥底面半径，母线长， 结合圆锥的侧面积公式. 故答案为： 6. 正方体中，点E是上底面的中心，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 7. 已知是边长为8的菱形，且，若平面，且，则点P到直线的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由图可得P到直线的距离为底边上的高，据此可得答案. 【详解】如图，连接. 因，则为等边三角形，则. 又因平面，平面，则. 则，. 则为等腰三角形，则P到直线的距离为底边上的高. 则点P到直线的距离为. 故答案为： 8. 正四棱锥的所有棱长均相等，E是的中点，那么异面直线与所成角的大小为_______. 【答案】 【解析】 【分析】如图可得异面直线与所成角等于，然后可得答案. 【详解】设正四棱锥棱长为2.连接AC，取AC中点为O，连接OE. 因E，O分别为PC，AC的中点，则， 则异面直线与所成角等于或其补角. 又由题可得，，. 则，则所成角为. 故答案为： 9. 若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________. 【答案】100 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解. 【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4， 而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高， 因此，侧面积， 所以所求的侧面积为100. 故答案为：100 10. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________ . 【答案】 【解析】 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥侧面展开图的问题，转化为平面上两点的距离问题即可. 【详解】解：由题意得： 圆锥的底面周长是，则，解得： 可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示： 则圆锥的侧面展开图中：，， 所以在圆锥侧面展开图中： 故答案为： 11. 如图，已知三棱柱的体积为3，P，Q，R分别为侧棱，，上的点，且，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意，根据线段的等量关系，可得面积的等量关系，结合棱锥的体积公式，进行等积变换，根据同底同高的棱柱与棱锥之间的体积关系，可得答案. 【详解】在三棱柱中，易知侧面为平行四边形，设其面积为，上的高为， 在平行四边形中，易知四边形为梯形或平行四边形，设其面积为，且其高为， 则， 在三棱柱中，易知平面，点到平面的距离与点到平面的距离，设该距离为， 连接，作图如下： 则， 设三棱柱的体积，由图可知，，即， 故答案为：. 12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm3. 【答案】 【解析】 【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成. 【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的，如下图， 所以8个顶点部分体积为， 棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为4的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的，如下图， 12条棱部分不能到达的体积是， 所以不能到达的体积为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分） 13. 下列几何体中，多面体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项. 【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体； C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体. 故选B. 【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题. 14. 在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为（ ） A. 过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； B. 若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； C. 两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线； D. 若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，考虑两点在平面异侧的情况可判断选项正误；对B，考虑三点不在平面同侧的情况可判断选项正误；对C，过两异面直线作两平行平面，考虑在与两平行平面都垂直平面上的射影可判断选项正误；对D，由直线与平面垂直定义可判断选项正误. 【详解】对A，若平面外的两点在平面异侧，且两点所确定直线与平面垂直， 则有无穷多个平面与平面垂直，故A错误； 对B，当与相交，则在内存在不在平面同侧的三点，使这三点不共线且到平面的距离都相等，故B错误； 对C，过两异面直线作两平行平面，作一平面与两平行平面垂直，则两条异面直线在这一平面上的射影互相平行，故C错误； 对D，由直线与平面垂直定义可得，直线与平面内的任意一条直线垂直，故D正确. 故选：D 15. 《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长、、，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）．羡除的体积公式为，过线段，的中点，及直线作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为的两部分．若、，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据梯形中位线求出，再根据所给“羡除”的体积公式表示出，，根据体积比得到方程，解得即可. 【详解】因为、、，，为线段，的中点， 所以且， 所以，， 即，， 因为，即，解得. 故选：B 16. 如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可知点M沿着运动，设点P为B1C的中点，分析当M从B1到P时，在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，由MA1+MD＝MA′+MD，MC1，分析排除即得解 【详解】由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，且从B1点出发，因此点M沿着运动. 设点P为B1C的中点，当M从B1到P时，如图所示 在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′， 则MA1+MD＝MA′+MD， 由图象可知，当M从B1到P时，MA1+MD是减小的，MC1是由大变小的， 所以当M从B1到P时，l＝MA1+MC1+MD是逐渐减小的，故排除B，D； 因为PC1是定值，MC1，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确； 故选：C 三、解答题（本大题共5题，满分分） 17. 如图,已知平面,. （1）求证: 平面平面; （2）若,求该几何体的全面积. 【答案】（1） 由题意，∵平面， 面，面，面， ∴，，， ∵，面，面，， ∴面， ∴面面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直即可得出结论； （2）通过求出几何体各面的面积即可得出全面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1）得， ，，， 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， 在中，， ∴是直角三角形，， ， ∴该几何体的全面积为: . 18. 在直四棱柱中，，，，， （1）求证：平面； （2）若四棱柱体积为36，求二面角大小. 【答案】（1）由题意知，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面， 又，、平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证； （2）先根据棱柱的体积公式求得，再利用二面角的定义，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，底面为直角梯形， 所以梯形的面积， 因为四棱柱的体积为36， 所以， 过作于，连接， 因为平面，且平面， 所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在△中，， 所以， 所以，即， 故二面角的大小为． 19. 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 【答案】（1） （2）138.7元 【解析】 【分析】（1）先通过底面周长求出底面圆的半径，然后根据圆锥母线及底面圆半径求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积加上圆柱的体积即可求解； （2）求出圆锥的侧面积，圆柱侧面积及一个底面积，即可得到“笼具”的表面积，然后求出总的造价即可. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为， 则由题意有，得，圆锥高， 所以“笼具”的体积. 【小问2详解】 圆柱的侧面积，圆柱的底面积， 圆锥的侧面积， 所以“笼具”的侧面积. 故造50个“笼具”的最低总造价为元. 答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元. 20. 如图，圆柱的轴截面是正方形，点E在底面的圆周上（点E在以为直径的圆上运动时，必有），是垂足. （1）求证：； （2）如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线与平面所成的角； （3）若为弧的中点，G是上一点，求的最小值. 【答案】（1） 由题可得平面ABE，又平面ABE，则. 由题可得，结合平面ADE，，则平面ADE. 因平面ADE，则.又，，平BDE， 则平面BDE.又平面BDE，则； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面DEB可证明结论； （2）由圆柱与三棱锥体积比可确定点E位置，后过E做AB垂线，垂足为H， 则为所求角； （3）如图将沿DB折叠至与平面共面，后由几何知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过E做AB垂线，垂足为H. 设圆柱底面半径为，则圆柱体积为. 三棱锥体积为：. 由题，，则E为中点，H为AB中点. 因平面ABE，EH平面ABE，则. 又，平面ABCD，则平面ABCD. 结合平面ABCD，则直线与平面所成的角为，且. 又由题可得，. 则； 【小问3详解】 因为弧的中点，则， ，. 因，则. 如图，将沿DB折叠至，使之与平面共面， 则，当三点共线时，最短. 过I做直线AB的垂线，垂足为J，注意到. 则，又，则. 因，. 则， 故. 即的最小值为. 21. 如图，在直角梯形中，，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设. (1)当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小； (2)当为多少时，三棱锥的体积为? (3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面角,问E点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短. 【答案】（1）；（2）或；（3）当时，沿AE折起后间距离最短 【解析】 【分析】（1）取PA的中点E，连结OE，BE，则∠BOP为PC，BD所成的角，先证 PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出的三边长，使用余弦定理求出，进而可得角；（2）P到平面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式求出得出θ的值；（3）设，则，根据定理可得化简，故而当时，间的距离最短，故而可得结论. 【详解】（1）∵AB∥CD，，，∴四边形ABCD是矩形， 连结AC交BD与O，则O是AC，BD的中点， 取PA的中点E，连结OE，BE， 则OE是的中位线，∴，， ∴是异面直线PC，BD所成的角， ∵，，， ∴平面ABCD， ∴，， ， ∴， ∴． 即异面直线PC与BD所成的角为． （2）P到平面ABCD的距离， ， ∴， ∴， ∴或. （3）设，则，折起后平面平面AECD， 则为直线与平面AECD所成的角. 于是， 要使最短，则折起后应最小，最大， ∴当即时，最大， 此时最短， 即当时，沿AE折起后间距离最短. 【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，棱锥的体积计算，以及的应用，作出空间角是解题关键，也可使用向量法求出，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上音北虹2024学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （满分150分，时间120分钟；答案做在答题纸上） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 用集合符号表示直线l在平面上______ 2. 圆柱的底面半径为1，高为2，则其体积为______. 3. 如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为______（结果用反三角函数值表示）. 4. 在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是______. 5. 轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积_____ 6. 正方体中，点E是上底面的中心，若，则_______. 7. 已知是边长为8的菱形，且，若平面，且，则点P到直线的距离为_______. 8. 正四棱锥的所有棱长均相等，E是的中点，那么异面直线与所成角的大小为_______. 9. 若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________. 10. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________ . 11. 如图，已知三棱柱的体积为3，P，Q，R分别为侧棱，，上的点，且，则______. 12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm3. 二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分） 13. 下列几何体中，多面体是（ ） A. B. C. D. 14. 在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为（ ） A. 过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； B. 若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； C. 两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线； D. 若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则. 15. 《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长、、，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）．羡除的体积公式为，过线段，的中点，及直线作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为的两部分．若、，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 16. 如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分分） 17. 如图,已知平面,. （1）求证: 平面平面; （2）若,求该几何体的全面积. 18. 在直四棱柱中，，，，， （1）求证：平面； （2）若四棱柱体积为36，求二面角大小. 19. 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 20. 如图，圆柱的轴截面是正方形，点E在底面的圆周上（点E在以为直径的圆上运动时，必有），是垂足. （1）求证：； （2）如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线与平面所成的角； （3）若为弧的中点，G是上一点，求的最小值. 21. 如图，在直角梯形中，，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设. (1)当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小； (2)当为多少时，三棱锥的体积为? (3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面角,问E点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $