精品解析：上海市继光高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市继光高级中学2024学年第一学期高一数学期中试卷 （时间90分钟，满分100分）2024.10 一、填空题（第1题至第8题每题3分，第9题至第12题每题4分，共40分） 1. 下列表达式中正确的序号是：_________（写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【解析】 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断即可. 【详解】，故①错误；空集为任何非空集合的真子集，故②正确； 为无理数，故③错误；是的子集，所以，故④错误； 故答案为：② 2. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，，则或，再根据集合中元素的互异性可解的值. 【详解】根据题意，， 则或， 当时，，不满足互异性； 当时，得或，因为不成立， 所以，此时集合为，符合题意. 故答案为： 3. 已知全集，集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据并集、补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为： 4. 已知等式恒成立，则常数________ 【答案】4 【解析】 【分析】由对应项系数相等列方程组求解． 【详解】恒成立， 所以，解得， 所以． 故答案为：4． 5. 已知集合，，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由列不等式求的取值范围， 【详解】∵集合，，， ∴. ∴的取值范围是. 故答案为：. 6. 设，则“”是“”______的条件．（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】分别求出不含参的一元二次不等式和分式不等式的解集，再结合充分必要条件的判定即可. 【详解】由，得， 由，得，解得， 所以， 所以“”“”，反之不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 7. 利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设_________． 【答案】或 【解析】 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 8. 已知，，，则的最大值是_____________. 【答案】. 【解析】 【分析】直接根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵，，， ∴， 当且仅当时等号成立， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，要注意等号成立的条件，属于基础题． 9. 已知关于的一元二次方程的两实根互为倒数，则实数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因方程的两根互为倒数可知，二次项系数，，两根之积为，进而可得. 【详解】因为关于的一元二次方程的两实根互为倒数， 故，得. 故答案为： 10. 已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 11. 若的最小值为3，则a的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据和的大小关系进行分类讨论，由函数最小值为3得关于的方程，即可求解. 【详解】设函数， 当时，， 此时，最小值是3不成立，故； 当时，， 此时，所以，解得； 当时，， 此时，所以，解得； 综上所述，或， 故答案为：或. 12. 已知命题p：存在，使，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，使为真命题，讨论m的取值，结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知命题p：存在，使，命题p是假命题， 则，使为真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，需满足，解得， 故实数m的取值范围是. 故答案为： 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整数幂的运算规则分别检验即可. 【详解】，故A错.，故B错.当时，无意义，故C错.，故选D. 【点睛】本题考查指数幂的运算规则，属于基础题. 14. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， ， 故选：A 15. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】结合特例法和不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对A，时不满足，故A项错误； 对B，，，即，故B项正确； 对C，若，，则，故C项正确； 对D，若且，则，当时，不满足，故D项错误. 故选：BC 16. 已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以①正确； 变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以③错误； 若不等式的解集为，即的解集为， 由韦达定理知：， 则，解得， 所以④正确. 综上，正确的为：①②④ 故选：C 三、解答题（第17、18题每题10分，第19、20题每题12分，共44分） 17. 解不等式组 【答案】. 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式后，再求交集可得. 【详解】， ， 所以原不等式组的解集为. 18. 已知集合，． （1）若，求； （2）“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得是的真子集。列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，， 当时，则，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，又，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 19. 某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）10米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可． 【小问1详解】 设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以，又， 所以，解得， 所以宽的最大值为10米； 【小问2详解】 记整个绿化面积为S平方米，由题意得， ，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米 20. 不等式的解集为，关于的不等式的解集为. （1）当时，用列举法表示； （2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式，再求集合的交集即可； （2）求解含参一元二次不等式，根据集合中元素个数的要求，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 ，即，解得或，故或； 当时，不等式等价于， 即，解得，故， 则或，故. 【小问2详解】 即， 当，即时，， 要满足题意，需，解得； 当，即时，集合为空集，不满足题意； 当，即时，， 要满足题意，需，且，解得， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市继光高级中学2024学年第一学期高一数学期中试卷 （时间90分钟，满分100分）2024.10 一、填空题（第1题至第8题每题3分，第9题至第12题每题4分，共40分） 1. 下列表达式中正确的序号是：_________（写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 2. 已知，则_________． 3. 已知全集，集合，则_________． 4. 已知等式恒成立，则常数________ 5. 已知集合，，若，则的取值范围是___________. 6. 设，则“”是“”______的条件．（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”） 7. 利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设_________． 8. 已知，，，则的最大值是_____________. 9. 已知关于的一元二次方程的两实根互为倒数，则实数a的值为______． 10. 已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为______． 11. 若的最小值为3，则a的值为______． 12. 已知命题p：存在，使，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是_________． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 15. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 16. 已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 三、解答题（第17、18题每题10分，第19、20题每题12分，共44分） 17. 解不等式组 18. 已知集合，． （1）若，求； （2）“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 19. 某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 20. 不等式的解集为，关于的不等式的解集为. （1）当时，用列举法表示； （2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $