北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024—2025学年第一学期回龙观东西学区 期中考试试卷 初三数学 本试卷共8页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m可取一切实数 3. 如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. ，若，，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数化为顶点式，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 最高点是（2，0） C. 对称轴是直线x＝﹣2 D. 当x＞0时，y随x的增大而减小 8. 抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 函数的最大值是______． 10. 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，与交于点D．已测得，，，则河宽为______． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为___________． 12. 写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式______． 13. 如图，在菱形中，点E在边上，与交于点F．若，，，则的值为______． 14. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点M，N分别是，与网格线的交点，则 _______． 15. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是_____，PD＋PC 的最小值是______． 三、解答题（本题共12道小题，第17题4分，第18-21题，每小题5分，第22-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 如图分别是的边上的点，．求证：． 18. 抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点． （1）C点坐标为______，的面积为______； （2）请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式的解集是______． 19. 已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． （1）求此函数的表达式； （2）求顶点坐标． 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． （1）求的长． （2）求证：． 21. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求这个二次函数的解析式： （2）若C点坐标为，抛物线上是否存在点D，使的面积为4？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分． 问：点C在什么位置时,分割得到的三角形与Rt△OAB相似(注：在图上画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标). 23. 如图，． （1）与是否相似？请说明理由． （2）设，，求的值． 24. 某公园在在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据；在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米． （米） （米） 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度为 m； （3）求所画图象对应的函数表达式； （4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于0.5米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 25. 佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解． 根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解． 佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 … y … ﹣8 ﹣ 0 m ﹣ ﹣2 ﹣ 0 12 … （1）直接写出m的值，并画出函数图象； （2）根据表格和图象可知，方程的解有　 　个，分别为　 　； （3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 27. 在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． （1）如图1，当点N与点C重合时，求证：； （2）将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，． 已知，，． （1）若，则______，______； （2）若，，则的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标． 2024—2025学年第一学期回龙观东西学区 期中考试试卷 初三数学 本试卷共8页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】1 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】（答案不唯一）． 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】且 【16题答案】 【答案】 ①. （3，0） ②. 4 三、解答题（本题共12道小题，第17题4分，第18-21题，每小题5分，第22-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 【17题答案】 【答案】 证明：∵， 又∵， ∴． 【18题答案】 【答案】（1），3 （2） 利用五点作图法，画图如下： 不等式的解集为：或． 【19题答案】 【答案】（1）． （2）顶点坐标为． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【21题答案】 【答案】（1）函数表达式为． （2）存在D点，使的面积为4，点的坐标为：或或． 【22题答案】 【答案】（3，0）或（6，4）或（6，） 【23题答案】 【答案】（1） 相似，理由如下： ∵ ∴， 又， ∴； （2） 【24题答案】 【答案】（1）见解析； （2）5． （3） （4）公园至少需要准备68米的护栏． 【25题答案】 【答案】（1）0； 函数图象如图所示． （2）3；﹣2，或﹣1或1．（3）﹣2＜x＜﹣1或x＞1． 【26题答案】 【答案】（1） （2）①7 ②或 【27题答案】 【答案】（1） 证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2） ①如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）， （2）或 （3）的最大值为，四边形的对角线交点坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $