上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上师大附中高二期中数学试卷 2024.11 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________. 2. 顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______. 3. 已知，设直线，，若，则______. 4. 已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 5. 经过点且与圆相切的直线方程为______. 6. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm. 7. 已知椭圆的焦点为、，椭圆上的动点P的坐标为，且为钝角，则的取值范围是________． 8. 已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为__________． 9. 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为______. 10. 已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 11. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 12. 已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为______. 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 方程表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 15. 方程所表示的曲线为（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 16. 从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 三.解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知三边所在直线方程为：，：，：. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求直线与直线的夹角. 18. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程． 19. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 20. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 21. 已知双曲线的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且． （1）求双曲线的方程． （2）已知为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值． （3）设动点，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点． 上师大附中高二期中数学试卷 2024.11 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】或 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三.解答题（本大题共有5题，满分76分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）＋＝1 （2）16x＋8y－1＝0或16x＋24y－3＝0 【19题答案】 【答案】（1）：，: （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【21题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 方法一：， 直线的方程为，直线的方程为． 由消去整理得①， 记，则和是方程①的两个根， 则，即． 由消去整理得②， 记，则2和是方程②的两个根， 则，即． 由双曲线的对称性知，直线恒过的定点位于轴上，不妨设． 当时，，此时，直线的方程为，直线过定点． 当时，，即，整理得， 故．综上，直线过定点． 方法二：当时，由题知直线的倾斜角不为0，设直线的方程为， 由消去得． 设，则， 直线的方程为，直线的方程为， 由于直线的交点在直线上运动，则， 即，故， 代入，得， 故恒成立． 若，将代入得， 解得，故直线过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去， 故只能，即，故直线过定点． 当时，直线为轴，过定点． 综上，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $