精品解析：上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中数学试卷

位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. “直线和平面相交于点”的符号表达为 _____． 2. 已知空间两个角和，若，，则__________． 3. 一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为______. 4. 将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 5. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 6. 已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________. 7. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条. 8. 已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是_________. 9. 圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________. 10. 三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分. 11. 如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 _____． 12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm3. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. 设、是平面外的两条直线，且，那么是的（　　）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是 A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则或 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 16. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ） A. 直线与直线CP可能相交 B. 直线与直线CP始终异面 C. 直线与直线CP可能垂直 D. 直线与直线BP不可能垂直 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17. 用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明. 18. 已知三棱锥满足. （1）证明：直线与直线是异面直线； （2）求异面直线与所成角大小. 19. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 20. 如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，. （1）求证：平面； （2）求几何体的体积. 21. 如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM. （1）； （2）求二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. “直线和平面相交于点”的符号表达为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系用符合表达即可. 【详解】“直线和平面相交于点”的符号表达为． 故答案为：． 2. 已知空间两个角和，若，，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意结合空间中等角定理分析求解即可. 【详解】因为，， 当和开口方向相同时，； 当和开口方向相反时，； 综上所述：或. 故答案为：或. 3. 一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】作出直观图，根据面积公式可得答案. 【详解】如图，建立坐标系，根据斜二测画法作出直观图，根据斜二测画法的特征可知， ，所以直观图面积为. 故答案为： 4. 将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】判断几何体为圆柱，根据圆柱的体积公式可得结果. 【详解】由题意知，形成的几何体为圆柱，且底面圆的半径，圆柱的高， 所以底面圆的面积， 所以圆柱的体积， 故答案为：. 5. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为， ∵球的表面积为， ∴， ∴， ∴该球的体积为． 故答案为． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 6. 已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过圆锥侧面展开图是半圆，求出底面母线，再用侧面积公式计算即可. 【详解】圆锥侧面展开图是半圆，底面半径为1，圆锥底面周长是，则母线长为. 则圆锥侧面积为. 故答案为：. 7. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条. 【答案】3 【解析】 【分析】利用异面直线的判定定理判断即可. 【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面， 由图可知九条棱中，，，，，与相交， 没有直线与平行， 所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，， 故答案为：3 8. 已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是_________. 【答案】3或1 【解析】 【分析】根据点到平面距离的意义，分A，B在同侧和A，B在异侧两种情况求解即可. 【详解】设点A、B在平面的投影分别为点，，依题意，，， 若A，B在同侧，如图1，设点P在平面的投影为点， 则P到的距离为； 若A，B在异侧，如图2，设点P在平面的投影为点O， 过A作，交的延长线于点C，延长交于点， 则P到的距离为， 所以的中点P到平面的距离为3或1. 故答案为：3或1. 9. 圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________. 【答案】 【解析】 【分析】把圆柱侧面展开后得一矩形，矩形对角线长为所求最短距离． 【详解】沿这条母线展开圆柱侧面是一矩形，矩形的长是圆柱的底面周长为，矩形的宽为圆柱的母线长5， 矩形的对角线长为，即为所求最短距离． 故答案为： 10. 三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分. 【答案】15 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何特征分析即可求解. 【详解】三个侧面平面两两相交，可以将空间分成8个部分， 再增加一个底面，其中有1个封闭的空间，另外还有6个部分， 所以三棱锥的4个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为：15. 11. 如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 _____． 【答案】##1.125 【解析】 【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可 【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和， ∵分别是，的中点， ∴，且， ∵，∴， 所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形， ∵AB＝1， ∴，，， 且等腰梯形的高为， ∴截面面积为， 故答案为： 12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm3. 【答案】 【解析】 【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成. 【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的，如下图， 所以8个顶点部分体积为， 棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为4的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的，如下图， 12条棱部分不能到达的体积是， 所以不能到达的体积为. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. 设、是平面外的两条直线，且，那么是的（　　）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定及充分条件、必要条件判断. 【详解】证明充分性：若，结合，且b在平面M外，可得，是充分条件； 证明必要性：若，结合，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件． 故是的“充分非必要” 故选：A． 14. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是 A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则或 【答案】C 【解析】 【详解】若，，则; 若，则，，； 若，，则而，则或； 若，，则由线面平行判定定理得或； 因此选C. 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】作出与垂直的平面后判断几何关系 【详解】作出平面，使得平面， 当时，平面或平面， 结合旋转分析可知有两次使得． 故选：A 16. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ） A. 直线与直线CP可能相交 B. 直线与直线CP始终异面 C. 直线与直线CP可能垂直 D. 直线与直线BP不可能垂直 【答案】B 【解析】 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17. 用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明. 【答案】平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行； 已知，求证； 证明如下： 假设，由于，则， 则在平面内过点作一条直线，使得， 由于，则，这与矛盾， 故假设不成立，故 【解析】 【分析】先根据线面平行的判定定理写出已知、求证，利用反证法证明即可. 【详解】略 18. 已知三棱锥满足. （1）证明：直线与直线是异面直线； （2）求异面直线与所成角大小. 【答案】（1）证明：因为直线平面，点平面，点，点平面， 所以直线与直线是异面直线. （2） 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：取的中点，的中点，的中点，连接，，， 所以，， 所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，，， 所以有， 由余弦定理得 ， 所以异面直线与所成角大小为. 19. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解； （2）利用等体积转化法即可求解. 【小问1详解】 由题意知，直线与平面的夹角，即为， 易知，，又，故，进而有，， 由圆柱的表面积为，可得， 故，故直线与平面的夹角为． 【小问2详解】 设点A到平面的距离为h， 则，， ， 因为平面ABP，， 所以BP⊥平面，即， 在中，， 故， 所以，即点A到平面的距离为． 20. 如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，. （1）求证：平面； （2）求几何体的体积. 【答案】（1） 由题意得：，，，、都在平面内， 所以平面，因为：平面，所以：， 又因为四边形为正方形，所以：， 因为，且、都在平面内， 所以平面，因为：平面，所以：， 又因为四边形为直角梯形，，，，， 所以，，则：，所以：, 又因为，且、都在平面内， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直知识可求解. （2）利用割补转化法可得，从而求出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过作的垂线，垂足为，由（1）可得：平面，且， 所以：， 所以：几何体的体积为：. 21. 如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM. （1）； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明：因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，得，而，则由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论； （2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后根据已知的数据在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，过作于，过作于， 连接，因为在平面中，，所以， 由（1）知，所以因为平面， 所以平面，因为平面，所以 因为平面MEH，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为，所以， 在中，，所以， 所以，所以二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $