精品解析：江西省华东师范大学上饶实验中学2024-2025学年高一上学期10月数学检测题

江西省华东师大上饶实验中学2024-2025学年高一上学期10月数学检测题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C 2. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为. 因为恒成立， 所以，即， 解得，即. 故选：D. 3. 已知函数，则下列关于函数结论错误的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，故A正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D正确； 故选：C 4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数定义及其单调性可得答案. 【详解】由幂函数定义可得， 解得或， 当时，此时，满足题意， 当时，此时，不满足题意， 综上，. 故选：A 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数变形为，在根据函数定义域有意义求解即可． 【详解】因为， 所以，则， 所以的定义域为． 故选：B 6. 已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，即可得解. 【详解】当时，， 任设，则， 当时，，， 所以，所以， 当时，，， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值为， 当时，， 令，则，所以，开口向上，对称轴， 又因为函数的最小值为，即时，取最小值， 所以，解得, 故选：A. 7. 若函数是奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质结合对数的运算解出，再由复合函数的单调性得到在上为增函数解出即可； 【详解】由题意可得， 即，即， 解得，即， ，即函数的定义域为， 设，则在上为增函数， 而在上为增函数， 所以在上为增函数， 若，则，可解得， 则， 又，则有， 不等式的解集为. 故选：A. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示， 由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，与表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数的定义域为R，函数的定义域为R， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D， 的定义域为R，函数的定义域为R， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：BD. 10. 设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A. 的周期是2 B. 在上递减，在上递增 C. 的最大值是2，最小值是1 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由即可判断A选项；利用和函数的对称性可判断B，C的正误；结合周期性和奇偶性可求当时，，故可判断D的正误． 【详解】对于A，对于恒有，则的周期为2，故A正确； 对于B，时，，，则函数在上是减函数， 因为且为偶函数，故，故的图象关于对称， 函数在上是增函数，结合的周期为2可得在上是减函数，故B不正确； 对于C，由B的分析可得在,的最大值是， 最小值为，结合函数的周期性可得的最大值为2，最小值为1，故C正确； 对于D，设，则，故，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在区间上单调递减 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数为偶函数可判断. 【详解】对于A，因为函数的图象经过原点， 所以，解得，则． 又因为函数无限接近直线但又不与该直线相交， 所以，则，故A错误． 对于B，则， 因为，为偶函数． 当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，，因为函数为减函数， 则函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，因为，根据函数为偶函数可得，故D正确. 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据和函数无限接近直线但又不与该直线相交，得到，结合函数的奇偶性和单调性计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，根据一元二次不等式恒成立结合判别式列式求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为R，即不等式恒成立， 若，即， 当时，则，符合题意； 当时，则不恒成立，不符合题意； 若，即且，则，解得或； 综上所述：实数a的取值范围是或. 故答案为：或. 13. 函数且过定点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，求出所对应的函数值，即可得解. 【详解】对于函数且，令，解得， 所以， 所以恒过点，即， 所以. 故答案为： 14. 已知，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用对数的运算性质化简已知式，得，再利用常值代换法，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由可得，，即， 因，由， 当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且为假命题，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交并补运算可得解； （2）转化条件为，对是否为空集讨论即可得解. 【小问1详解】 由或，则， 又，则或， 故或； 【小问2详解】 ∵为假命题， ∴为真命题，即， 又，， 当时，，即，； 当时，由可得， ，或， 解得， 综上，m的取值范围为. 16. 已知函数为上的奇函数，当时，，且． （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义，求得，从而求得，再根据奇函数的定义求得时的解析式即可得； （2）确定函数的单调性，然后由单调性解不等式． 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数，所以， ，， 即时，， 时，， 所以； 【小问2详解】 时，是减函数， 时，是减函数， 又时，，时，， 所以在上是减函数， 所以由得，解得． 所以的取值范围是． 17. 已知是二次函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出函数的解析式； （2）由（1）可得出函数的表达式，对参数的取值范围进行分类讨论，再由二次函数性质即可得出最小值的表达式； （3）将不等式恒成立问题转化为恒成立即可，利用单调性求得其最大值，再由题意可知满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 设， 由，可得. 由，得， 所以解得 则. 【小问2详解】 由题意得， 则图象对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 【小问3详解】 在（2）的条件下，对任意的，成立， 则. 因为，所以在上单调递减， 因为，，所以. 又存在，使得成立， 所以只要，即. 易知， 所以当时，， 则， 化简得，解得或， 即的取值范围为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义及性质，列出方程，即可求解； （2）由（1）结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 此时，，符合题意； 所以. 【小问2详解】 由已知得： 因为，所以， 所以当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为2， 故函数的值域为：. 19. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式. （2）由（1）可得的值域，再利用换元法设，可得的值域，根据，列不等式可得解. 【小问1详解】 函数中，，由是奇函数，得， 即，整理得，解得， 函数定义域为， 由，得，即，整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为函数在上单调递增， 故当时，， 由（1）得在的值域， 又， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省华东师大上饶实验中学2024-2025学年高一上学期10月数学检测题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 解集为 D. 的值域为 4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，与表示同一个函数的是（ ） A 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A. 的周期是2 B. 上递减，在上递增 C. 的最大值是2，最小值是1 D. 当时， 11. 已知是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在区间上单调递减 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是______. 13. 函数且过定点，则__________. 14. 已知，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且为假命题，求的取值范围． 16. 已知函数为上的奇函数，当时，，且． （1）求函数的解析式； （2）若实数满足不等式，求的取值范围． 17. 已知是二次函数，且满足，. （1）求函数解析式； （2）设函数，求在区间上最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域． 19. 已知函数为奇函数． （1）解不等式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$