精品解析：山东省枣庄市第十五中学2024-2025学年九年级上学期第一次单元评价（月考）数学试题

九年级单元学习评价 数学 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A.该方程化简后为，是一元一次方程，不符合题意； B.当时，不是一元二次方程，不符合题意； C.该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D.该方程是分式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2，②二次项系数不为0，③是整式方程，④含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 2. 若是方程的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的解，把代入方程求出m即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故选：D． 3. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）． A. 对角线互相平分 B. 四边相等 C. 对角线相等 D. 对角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质．熟练掌握这些知识是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型． 根据矩形、菱形的性质分别判断即可． 【详解】解： 、矩形、菱形的对角线都是互相平分的，故错误． 、菱形的四边相等，矩形的四边不一定相等，故正确． 、矩形对角线相等、菱形的对角线不一定相等，故错误． 、矩形、菱形的对角都是相等的，故错误． 故选：． 4. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 5. 用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法将方程配成，然后求出n的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键． 根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 7. 明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根是： C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题． 【详解】解：将代入方程得， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根. 故选：D. 8. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，再根据已知条件可得四边形是矩形，从而可得当点是正方形对角线和的交点时，此时最小，进而可得的最小值． 【详解】解：连接，， ，，， 四边形是矩形， ， ∵， ∴当点是正方形对角线和的交点时，最小， 四边形是正方形，边长为， ∴， ， 的最小值为的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是能够明确四边形是矩形． 10. 如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理得到，，进而可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E，F，G，H分别为四边形边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是矩形，那么，则， 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可对方程提取公因式x，根据因式分解法，即可求出方程的根. 【详解】∵3x2−x=0 即x(3x−1)=0 解得：， 故答案为， 【点睛】考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解题的关键. 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C坐标是，则顶点B的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交y轴于H，根据菱形的性质得到B的纵坐标和C的纵坐标相同，都是8，由勾股定理求出菱形的边长，即可得到B的横坐标，即可得到答案． 【详解】解：延长交y轴于H， ∵菱形， ∴轴， ∴，， 即：B的纵坐标是8， 在中，由勾股定理得：， 即：， ∴， 即B的横坐标是16， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是，求出菱形的边长． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，以及根据一元二次方程根据情况求参数的取值范围，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不能为0，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 综上：的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____． 【答案】30°或150° 【解析】 【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解即可得． 【详解】如图1， ∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， 则； 如图2， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， ∴DE=DC， ∴∠CED=∠ECD， ∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴∠CED=∠ECD=×（180°﹣30°）=75°， ∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°， 故答案为30°或150°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质、运用分类讨论思想画出符合题意的图形并准确识图是解题的关键． 15. 对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当x≥－2时，x2+x－2=10， 解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）； 当x＜－2时，（－2）2+x－2=10， 解得：x=8（不合题意，舍去）； ∴x=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x≥－2和x＜－2两种情况进行解方程是解题的关键． 16. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论： ①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形对角线性质和角平分线性质得到，结合矩形性质推出， ，得到， 得到，即可判断①；根据，判断②；根据正方形性质得到， ， ，得到，得到，得到，平分，判断③；过点F作交于点H，可得，，得到，根据， ，得到，得到，即得，判断④． 【详解】解：过点E作于点M，作于点N，如图所示， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， 故①正确； ∵， 当时，， 故②不正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； 过点F作交于点H， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 综上可知①③④正确． 故答案为：①③④， 【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形．熟练掌握正方形的判定和性质，角平分线性质，矩形性质，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题，72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法，公式法解一元二次方程． （1）先移项再因式分解即可得到答案； （2）利用公式法即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴． 18. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ， ∴ 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键． （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 19. 如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米． （1）设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长． （2）求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． （1）根据题意，用含的代数式表示养鸡场的长即可； （2）根据矩形的面积长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180平方米，可得方程，解方程即可． 【小问1详解】 设与墙平行的一边长为米，养鸡场的长为（米）； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得出： ， 解得：，， 墙长20米， ，即， ． 20. 如图，在矩形中，E，F分别是、上的点，，连接、，与对角线交于，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ． 在和中， ， ∴， ； 解：如图：连接． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明，即可证明； （2）如图：连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由全等三角形的性质可得，再结合矩形的性质可得，然后根据等边对等角的性质可得；在中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到，再由三角形外角的性质证明，则，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，进而求出的长即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ，， ， 在中，． ， ． 四边形是矩形， ， ． ，即，， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 22. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】（1）经过2秒或秒； （2）经过1秒或2秒． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； 【小问2详解】 设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 23. 【引入命题】设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即.其中仍然是关于字母的一个整式. （1）若，则的一个根是___________； 【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，. （2）利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，. （3）利用上式结论解题：已知方程有三个根，，，求的值； 【拓展提高】 （4）利用以上规律探究：若方程有个根，，…，，则____________，_____________. 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系的推导方法，高次方程的求解，读懂题意，从题干中找到规律，并总结一般规律，是解答本题的关键． （1）由题意，，则，即时，，由此得到答案． （2）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，，得到，由此得到答案． （3）设方程的三个根为，，，并进行因式分解，得到，进而得到一元三次方程根与系数的关系，由此得到答案． （4）根据以上规律，得到方程有个根，，…，，进行因式分解，，由此得到答案． 【详解】解：（1）由题意得： ， 则，即， ， ， 即的一个根是， 故答案为：． （2）根据题意得： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 由（1）得：，， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 的值为3． （3）设方程的三个根为，，， 因式分解： 一元三次方程根与系数的关系为：，，； 又已知方程有三个根，，， ，，， ， 即． （4）由题意得： 方程有个根，，…，， 因式分解： ，． 故答案为：，． 24. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． 四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ，． ∵， ∴， ∴， ， 又∵， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形可得，，则可证明，得到，，再证明，得到，则可证明； （2）先由正方形的性质得到，，，再证明，可得，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级单元学习评价 数学 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 3. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）． A. 对角线互相平分 B. 四边相等 C. 对角线相等 D. 对角相等 4. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 6. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 7. 明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根是： C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 8. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 9. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 10. 如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C坐标是，则顶点B的坐标是_______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 14. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____． 15. 对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___． 16. 如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论： ①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为_______． 三．解答题（共8小题，72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 19. 如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米． （1）设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长． （2）求出的值． 20. 如图，在矩形中，E，F分别是、上的点，，连接、，与对角线交于，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 22. 如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： （1）经过多长时间，长为？ （2）经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 23. 【引入命题】设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即.其中仍然是关于字母的一个整式. （1）若，则的一个根是___________； 【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，. （2）利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，. （3）利用上式结论解题：已知方程有三个根，，，求的值； 【拓展提高】 （4）利用以上规律探究：若方程有个根，，…，，则____________，_____________. 24. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $