精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

七宝中学2024学年第一学期期中练习高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线与直线的夹角的大小是_____. 2. 平行直线与之间的距离是_____. 3. 若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是_____. 4. 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则_____. 5. 若圆与轴相切，则实数的值是_____. 6. 已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______． 7. 已知直线，，若，则实数的值为______. 8. 已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________. 9. 直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为______． 10. 等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是______. 11. 若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为_____. 12. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应将正确答案写在答题纸的相应题号的空格上，13，14题每个选对得4分，15，16题每个选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列各组两个方程表示相同曲线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在商场正东3公里处新落成一家商场，其占地面积是面积的，研究表明，在仅考虑和两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度受其面积，及住户家离商场距离的影响，满足关系：，其中是大于0的常数，则相比于商场，商场对周边住户吸引力更强区域的形状为（ ） A. 椭圆的内部 B. 双曲线右支的开口侧 C. 抛物线的开口侧 D. 圆的内部 16. 已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（ ） A. ①②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②都为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. （1）求边的高所在直线的一般式方程； （2）求边的中线所在直线的斜率. 18. 若圆过点，，. （1）求圆的一般方程； （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程. 19. 如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）. （1）试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； （2）若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 20. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 21. 已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. （1）若，，求曲线的方程； （2）若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； （3）若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2024学年第一学期期中练习高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线与直线的夹角的大小是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两直线夹角公式去求解即可. 【详解】线与直线的斜率分别为， 由直线的夹角公式可得，又，所以. 故答案为：. 2. 平行直线与之间的距离是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【详解】由题意得即， 则平行直线与之间的距离是. 故答案为：. 3. 若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求斜率范围. 【详解】由，则. 故答案为： 4. 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长. 【详解】由题设，抛物线焦点为，即， 令，则，故. 故答案为：4 5. 若圆与轴相切，则实数的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心与半径，进而可得，求解即可. 【详解】由，可得， 方程表示圆，则可得圆心为，半径为， 由圆与轴相切，则可得，解得. 故答案为：. 6. 已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】在椭圆中，，，则，， 由椭圆的定义可得， 因为，则， 所以，. 故答案为：. 7. 已知直线，，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行的结论得，求解即可. 【详解】因为直线，，， 所以，解得. 故答案为：. 8. 已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，其中，结合离心率公式即可得解. 【详解】设渐近线的倾斜角为，则，即， 所以，离心率. 故答案为：. 9. 直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答案. 【详解】由，整理可得， 令，解得，则直线过定点， 易知当时，原点到直线的距离最大，显然此时斜率都存在， 直线的斜率，直线的斜率， 由，则，解得. 故答案为：. 10. 等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】由等轴双曲线的对称轴为直线，可求出双曲线的顶点坐标，进而求出和的值，可得出结果. 【详解】等轴双曲线的对称轴为直线， 联立得或， 故双曲线的顶点坐标为：和， 故，所以， 所以焦点坐标是和， 所以等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是. 故答案为：. 11. 若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的几何性质与三角形三边关系定理可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以焦点、的坐标分别为， 因为为椭圆上一动点，所以， ，， 所以， 当且仅当三点共线，且在之间时取等号， 所以周长的最小值为. 故答案为：. 12. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出示意图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案. 【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又. 则，又，则，即. 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接， 过点作，记垂足为，则. 设直线倾斜角为，则. 在四边形中，注意到，又四边形内角和为， 则，在中，， ， 则， 则直线斜率，即. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应将正确答案写在答题纸的相应题号的空格上，13，14题每个选对得4分，15，16题每个选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列各组两个方程表示相同曲线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程判断其中的范围及化简后关系式是否相同，即可得答案. 【详解】A：过原点，而不过原点，不是同一曲线； B：，显然与不是同一曲线； C：由，即有，故为同一曲线； D：由，而中，故不是同一曲线. 故选：C 14. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆可求的取值范围，即可判断选项. 【详解】方程可化为. ∵方程表示焦点在轴上的椭圆， ∴， ∴，即， ∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件. 故选：C. 15. 在商场正东3公里处新落成一家商场，其占地面积是面积的，研究表明，在仅考虑和两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度受其面积，及住户家离商场距离的影响，满足关系：，其中是大于0的常数，则相比于商场，商场对周边住户吸引力更强区域的形状为（ ） A. 椭圆的内部 B. 双曲线右支的开口侧 C. 抛物线的开口侧 D. 圆的内部 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得到，令，住户坐标为，应用两点距离公式即可得区域形状. 【详解】令的面积为，则的面积为， 若住户到距离为，则到的距离为， 要使，且，即， 令，住户坐标为， 所以， 故商场对周边住户吸引力更强区域的形状为圆的内部. 故选：D 16. 已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（ ） A. ①②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②都为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当与圆相切时，可得，可判断②. 【详解】由，可得圆心，半径为， 由，可得，半径， 由，所以， 所以两圆相交，故不存在，使圆与圆相切， 故①为假命题； 因为，所以直线过点， 当与圆相切时，可得，所以， 所以对任意，直线上都存在点， 圆上都存在两点、，使.故②正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判断. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. （1）求边的高所在直线的一般式方程； （2）求边的中线所在直线的斜率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由两条高线所在直线方程联立求得垂足坐标后，再计算直线的斜率得直线方程； （2）由垂直得出直线的斜率，从而可得直线方程，联立方程组分别求得两点坐标后，由中点坐标公式计算出中点坐标，然后计算斜率． 【小问1详解】 由，解得，因此垂足为， 所以高所在直线的斜率为， 直线方程为，即； 【小问2详解】 因为边，上的高所在直线的方程分别为与， 所以，， 直线方程为，即， 直线方程为，即， 由，得，即， 由得，即， 所以的中点的坐标为， 所以． 18. 若圆过点，，. （1）求圆的一般方程； （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入三点坐标利用待定系数法求圆的一般方式. （2）要求圆关于直线的对称圆，只需求出圆心关于直线的对称点，再根据对称前后的圆半径相等即可求解. 【小问1详解】 设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. 【小问2详解】 由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 19. 如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）. （1）试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； （2）若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】（1）； （2）即时，，此时点到道路的距离为公里；时，，此时点到道路的距离为公里； 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【小问1详解】 如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则， 由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 20. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）存在，2条； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程； （2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程求参数k，即可得答案. （3）设切线方程为，切线方程为，且，根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理及椭圆有界性求范围. 【小问1详解】 由题意，，得，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知：，显然直线不与轴重合， 设直线为，， 联立，得，显然， 所以，， 则， 圆半径为1，则，故， 所以（负值舍），即满足条件的直线有2条； 【小问3详解】 设切线方程为，切线方程为，且， 圆与相切，则，化简得， 同理， 所以是的两个不相等实根，则， 又在椭圆上，故，则， 由存在，则，即， 所以. 21. 已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. （1）若，，求曲线的方程； （2）若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； （3）若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）当时，曲线为椭圆； 当时，曲线为抛物线； 当时，曲线为双曲线； （3）证明：若，，则，由（2）可得曲线的方程为， 设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 直线的方程为，由双曲线关于轴对称，可得定点在轴上， 当时， ， 所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，化简即可； （2）由题意可得，进而分类讨论可得结论； （3）设直线的方程为，设，则，联立方程组可得，可得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【小问1详解】 当，时，则，设， 由题意可得，化简得， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 若，则，设， 由题意可得，化简得，即, 当时，方程表示椭圆； 当时，方程表示抛物线； 当时，方程表示双曲线； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题求定点坐标，关键由对称性可得定点在轴上，进而令直线方程中的，求解可得定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $