精品解析：江西省上饶市华东师范大学上饶实验中学2025届高三上学期10月月考数学检测题

江西省华东师大上饶实验中学2024-2025学年高三上学期10月数学检测题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数为偶函数.当满足时，有最小值2，则和的值分别是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 5. 已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的图象没有对称中心 C. 的增区间为 D. 方程有5个实数解 10. 已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（ ） A. 若，，则点到平面的距离为 B. 存在使得四棱锥有外接球 C. 若，则棱锥体积的最大值为 D. 若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时， 11. 已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 13. 假设关于某设备使用年限和所支出的维修费用万元统计数据如下： 使用年限 维修费用 若有数据知对呈线性相关关系．其线形回归方程为，请估计使用年时的维修费用是______万元． 14. 若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知二次函数满足，且 （1）求函数的解析式； （2）解关于x的不等式. 16. 已知函数，，的定义域均为定义：若存在n个互不相同的实数，使得，则称与关于“n维交换”. （1）判断函数与是否关于“n维交换”，并说明理由； （2）设，，若与关于“维交换”，求实数k的值. 17. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 18. 直三棱柱中，为中点，E为中点，F为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面正弦值； （3）求平面与平面夹角余弦值． 19. 若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”. （1）若，求的值构成的集合； （2）若，使得，证明：为整数； （3）若，求的值构成的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省华东师大上饶实验中学2024-2025学年高三上学期10月数学检测题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式，结合对数函数定义域得到，利用交集概念进行求解. 【详解】由题意得，解得， 故， 所以. 故选：B 2. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 3. 设函数为偶函数.当满足时，有最小值2，则和的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性、周期性求得正确答案. 【详解】依题意，，所以， 当满足时，有最小值2， 所以，所以， 由于是偶函数，所以，而，所以. 故选：D 4. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，再根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 则. 故选：B. 5. 已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出的关系，再根据椭圆的性质求解即可. 【详解】设，， 将直线方程与椭圆方程联立， 消去得， 则， 因为的中点为所以，解得， 所以，， 故选：B 6. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设， 又， ，解得， 即. 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 7. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得. 【详解】令，由是定义在上奇函数， 可得是定义在上的偶函数， 又因为时，， 所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数， 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 由，可得， 故，所以； 设，则， 所以在单调递增， 故，所以，即 所以，所以， 故选：D 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的图象没有对称中心 C. 的增区间为 D. 方程有5个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可判断函数的周期，结合时的解析式，即可作出函数图象，数形结合，即可判断A，B，C；将方程的解的个数问题，转化为函数和的图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】因，则有， 用替换，可得， 即2为函数的周期. 当时，，当时，. 结合函数的周期性，可作出函数的图象如下图. 由图知，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，即A正确； 由图知，函数的图象关于和，都对称，故B错误； 由图知，函数的单调增区间为，故C正确； 由图中作出的图象，可见其与函数的图象有且仅有5个交点， 故方程有5个实数解，即D正确. 故选：ACD. 10. 已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（ ） A. 若，，则点到平面的距离为 B. 存在使得四棱锥有外接球 C. 若，则棱锥体积的最大值为 D. 若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由线面平行将点到平面的距离转化成点到平面的距离即可求解，对于B,通过四边形没有外接圆即可判断，对于C，确定的长度，结合体积公式及基本不等式即可判断,对于D，补全长方体即可判断. 【详解】，，易知平面ABC,平面， 易知面 故点到平面的距离为即为点到平面的距离， 因为，所以，所以， 所以为二面角的平面角， 又为平面内两条相交直线， 所以平面， 所以平面，又在平面内， 所以平面平面， 所以到平面ABC的距离即为到， A选项：，，即，三角形等边三角形， 可得：到的距离为，故A正确； B选项：由于直角梯形不可能共圆，所以四棱锥无外接球，所以B错误； C选项：由题意可知，，， , ， 由基本不等式可知：， 当且仅当，即时取得最大值， 所以, 所以当，时，体积取到最大值，故正确； D选项：由题意可知，，， ，也即两两垂直， 可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为r， 则，， 所以时，取得最小值，此时，所以D正确． 故选：ACD 11. 已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，故，C错误； 对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. 故答案为：. 13. 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用万元统计数据如下： 使用年限 维修费用 若有数据知对呈线性相关关系．其线形回归方程为，请估计使用年时的维修费用是______万元． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据回归方程过求出，代入得解. 【详解】由题意可得，， 由回归方程过点可得，解得， 故方程为， 把代入可得， 故答案为：． 14. 若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】只需函数的极值点在区间内，再利用为定义域的真子集即可求出实数的取值范围. 【详解】解：函数的定义域是， 所以，即. 因为， 所以在上单调递增， 由，可得 若函数在区间内不单调， 则，解之可得， 又因为，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知二次函数满足，且 （1）求函数的解析式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式； （2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又因为， 所以， 所以，所以， 所以，即 【小问2详解】 由， 可得不等式， 即，所以， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 16. 已知函数，，定义域均为定义：若存在n个互不相同的实数，使得，则称与关于“n维交换”. （1）判断函数与是否关于“n维交换”，并说明理由； （2）设，，若与关于“维交换”，求实数k的值. 【答案】（1）与关于是“n维交换”，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，，令，解出的值即可判断； （2）找到等量关系，构造函数转化零点个数问题求解即可. 【小问1详解】 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一实数解， 即与关于是“维交换”， 所以与关于是“n维交换”. 【小问2详解】 令，依题意，函数在R上有3个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，函数在时只有1个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有2个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点， 当时，在时无零点，当时，在时有1个零点， 综上所述，当时，有3个零点， 所以当与关于“3维交换”时，. 【点睛】关键点点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找到等量关系，转化零点个数问题是本题的解题关键. 17. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换化简，进一步由周期公式以及整体代入法可得对称中心； （2）通过化简得到，分离参数可得，进一步由换元法即可求解. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期为：， ，， 所以的对称中心的坐标为：； 【小问2详解】 由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到， 再向下平移1个单位得到， 再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到 即， ， ， 可得 ， 令， 在上单调递减， 所以， 在上有解，需， ， 的取值为. 18. 直三棱柱中，为中点，E为中点，F为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点坐标，平面的法向量为，计算出，从而得到⊥，又平面，所以平面； （2）求出平面的法向量，利用线面角的求解公式求出答案； （3）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式求出答案. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系， 又为中点，E为中点，F为中点． 故， 则，平面的法向量为， 故，所以⊥， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 ， 设是平面的法向量，则有：， 即，令，则，所以， 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面的正弦值为； 【小问3详解】 ，则， 设平面的法向量为，则有， 即，解得，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以． 平面与平面夹角的余弦值为 19. 若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”. （1）若，求的值构成的集合； （2）若，使得，证明：为整数； （3）若，求的值构成的集合. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“收缩性质”逐步求得. （2）根据“收缩性质”，先判断出，都是3的倍数，然后判断出，都是3的倍数，从而得到为整数. （3）先判断出数列具有周期性，判断出数列有最小值，判断出数列的最小值为或，由此进一步确定的值构成的集合. 【小问1详解】 当为奇数时，为偶数；， 当为偶数时，， 因为，则为偶数，则， 若为奇数，则，不符合题意， 所以为偶数，则. 若为奇数，则； 若为偶数，则； 所以的值构成的集合为 【小问2详解】 依题意，为3的倍数（）， 当为奇数时，； 当为偶数时，则为偶数，， 故是3的倍数， 以此类推，，都是3的倍数； 另一方面，当时，由于 当为3的倍数时，可知也是3的倍数， 以此类推，，都是3的倍数， 综上所述，整数. 【小问3详解】 因为，故数列具有周期性， 由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3. 当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数； 不妨设，则是偶数，， 假设，则，与是最小值矛盾， 综上，只能是小于5的正奇数，即1或3； 当数列中出现1时，后面的项为循环； 当数列中出现3时，后面的项为循环； 所以数列具有周期性时，只能为中某一个数. 经检验，当时，. 【点睛】方法点睛： 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $