精品解析：辽宁省东港市2024-2025学年九年级上学期期中教学质量监测数学试卷

2024-2025学年度上学期期中教学质量监测 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选答案填入下方表格内） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则a的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 4. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线，分别交，于点E，F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 10. 已知菱形中，点G是对角线上一点，分别交边和的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．估计这个口袋中红球的个数为______个． 12. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为______． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是______． 14. 如图，在中，对角线，交于点O，E为三等分点且，连接交于点F，若的面积为1，则的面积为______． 15. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则d的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 解方程： （1） （2） 17. 为弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）甲、乙同学都被选为宣传员______（填“必然”、“不可能”或“随机”）事件； （2）请用列表或画树状图的方法，求出甲，乙同学都被选为宣传员的概率． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P，Q同时出发，用表示移动的时间．当与相似时，求出t的值． 19. 某超市销售一款洗衣液，这款洗衣液的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时每天可售出80瓶．根据市场行情，为尽量减少库存，现决定降价销售．市场调查反映销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶，当销售单价定为多少元时，每天销售这款洗衣液可获得200元利润． 20. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． （1）当时，求的面积； （2）经过几秒，的面积是面积的一半． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当时，判断四边形形状，并说明理由； （3）直接写出以为对角线的正方形面积为96时t的值． 23. 如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期中教学质量监测 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选答案填入下方表格内） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的因式分解法，根据方程的特点灵活运用因式分解法解方程是解题关键．方程移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，即可求出方程的解． 【详解】解：原方程， 移项后得：， 分解因式，得：， 解得：，． 故选：C． 2. 已知，且，则a的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设，则利用比例性质得到，，，再把它们分别代入得到关于的方程，然后解方程求出，从而得到a的值．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 【详解】解：依题意，设， 则，，， ， ， 解得， ∴ 故选：A． 3. 把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作轴，于点E，根据勾股定理求出，根据正方形的性质得，然后说明，再根据“角角边”证明，可得，进而得出答案． 【详解】解：过点D作轴，于点E， 根据勾股定理，得． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，构造全等三角形是解题的关键． 5. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， 共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， 构成轴对称图形的概率是， 故选：B 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质， 先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 在中，是斜边上的中线， ∴， ∴． 在中，． ∴， 即， 解得． 故选：D． 7. 如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，二次根式的化简， 连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线，分别交，于点E，F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的性质，即可得到的长，再根据，即可得到的长． 【详解】解：中，，，， ∴由勾股定理得， ， 由题可得，， ， 由题可得，垂直平分， ，， 又， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：C． 【点睛】题主要考查了勾股定理和相似三角形解的判定与性质及两种基本尺规作图，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 9. 如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得平行于墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，求一元一次不等式组的解集，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【详解】解：垂直于墙的一边长为米，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域， 平行于墙的一边长为米， 则：，故A错误； 公园里有一段长20米的墙， ∴， 解得：，故B错误； 对于方程，化简得：， 解方程得：，， ， 故只有一种围法，故C正确、D错误； 故选：C． 10. 已知菱形中，点G是对角线上一点，分别交边和的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证得是解题的关键．根据菱形的性质可得，，再由平行线的性质可得，由三角形全等的判定得出，得出，，从而得到，可证得，根据相似比即可求解． 【详解】是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， , ， ， 解得， , 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．估计这个口袋中红球的个数为______个． 【答案】6 【解析】 【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．本题主要考查由频率估计概率，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故答案为：6． 12. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得，解不等式即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式与根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，且， ∴且． 14. 如图，在中，对角线，交于点O，E为三等分点且，连接交于点F，若的面积为1，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定，求三角形的面积等， 先根据平行四边形的性质得，可知，再说明，可得，然后求出，进而求出，再结合，可求出，接下来得出，最后根据平行四边形的性质得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的三等分点， ∴． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 15. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则d的值为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】分类讨论：当为边，或当为对角线，结合菱形的性质以及两点间距离公式可求d，．本题考查了菱形的性质，勾股定理，分类讨论思想，解答本题的关键是利用两点间距离公式列出方程． 【详解】解：若为边，是对角线， 为菱形， 且，，， ， ，（舍去）； 若为对角线，为边， 为菱形， 且，，， ， ∴， 故答案为：4或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式为，再配方，得，解得即可作答． （2）先移项，再提公因式，得，令每一个因式为0，进行计算，即可作答． 小问1详解】 解： ， ， ， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得． 17. 为弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）甲、乙同学都被选为宣传员______（填“必然”、“不可能”或“随机”）事件； （2）请用列表或画树状图的方法，求出甲，乙同学都被选为宣传员的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的定义即可得出结论； （2）画树状图，所有可能出现的结果共有12种，并且这些结果出现的可能性相同，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果有2种，然后由概率公式求解即可． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及随机事件．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解： 某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员， “甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，乙的结果有2种， ∴选中的两名同学恰好是甲，乙的概率， 18. 在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P，Q同时出发，用表示移动的时间．当与相似时，求出t的值． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定和性质，注意分两种情况讨论． 根据，，点P、点Q的运动速度和运动方向即可用t表示出、的长；分两种情况讨论，根据时，，时，，最后求解即可； 【详解】解：根据题意得： ； ； ①若时，， 即， ∴． ②若时，， 即， ∴． ∴当或时，与相似． 19. 某超市销售一款洗衣液，这款洗衣液的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时每天可售出80瓶．根据市场行情，为尽量减少库存，现决定降价销售．市场调查反映销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶，当销售单价定为多少元时，每天销售这款洗衣液可获得200元利润． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设降价为x元，再表示出单件利润，销售量，然后根据总利润等于单件利润乘以销售量列出方程，求出解即可． 【详解】解：设降价为x元，根据题意，得 ， 解得（舍）， ∴（元）． 所以当销售价为17元时，每天销售这款洗衣液可获得200元利润． 20. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）2 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，所以．又由，，由直角三角形性质得．在中，，由直角三角形性质得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ∴四边形是平行四边形． ，， ， ， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ，， ． 又，， ． 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． （1）当时，求的面积； （2）经过几秒，的面积是面积的一半． 【答案】（1） （2）过2秒或12秒 【解析】 【分析】（1）根据点P的速度是，点Q的速度是，，，利用面积公式求解； （2）设经过秒的面积是面积的一半，则，， 进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论． 本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用． 【小问1详解】 解： 点P的速度是，点Q的速度是， 当时，，， ∵，， ∴，， ． 小问2详解】 解：设经过秒的面积是面积的一半， 根据题意得：， 当 时如图： ， 整理得， 解得（舍去）或． 当时如图： ， 整理得， ，无解． 当时如图： ， 整理得， 解得或（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒，的面积是面积的一半． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）直接写出以为对角线的正方形面积为96时t的值． 【答案】（1）当时，四边形为矩形 （2）四边形为菱形，理由见解析 （3）t的值为：或 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得出BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可； （2）t＝6时，BQ＝6，DP＝6，得出CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，AP＝CQ，，四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，由勾股定理求出AQ＝10，得出AQ＝CQ，即可得出结论； （3）分两种情况：求出正方形的边长为4，则对角线PQ为8，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可； 【小问1详解】 ∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16， ∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8， 由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t， 在矩形ABCD中，∠B＝90°，， 当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝16﹣t， 解得：t＝8， ∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形； 故答案为：8 【小问2详解】 四边形AQCP为菱形；理由如下： ∵t＝6， ∴BQ＝6，DP＝6， ∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10， ∴AP＝CQ，， ∴四边形AQCP为平行四边形， 在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10， ∴AQ＝CQ， ∴平行四边形AQCP为菱形， ∴当t＝6时，四边形AQCP为菱形； 【小问3详解】 ∵正方形面积为96， ,∴正方形的边长为：4，∴PQ＝×4＝8； 分两种情况： ①如图1所示：作PM⊥BC于M， 则PM＝AB＝8，DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t， 由勾股定理得：QM＝＝8， BM＝BQ+QM， ∴t+8＝16﹣t， 解得：t＝8﹣4； ②如图2所示：DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t， ∵BQ＝BM+QM， ∴16﹣t+8＝t， 解得：t＝8+4； 综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：8﹣4或8+4； 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键． 23. 如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）3 （3），理由见详解 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是根据正方形的性质证明全等． （1）由正方形的性质得出，，结合直角三角形的性质推出，即可证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）根据正方形的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）过点作于点，先证明，利用勾股定理即可解决． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$