精品解析：　四川省巴中市通江县通江德才外国语学校2024-2025学年 九年级上学期期末第一次模拟考试数学试题

通外2024年秋九年级期末第一次模拟考试 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题（本题共计 12 小题 ，每题4 分 ，共计48分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简二次根式 ，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A B. 且 C. D. 且 4. 下列说法正确的是（        ） A. 了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B. 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C. 一组数据，，，的众数是，中位数是 D. 可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 5. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 6. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 8. 下列说法中，正确的是（　　） A. 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍 B. 若45°＜α＜90°，则sinα＞1 C. cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D. 若α为锐角，tanα＝，则sinα＝ 9. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 12. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 二、 填空题（本题共计 6小题 ，每题3 分 ，共计18分） 13. 与最简二次根式5同类二次根式，则a=_____． 14. 如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是　 　． 15. 已知实数m，n满足，，且，则=______． 16. 若关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 17. 如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 18. 如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接．若，则________． 三、 解答题（本题共计 7 小题 ，共计84分 ） 19. （1）计算：． （2）解一元二次方程：． （3）先化简：，再从不等式中选取一个合适的整数，代入求值． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，. （1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形； （2）请画出关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 21. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． （2）当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 22. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）． 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 良好 45 c 优秀 32 图1 学生体质健康统计表 （1）图1中________，________，________； （2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 23. 如图1，在四边形中，和相交于点O，． （1）求证：四边形平行四边形； （2）如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长． 24. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 25. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝． （1）求反比例函数关系式和点E的坐标； （2）写出DE与AC的位置关系并说明理由； （3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 通外2024年秋九年级期末第一次模拟考试 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题（本题共计 12 小题 ，每题4 分 ，共计48分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算出各项结果后，再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故此计算错误，不符合题意； B. ，故此计算错误，不符合题意； C. ，故此计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 2. 化简二次根式 ，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先判断a的正负，再根据二次根式的性化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列式求得相应的取值范围即可． 【详解】由题意得，，， 解得，且， 故选D． 【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义 4. 下列说法正确的是（        ） A. 了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B. 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C. 一组数据，，，的众数是，中位数是 D. 可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键． 全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果数据的个数是偶数，中间两数的平均数就是中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 【详解】解：，了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，该选项错误； ，甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明甲的跳远成绩比乙稳定，该选项错误； ，一组数据，，，的众数是，中位数是，该选项正确； ，可能性是的事件在一次试验中可能会发生，该选项错误； 故选 5. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 6. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 【答案】C 【解析】 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选C． 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 8. 下列说法中，正确的是（　　） A. 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍 B. 若45°＜α＜90°，则sinα＞1 C. cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D. 若α为锐角，tanα＝，则sinα＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义利用排除法求解． 【详解】A、在中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误； B、，则，故本选项错误； C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误； D、根据设两直角边为、，根据勾股定理得斜边为 ，所以，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，锐角三角函数的增减性，解题关键在于对三角函数定义以及概念的把握. 9. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 10. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 11. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】如图，连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 12. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解． 【详解】如图，过点A作，垂足为F， 设，， ∵轴，， ∴轴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、 填空题（本题共计 6小题 ，每题3 分 ，共计18分） 13. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 14. 如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是　 　． 【答案】2 【解析】 【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积． 【详解】因为正三角形和正方形的面积分别是2和2， 则正方形的边长为 设正三角形的边长为a，则a2×=2， 解得a=2． 则图中阴影部分的面积=2×-2=2 故答案是：2 【点睛】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽． 15. 已知实数m，n满足，，且，则=______． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：由时，得到m，n是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解． 试题解析：∵时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴，． ∴原式===，故答案为． 考点：根与系数的关系． 16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， ， ， 取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 17. 如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【详解】解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 18. 如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接．若，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、解直角三角形，也考查学生图形分析能力和逻辑推理能力．连接，设，先判断，再利用勾股定理通过进行等量代换列出关于x的方程，然后解方程求得x值，进而可求解．本题中根据折叠性质得到，利用勾股定理求解是解答的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形矩形，，， ∴，，， 设，则， 由折叠性质得，，，，， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，又， ∴，即， 解得，， 当时，，，则，不满足题意，舍去； 当时，，，则，满足题意， ∴， 在中，， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 7 小题 ，共计84分 ） 19. （1）计算：． （2）解一元二次方程：． （3）先化简：，再从不等式中选取一个合适的整数，代入求值． 【答案】（1）-2；（2），；（3），，-1 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，整数指数幂运算法则以及立方根的定义先化简，然后合并求解即可； （2）先整理为一般式，然后利用因式分解法求解即可； （3）根据分式的混合运算法则先化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的数值进行代入求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，； （3）原式 由不等式的整数解为，，0，1，2， 其中，0，1，2时，原式都没有意义， 当时，原式． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，整数指数幂运算，解一元二次方程以及分式化简求值等，熟练掌握相关的运算法则以及求解方法，理解分式有意义的条件是解题关键． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，. （1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形； （2）请画出关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点的位置，然后顺次连接即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则， ， ， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴P点坐标为． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图、作关于原点O成中心对称的图形、轴对称最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握平移和中心对称的性质． 21. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． （2）当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】（1）渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 （2）救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 小问1详解】 解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 22. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）． 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 良好 45 c 优秀 32 图1 学生体质健康统计表 （1）图1中________，________，________； （2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 【答案】（1）；20； （2）补全图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； （3）选取的2名学生均为“良好”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． （1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再分别求得的值； （2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，利用样本估计总体可求解； （3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“良好”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：样本容量为， 则， ， ， 故答案为：；20；； 【小问2详解】 解：补全条形统计图，如图： （人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； 【小问3详解】 解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种， ∴选取的2名学生均为“良好”的概率为． 23. 如图1，在四边形中，和相交于点O，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）24 【解析】 【分析】(1)由得到BC//AD，再证明△AOD≌△COB得到BC=AD，由此即可证明四边形ABCD为平行四边形； (2)由ABCD为平行四边形得到BD=2BO，结合已知条件BD=2BA得到BO=BA=CD=OD，进而得到△DOF与△BOA均为等腰三角形，结合F为OC中点得到∠DFA=90°，GF为Rt△ADF斜边上的中线求出；过B点作BH⊥AC于H，求出BH=9，再证明四边形BHGE为平行四边形得到GE=BH=9，最后将GE、GF、EF相加即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴BC∥AD， 在△AOD和△COB中：， ∴△AOD≌△COB(ASA)， ∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【小问2详解】 解：∵点E、F分别为BO和CO的中点， ∴EF是△OBC的中位线， ∴； ∵ABCD为平行四边形， ∴BD=2BO， 又已知BD=2BA， ∴BO=BA=CD=OD， ∴△DOC与△BOA均为等腰三角形， 又F为OC的中点，连接DF， ∴DF⊥OC， ∴∠AFD=90°， 又G为AD的中点， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：； 过B点作BH⊥AO于H，连接HG，如上图所示： 由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=AO=AC=4， ∴HC=HO+OC=4+8=12， 在Rt△BHC中，由勾股定理可知, ∵H为AO中点，G为AD中点， ∴HG为△AOD的中位线， ∴HG∥BD，即HG∥BE， 且， ∴四边形BHGE为平行四边形， ∴GE=BH=9， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握各图形的性质及定理是解决本题的关键． 24. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝． （1）求反比例函数关系式和点E的坐标； （2）写出DE与AC的位置关系并说明理由； （3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点G的坐标为或，这两个点都在反比例函数图象上 【解析】 【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解； （2）证明 ，即可求解； （3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解． 【详解】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2， 而BD＝， ∴CD＝2﹣＝，故点D（，2）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3， 故反比例函数表达式为y＝ ， 当x＝2时，y＝，故点E（2，）； （2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2）， 则BD＝，BE＝， 故＝＝，＝ ＝＝， ∴DE∥AC； （3）①当点F在点C的下方时，如下图， 过点F作FH⊥y轴于点H， ∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2， 在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2， 则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°， 则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝， 故点F（1，），则点G（3，）， 当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上； ②当点F在点C的上方时， 同理可得，点G（1，3）， 同理可得，点G在反比例函数图象上； 综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上． 【点睛】本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F作FH⊥y轴于点H. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$