广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科答题卷 题号源:学 +科+网] 一[来源:学 科网][来源 om] 二 三 四 总分 15 16 17 18 19 得分 一．单选题（本题共 8小题，每小题 5分，满分 40 分） 三．填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，满分 15分） 12. 13. 14. 四．解答题（本大题共 5小题，满分 77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 16. 班 级 姓 名 座 号 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 二．多选题（本题共 3小题，每小题 6分，满分 18 分） 9 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 17. 18. 19. 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷（解析版） 第 1页（共 4 页） 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷（答案） 一、单选题：1-4：D C A B 5-8：D C D B 2.解析：因为    2 1 2i 1 i1 2i 3 i 3 1 i 1 i 1 i 2 2 2 z           ，所以复数 z 的虚部为 1 2 ，故选 C 3.解析：若两直线垂直，则    1 1 0a a a a    ，解得： 0a  或 1a  ，显然集合 1 是集合 0,1 的真子集， 所以“ 1a  ”是“直线  1 1 0ax a y    与直线  1 1 0a x ay    垂直”的充分不必要条件. 4.解析：因为 a c   ， ( , 2,2)a x  ， (3, 6,3)c    ，所以3 12 6 0x    ，所以 2x  ，因为 //b c   ， (2, , 2)b y  ， (3, 6,3)c    ，所以 2 2 3 6 3 y    ，所以 4y   ，所以 (4, 2, 4)  a b   ，所以 2 2 24 ( 2) 4 6a b       ． 5.解析：由题意得 2, 2a b b     ，则向量a  在b  上的投影向量为  2 0,1,1| | a b b b       . 6.解析：   1 3 π sin 3cos 2 sin cos 2sin 2 2 3 f x x x x x x                 ， π π π 5π 0, , 2 3 6 , 3 x x             ，根据正弦函数的性质，  π2sin 1,2 3 x       .所以最小值为 1，故选 C. 7.解析：令 0x  ，则 3 1y n     ，所以 3n  ，设直线 2 3 0x y   的倾斜角为，则直线 3 0mx ny   的倾斜 角为2 ，因为直线 2 3x y  的斜率为 1 2 ，所以 1 tan 2   ，故 2 2tan 1 4 tan2 11 tan 31 4        ，则直线 3 0mx ny   的斜率 4 tan2 3 3 m m n       ，所以 4m   故选：D. 8.解析：记 (1,1)为点 P，直线PA的斜率 3 1 4 2 1PA k       ，直线 PB的斜率 2 1 3 3 1 4PB k       ，因为直线 l 过点 (1,1)P ， 且与线段 AB相交，结合图象，可得直线 l 的斜率 k 的取值范围是 3( , 4] , 4       ． 二、多选题：9.BCD 10.AD 11.ABC 9.解析：因为不等式 2 2 2 0ax ax  ≥ 的解集为 R，则当 0a  时， 2 0 恒成立，即有 0a  符合题意， 当 0a  时， 2 0 Δ 4 8 0 a a a      ，解得0 2a  ，所以实数 a 取值范围是0 2a  ，A 不满足，BCD 都满足. 10.解析：记 2 个红球编号为 1 2, ,2a a 个白球编号为 1 2,b b ，所以样本空间为                         1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1Ω , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a a a b a b a a a b a b b a b a b b b a b a b b ，事件 A包含 的样本点为             1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2, , , , , , , , , , ,a a a b a b a a a b a b ，事件 B 包含的样本点为             1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1, , , , , , , , , , ,a b a b a b a b b b b b ，对 A，因为            6 1 6 1 , Ω 12 2 Ω 12 2 n A n B P A P B n n       ，故 A 正确； 对 B，因为事件 ,A B包含共同的样本点         1 1 1 2 2 1 2 2, , , , , , ,a b a b a b a b ，故事件 ,A B不对立，故 B 错误；对 C， 因为           4 1 1 Ω 12 3 4 n AB P AB P A P B n      ，所以 ,A B不独立，故 C 错误；对 D，记事件C为“抽取的 2个球中至 多一个白球”，则事件C包含的样本点为                     1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a a a b a b a a a b a b b a b a b a b a ，所以      10 5 Ω 12 6 n C P C n    ，故 D正确. 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷（解析版） 第 2页（共 4 页） 11.解析：对选项 A，因为 π 3 DAB  ， 2AB AD ，由余弦定理可得 2 2 14 2 2 3 2 BD AD AD AD AD AD      ，从 而 2 2 2BD AD AB  ，即 BD AD ，由 PD 底面 ABCD， BD 底面 ABCD，可得 BD PD ，又 , ,AD PD D AD PD  面 PAD，即 BD 面 PAD，又 PA面 PAD，即 PA BD ，故选项 A 正确；对选项 B， 因为PD 底面 ABCD，所以 PBD 就是 PB与平面 ABCD所成的角，又 3tan 3 PD PBD BD    ，即 π 6 PBD  ，故 选项 B 正确；对选项 C，显然 PCD 为异面直线 AB与PC所成的角，易得 2 5cos 5 CD PCD PC    ，故选项 C 正确； 对选项 D，建立如图所示的空间直角坐标系，设 1AD  ，则 (0D ,0, 0) ， (1A ,0, 0) ， (0B , 3 , 0) ， ( 1C  , 3 , 0) ， (0P ,0,1)，设平面PAB一个法向量为 1 1 1( , , )n x y z  ，则 0 0 n AB n PB         ，即 1 1 1 1 3 0 3 0 x y y z       ，令 1 1y  ，则 1 1 3x z  ，即 ( 3,1, 3)n   ，设平面 PBC一个 法向量为 2 2 2( , , )m x y z  ，则 0 0 m PB m BC         ，则 2 2 2 3 0 0 y z x       ，令 2 1y  ，则 2 0x  ， 2 3z  ，即 (0,1, 3)m   ，则 2 7 cos , 7 m n m n m n         ，即平面 PAB与平面 PBC夹角余弦值为 2 7 7 ，故 D 不正确. 三、填空题： 12.答案： 1 a b a   13. 3 14.0.648（或 8 1 1 2 5 ） 12.解析：     22 2 2 6 2 2 2 2 log 3 7log 21 log 3 log 7 log 21 log log 3 2 log 3 log 26 1 a b a           13.解析：依题意，  0,1, 2AD   ，而  1,1,1a  为平面 的一个法向量， 所以点  1,1, 2D 到平面 的距离 3 3 3 a AD d a       ，故答案为： 3 14.解析：根据题意，甲获胜一种是前两局赢，另一种是前两局赢一局，第三局赢这两种情况，故分别计算这 两种情况的概率，前两局赢的概率为0.6 0.6 0.36  ，前两局赢一局，第三局赢的概率为 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 0.6 0.288      ，则甲获胜的概率为 0.36 0.288 0.648  ，故答案为：0.648 四、解答题 15．（13 分）已知 ABC△ 三个顶点的坐标分别为 (2,4)A 、 ( 1,1)B  、 (9, 3)C  ，求： （1） BC边上的中线所在直线的方程；（2） BC边上的高所在直线的方程； （3） BAC 的平分线所在直线的方程． 解：（1） BC的中点为 (4, 1) ，……1分 所以BC边上的中线所在直线的方程为 4 2 1 4 4 2 y x      整理得5 2 18 0x y   ．……4 分 （2）解： 1 3 2 1 9 5BC k        ，……5 分 ∴ BC边上的高所在直线的斜率为 5 2 ，……6分 ∴BC边上的高所在直线的方程为 54 ( 2) 2 y x   ，整理可得5 2 2 0x y   ．……8 分 （3）解： 4 1 1 2 1AB k      ， 4 3 1 2 9AC k      ，所以 0AB ACk k  ，……11 分 所以 BAC 的平分线所在直线的方程为 2x  ……13分 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷（解析版） 第 3页（共 4 页） 16．（15 分）记 ABC△ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2 2 2 2 sin sin c C a c b A    ． （1）求 B；（2）若 7b  ，M是 BC中点， 7AM  ，求 ABC△ 的面积． 解：（1）在 ABC△ 中，由正弦定理得 sin sin C c A a  ．……1 分 因为 2 2 2 2 sin sin c C a c b A    ，所以 2 2 2 2 c c a c b a    ，……2 分 化简得 2 2 2a c b ac   ……3 分 在 ABC△ 中，由余弦定理得 2 2 2 1 cos 2 2 a c b B ac     ……5 分 又因为0 πB  ，……6 分 所以 π 3 B  ……7 分 （2）由 7AC AM  ，所以知 ACM△ 为等腰三角形，……8 分 取CM 中点 N，连接 AN ，则 AN CM ，……9 分 不妨设 2CM BM x  ，则MN NC x  ， 3BN x ， 3 3AN x ，……11 分 由勾股定理知    2 22 13 3 7 2 x x x  ，解得 ，……12分 所以 4 2BC x  ， 3 3 2 AN  ……13 分 所以 ABC△ 的面积为 1 3 3 2 2 S BC AN   ……15 分 17.（15 分）从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分 2024 年春节以家庭 为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图， 如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求 a的值；（2）估计家庭消费总支出的第 75 百分位数. （3）从 60,70 和 80,90 两组中用分层抽样的方法共抽取了 6人，再从这 6 人中 随机抽取 2 人，求所抽取的 2 人来自同一组的概率. 解：（1）由频率分布直方图，得  0.015 0.035 0.03 10 1a a      ，……2 分 0.010a  ……3 分 （2）因为前 3组的频率之和  10 0.01 0.015 0.035 0.6 0.75    ，……4 分 前 4 组的频率之和  10 0.01 0.015 0.035 0.03 0.9 0.75     ，……5分 所以第 75 百分位数  80,90m ，则0.1 0.15 0.35 m 80 0.03 0.75     （ ） ，……7 分 解得 85m  所以第 75 百分位数为 85.……8 分 （3）因为  60,70 组的频率为  0.15, 80,90 组的频率为 0.3，……9 分 所以由分层抽样可知， 60,70 组抽取了 0.156 2 0.15 0.3    人，设为 A B､ ，……10分 从 80,90 组抽取了 0.36 4 0.15 0.3    人，设为1,2,3,4，……11分 则从这 6 人中随机抽取 2人的样本点有：                        , ,1 , 2 ,3 ,4 ,1 ,2 ,3 ,4 1, 2 1,3 1,4A B A A A A B B B B､ ､ ､ ､ ､ ､ ､ ､ ､ ､ ､ ､     2,3 2,4 3,4､ ､ 共 15 种，……13 分 满足来自同一组的有             , 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3, 4A B ､ ､ ､ ､ ､ ､ 共 7 种，……14 分 所以所抽取的 2 人来自同一组的概率是 7 15 P  .……15 分 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷（解析版） 第 4页（共 4 页） 18.证明：（1）因为直线 AB∥平面 ,PCD AB 平面 ABCD，……2 分 且平面 ABCD平面 PCD CD ，所以 AB∥CD；……3 分 （2）过D作DM AB ，垂足为M ，则四边形 BCDM 为矩形，则AM 2,BC DM AMtan60 2 3    …4 分 由 2 3, 60PC PCB  ，则 PBC 为等边三角形，且 F 为线段BC的中点，则 PF BC ，……5 分 又因为平面 PCB 平面 ABCD，平面 PCB平面 ,ABCD BC PF 平面 PCB……6 分 可得 PF 平面 ABCD，且 AD 平面 ABCD，所以 PF AD ……7 分 （3）由（1）可知： PF 平面 ABCD，取线段 AD的中点 N ，连接NF，则 FN∥ , 2AB FN  ，……8 分 又因为 AB BC ，可知 ,NF BC ……9 分 以 F 为坐标原点， , ,NF FB FP分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，……10 分 则        3, 3,0 , 1, 3,0 , 0,0,3 , 0, 3,0A D P B ，……11分 因为 E为线段 PF 上一点，设    0,0, , 0,3E a a ， 可得      2, 2 3,0 , 1, 3,3 , 0, 3,DA DP BE a       ……12 分 设平面 PAD的法向量  , ,n x y z ，则 2 2 3 0 3 3 0 n DA x y n DP x y z               ……13 分 令 3x   ，则 3, 2y z   ，可得  3, 3, 2n    ……14 分 所以 2 | | | 2 3 | 7 | cos , | 4| | | | 4 3 n BE a n BE n BE a           ……15 分 整理得 2 4 4 0a a   ，解得 2a  ，…16分 所以当 2EF  时，直线 BE与平面 PAD夹角的正弦值为 7 4 .……17 分 19.（1）证明： 1AA  平面 ,ABC BC 平面 ABC，……1 分 1AA BC  ……2 分 1,AB BC AA AB A   ，且 1,AA AB 平面 1 1ABB A， BC 平面 1 1ABB A .……3 分 1AB  平面 1 1 1,ABB A BC AB  ……4 分 1 1 1,AB AC AC BC C   ，且 1 ,AC BC 平面 1ABC， 1AB 平面 1ABC .……5 分 1AB  平面 1 1ABC ，……6 分 平面 1 1ABC 平面 1ABC……7 分 （2）解：由（1）知 1 1AB AB ，所以四边形 1 1ABB A为正方形，即 1 2AA AB  ，且有 2 2AC  .……8 分 以 A 为原点， 1,AC AA所在直线分别为 ,y z轴，过点 A 和 AC垂直的直线为 x轴，建立空间直角坐标系 A xyz …9 分 则          1 10,0, 2 , 0, 2 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2, 2 0, 2,1A C B B P ，……10分 所以      2,0,1 , 0, 2,1 , 2, 2,0BP AP CB       ……11分 设平面 ABP的一个法向量  , ,n x y z ，则 0, 0, BP n AP n           即 2 0, 2 0, x z y z       取  1, 1, 2n   ，……13 分 同理可得平面BCP的一个法向量  2, 2, 2m  ，……14 分 所以    2, 2,2 1, 1, 2 2 2 1 cos , 22 2 4 1 1 2 2 2 2 m n m n m n                   ，……16 分 所以平面 ABP与平面BCP夹角的余弦值为 1 2 ……17分 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷 第 1页（共 4 页） 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试 高二数学科试卷 注意事项：1.学生应把试题的各个题目填写在答题卷的相应位置上，考试结束，只交答题卷； 2.本试卷共 4页，共有 19小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请．用．2B．．铅笔将答题．．．．．卷．上对应题目选项的答案信息点涂黑．．．．．．．．．．．．．．．） 1.若集合 A＝ }14|{ xx ，集合 B }0 3 1 |{  x x ，则  BA （ ） Ａ. B. }3|{ xx C. }54|{  xx D. }53|{  xx 2.设 i为虚数单位，若复数 1 2i z 1 i    ，则复数 z 的虚部为（ ） A. 1 2  B. 1 3  C. 1 2 D. 3 2 3.“ 1a  ”是“直线  1 1 0ax a y    与直线  1 1 0a x ay    垂直”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 x，yR，向量 ( ,2,2)a x  ， (2, , 2)b y  ， (3, 6,3)c    ，且 a c   ， //b c   ，则  a b （ ） A.5 B.6 C.3 2 D. 4 2 5.空间向量  2,0,2a  在  0,1,1b   上的投影向量为（ ） A. 1 1 ,0, 2 2       B. 2 2 ,0, 2 2        C. 1 1 0, , 2 2       D.  0,1,1 6.函数   sin 3cosf x x x  在区间 π0, 2      上的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C.1 D.2 7.若直线 3 0mx ny   在 y轴上的截距为 1 ，且它的倾斜角是直线 2 3x y  的倾斜角的 2 倍，则（ ） A. 4, 3m n    B. 4, 3m n  C. 4, 3m n   D. 4, 3m n   8.点 (2, 3)A  ， ( 3, 2)B   ，若过点 (1,1)的直线与线段 AB相交，则该直线斜率取值范围是（ ） 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷 第 2页（共 4 页） A. 3 , [4, ) 4        B. 3( , 4] , 4       C. 3 ,4 4     D. 3 4, 4     二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，请用．．2B．．铅笔将答题．．．．．卷． 上对应题目选项的答案信息点涂黑．．．．．．．．．．．．．．．） 9.若不等式 2 2 2 0ax ax  ≥ 的解集为 R，则实数 a可能的取值是（ ） A. 1 B.0 C.1 D.2 10.一个不透明袋中装有 2个红球 2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相 同），从中不放回依次抽取 2个球，记事件 A为“第一次取的球为红球”，事件 B为“第二次 取的球为白球”，则（ ） A.    P A P B B. ,A B为对立事件 C. ,A B为相互独立事件 D.抽取的 2个球中至多 1个白球的概率为 5 6 11.在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， π 3 DAB  ， 2 2AB AD PD  ， PD 底面 ABCD，则（ ） A. PA BD B.PB 与平面 ABCD 所成角为 π 6 C.异面直线AB与 PC所成角的余弦值为 2 5 5 D.平面 PAB与平面PBC夹角的余弦值为 7 7 三、填空题：（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分） 12.已知 2 2log 3 , log 7a b  ，则 6log 21  （用含 a，b的代数式表示） 13.已知  1,1,1a  为平面 的一个法向量，  1,0,0A 为平面 内的一点，则点  1,1, 2D 到 平面 的距离为__________ 14.甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为 0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先 胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为__________ 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷 第 3页（共 4 页） 四、解答题：本题共 5小题，满分 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知 ABC△ 三个顶点的坐标分别为 (2,4)A 、 ( 1,1)B  、 (9, 3)C  ，求： （1） BC边上的中线所在直线的方程；（2） BC边上的高所在直线的方程； （3） BAC 的平分线所在直线的方程． 16．（15 分）记 ABC△ 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2 2 2 2 sin sin c C a c b A    ． （1）求 B；（2）若 7b  ，M 是 BC中点， 7AM  ，求 ABC△ 的面积． 17.（15 分）从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分 2024 年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方 图，如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求 a的值；（2）估计家庭消费总支出的第 75 百分位数. （3）从  60,70 和 80,90 两组中用分层抽样的方法共抽取了 6人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的 2 人来自同一组的概率. 河溪中学 2024-2025 学年度第一学期学月考试高二数学科试卷 第 4页（共 4 页） 18.（17 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，直线 AB∥平面 , 90PCD ABC  ， 60 , 1, 3, 2 3DAB PCB CD AB PC      ，平面PCB 平面 ,ABCD F 为线段 BC的中 点， E 为线段 PF 上一点. （1）证明： AB∥CD；（2）证明： PF AD ； （3）当 EF 为何值时，直线 BE与平面 PAD夹角的正弦值为 7 4 . 19.（17 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA 平面 1 1, ,ABC AB AC AB BC  ， 2AB BC  . （1）求证：平面 1 1ABC 平面 1ABC； （2）设点 P 为 1AC的中点，求平面 ABP与平面 BCP夹角的余弦值.