精品解析：辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期期中质量监测数学试题

2024-2025（上）期中质量监测 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若，，则p为q的（ ） A 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 幂函数的图象经过点，则（ ） A B. C. D. 4. 已知复数，是的共轭复数，则＝ A B. C. 1 D. －1 5. 如图所示，已知轴上一点按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过角，经过2秒钟点在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角的弧度数为　　 A. B. C. 或 D. 无法确定 6. 在正方形中，（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为偶函数，且时，，则关于的不等式的解集为 A. B. C. 或 D. 8. 已知函数下列结论中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 函数最大值为 C. 是函数的一个周期 D. 函数在内是增函数 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，，则 10. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，，是圆锥侧面上的动点，满足线段与的长度相等，则下列结论正确的是（ ） A. 存在一个定点，使得点到此定点的距离为定值 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得三棱锥的体积为 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是____________． 13. 如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为，点，分别是棱，上的点，且，，则的长为______． 14. 鲁班锁是中国传统智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，数列为等比数列，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 16. 某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为5:3，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关. （1）请完成下面列联表，并求出k的值； 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 （2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取4人，记其中喜欢足球的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 17. 在平行六面体中，，平面底面，点是线段的中点，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 18. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若且函数有且仅有一个零点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）当时，证明：； （2）若对任意，都有，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025（上）期中质量监测 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用补集定义可得出，再利用交集的定义可得出集合. 【详解】由已知条件得，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 2. 若，，则p为q的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】对于p，如果x=1.5，则q不能成立， 如果 ，则x必然在 区间内， 因此p为q的必要不充分条件； 故选：C. 3. 幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设出幂函数的解析式，利用已知条件求出解析式，然后求解函数值即可． 【详解】解：设幂函数为， ∵幂函数的图象经过点， ∴， 解得，幂函数为， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查幂函数的应用，是基础知识的考查． 4. 已知复数，是的共轭复数，则＝ A. B. C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据复数的除法先求得复数，于是可得，然后再求即可． 详解：由题意得， ∴， ∴． 故选C． 点睛：对复数的考查以基础知识为主，考查的重点有两个：一是复数的四则运算，二是复数的基本概念．解题的关键是准确进行复数的运算、正确握复数的基本概念． 5. 如图所示，已知轴上一点按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过角，经过2秒钟点在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角的弧度数为　　 A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】经过2秒钟后点转过角，推导出，从而．再由，能求出． 【详解】秒钟时间点转过角． 经过2秒钟后点转过角， 又2秒钟后点在第三象限．， ． 又经过14秒钟，点与最初位置重合． ． 又，或，或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的大小的求法、象限角的定义等基础知识，考查运算求解能力． 6. 在正方形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得. 【详解】解：. 故选：C. 7. 已知函数为偶函数，且时，，则关于的不等式的解集为 A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题得，所以函数在单调递增，由于函数f(x)是偶函数，所以不等式转化为，所以，故选D. 8. 已知函数下列结论中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 函数最大值为 C. 是函数的一个周期 D. 函数在内是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义判断A，利用三角函数的平方关系，结合配方法判断B，举反例排除C，利用余弦函数的性质与复合函数的单调性判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，最大值为，故B正确； 对于C，因为，所以不是函数的一个周期，故C错误； 对于D，当时，则，且单调递减， 又在上单调递减， 所以函数在内是增函数，故D正确. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断A，由面面平行判定定理判断B．由线面垂直与面面平行的性质与判定定理判断C，由面面垂直的性质定理判断D， 【详解】，时，或，A错； 若，且，，当与相交时有，但时，可能有相交，B错； ，则，，则内存在直线，使得，而由得，所以，C正确； D是两平面垂直的性质定理，正确． 故选：AB． 10. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】ABCD选项正用或逆用两角和差的正弦公式可得. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，，是圆锥侧面上的动点，满足线段与的长度相等，则下列结论正确的是（ ） A. 存在一个定点，使得点到此定点距离为定值 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得三棱锥的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】取线段PA的中点C，过点C作平面与PA垂直，可知平面截圆锥PO所得的截口曲线是以BC为长轴的椭圆，进而判断选项A、B；类比平面中圆的性质，可判断选项C；根据三棱锥与三棱锥的体积相等，可知当M到平面PAB的距离最大时，三棱锥体积最大，求出体积的最大值即可判断选项D. 【详解】如图所示，取线段PA的中点C，过点C作平面与PA垂直. 依题意，有 因为，所以点M在平而内，再结合是等边三角形，可知平面截圆锥PO所得的截口曲线是以BC为长轴的椭圆. 对于选项A，因为点M的轨迹是椭圆而不是圆，所以不存在定点使得M到此定点的距离为定值，故A错误； 对于选项B，当点M与C重合时，，当点M与B重合时，， 则M在B与C之间运动时，必存在的情形，即，故B正确； 对于选项C，以AB为直径作一个球，由，可知点C在此球面上，从而可知点M的轨迹除了B，C两点之外均在此球内部. 类比平面中圆的性质，可知，故C错误； 对于选项D，当点M到平面PAB的距离最大时，点M恰好是其轨迹椭圆的短轴端点. 取线段BC的中点D，因为点C所在的平行于圆锥底面的圆半径为1，点B所在的底面圆半径为2， 所以过点D作与圆锥底面平行的平面，截圆锥得到一个半径为的圆， 且点D到直线PO的距离. 此圆与椭圆的交点即为椭圆的短轴端点M，此时， 则三棱锥的体积的最大值为，即存在点M，使得三棱锥的体积为，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据PM与AM长度相等，所以作过PA中点C且与PA垂直的平面，得到截口曲线为椭圆，且点M在椭圆上，并结合圆锥的结构特征及椭圆的定义进行解题. 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是____________． 【答案】8 【解析】 【分析】位移对时间的导数，即速度，代入，即可求得瞬时速度. 【详解】由题知，， 当时， 故物体在时的瞬时速度为8 故答案为：8 13. 如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为，点，分别是棱，上的点，且，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量线性运算可得，结合平面向量数量积的运算律可求得，开平方即可得到所求的长. 【详解】三棱锥底面边长与侧棱长均为，三棱锥各个面均为等边三角形， ， ， ，即． 故答案为：. 14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由题若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，求出半径长再求表面积． 【详解】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长， 即 所以 球形容器的表面积 【点睛】本题考查球体表面积，解题的关键是求出球体的半径． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，数列为等比数列，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可判断数列是以1为首项，2为公差的等差数列，再利用公式求通项公式即可； （2）对于①，将用基本量表示，即可解得首项；对于②，根据等差中项列方程，即可解得首项；对于③，利用等比数列前项和公式列方程，即可解得首项；对于数列的前项和，利用分组求和法计算即可. 【小问1详解】 因为，， 令得，又数列为等比数列，所以公比为2，即， 因此，，所以数列是以1为首项2为公差的等差数列， 所以， 【小问2详解】 由（1）知数列为公比为2的等比数列 若选①，由得，所以，则 若选②，由成等差数列得， 即，所以，则 若选③，由得，所以，则 所以 所以，数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列， 偶数项是以4为首项4为公比的等比数列， 所以 16. 某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为5:3，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关. （1）请完成下面的列联表，并求出k的值； 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 （2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取4人，记其中喜欢足球的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，其中 【答案】（1）列联表见解析， （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题设数据得到的列联表，求得，结合题意列出不等式组，即可求解； （2）由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为，得出随机变量，求得相应的概率，列出分布列，进而求得期望值. 【小问1详解】 解：由题意，得到的列联表， 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 将数值代入公式可得的观测值为， 因为有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关，可得，解得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为， 用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为，则， 可得，，，，， 则X分布列为 所以期望为. 17. 在平行六面体中，，平面底面，点是线段的中点，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，可证明四边形为平行四边形，得即可证明（2）根据，平面⊥底面即可证明平面，故 又得证. 【详解】（1）取的中点，连接、 中， 为线段的中点 ； 为线段的中点 在平行六面体中 又点是线段的中点 四边形为平行四边形 平面 平面 //平面; （2）在中， ，点是线段的中点 又平面⊥底面，平面 底面，平面 平面，平面 在平行六面体中， 【点睛】本题主要考查了直线与平面平行，面面垂直的性质，线面垂直，属于中档题. 18. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若且函数有且仅有一个零点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解切线方程； （2）分离参数可得，构造函数，根据函数的最值情况判断参数值； （3）由（2）得，利用导数判断函数的单调性与最值，. 【小问1详解】 当时，，， ， 所以，又， 所以切线斜率，且经过点， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 令，则， 即， 设，， 则， 设，，则恒成立， 所以在上单调递减， 又，所以当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增， 所以， 又，，且， 所以当函数有且仅有一个零点时，； 【小问3详解】 由（2）得，，， ， 令，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以时，取极大值为， 又， 所以当时，， 又恒成立，所以. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19. 已知函数，其中． （1）当时，证明：； （2）若对任意，都有，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而证得不等式成立. （2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递增， 所以，即不等式成立． 【小问2详解】 由题意得对任意，都有， 即，即． 令，可得恒成立，， 令，所以． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以恒成立，即恒成立，故只需． 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以只需，解得，所以k的取值范围是． 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果一次求导无法求得函数的单调区间，可考虑利用多次求导的方法来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$