精品解析：北京市大峪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

大峪中学2024-2025第一学期高一年级数学学科期中考试试卷 （满分：150分；时间：120分钟；命题人：高一集备组；审核人：宋扬） 一､选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 若，则集合A中的元素个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 若函数是偶函数，且，则必有（ ） A. B. C. D. 8. 函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 以上关系均不确定 9. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 10. 对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5 二､填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表： 1 2 3 4 3 2 1 2 （1）__________；（2）不等式的解集为__________． 12. 已知函数__________；__________． 13. 方程的两根为，，则________． 14. 函数在上不单调，则实数a的取值范围为_______． 15. 表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中：①函数的值域为；②方程有无数个解；③函数的图象是一条直线；④函数是上的增函数；正确的有__________．（只填序号） 三､解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）． （3） 17. 已知集合， . （1）求; （2）若，求的取值范围. 18. 已知是定义在上的偶函数，当时， （1）求的值； （2）求的解析式； （3）画出简图；写出的单调递增区间，并写出的解集．（只需写出结果，不要证明单调性）． 19. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元. （1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费； （2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 20. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 21. 已知集合为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； （2）若集合，且，求证： （3）若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 附加题 22. 已知，函数在区间上有两个不同零点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大峪中学2024-2025第一学期高一年级数学学科期中考试试卷 （满分：150分；时间：120分钟；命题人：高一集备组；审核人：宋扬） 一､选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 若，则集合A中的元素个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义直接得到答案. 【详解】中的元素个数是2 故选：B 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，  所以命题“”的否定为：“”.  故选：B. 3. 已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小. 【详解】由，得，则； ，则； ，则， 所以这四个实数中的最大者是. 故选：C 4. “”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先解不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得. 【详解】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值 【详解】当时，得：，不符合题意，故舍去； 当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去； 当时，得：，解得：或， 由于，故得：. 故选：C 7. 若函数是偶函数，且，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质判断即得. 【详解】因为函数是偶函数，， 所以，BCD错误，A正确. 故选：A 8. 函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 以上关系均不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先判断和的大小关系，再根据函数的单调性得出结论. 【详解】对进行变形可得. 因为任何数的平方都大于等于，那么，即. 因为函数在上是减函数，且. 根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以. 故选：A. 9. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 10. 对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5 【答案】C 【解析】 【分析】根据取整函数的定义得，再利用不等式的性质即可判断各命题的真假. 【详解】对于取，则，显然满足，故是真命题； 对于，当为整数时，， 当不为整数时，，且，故，故是假命题； 对于，因为，记，则，， 当时，， 则； 当时，， 所以； 综上：，，故是真命题； 对于，若，使得同时成立， 则，，，，，， 因为，若，则不存在同时满足，． 只有时，存在满足题意，故是真命题， 故选： 二､填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表： 1 2 3 4 3 2 1 2 （1）__________；（2）不等式的解集为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用给定的对应数据，求出及不等式的解集. 【详解】（1）依题意，； （2）依题意，，而， 所以不等式的解集为. 故答案为：2； 12. 已知函数__________；__________． 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】 【分析】运用分段函数求值方法计算即可. 【详解】，. 故答案为：3；1. 13. 方程的两根为，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】 由韦达定理求得，代入计算． 【详解】由题意，， 所以 故答案为：4． 14. 函数在上不单调，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得对称轴满足，求出即可. 【详解】可得的对称轴为， 在上不单调，则，解得. 故答案为：. 15. 表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中：①函数的值域为；②方程有无数个解；③函数的图象是一条直线；④函数是上的增函数；正确的有__________．（只填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】由周期定义得到函数的周期，再画出函数的图象，逐一判断各个选项即可. 【详解】函数的定义域为，而， 则函数是周期为1的周期函数， 当时，，因此函数的值域是，①正确； ，， 则是方程的解，有无数个，②正确； 函数的图象如图， 观察图象知，函数的图象不是一条直线，在上不是增函数，③④错误. 故答案为：①② 三､解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）． （3） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）利用公式法解含绝对值符号的不等式. （3）化不等式右边为0，通分并转化成一元二次不等式求解. 【小问1详解】 不等式化为：，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式化为：，则，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式化为，即，则， 解得或， 所以原不等式的解集为. 17. 已知集合， . （1）求; （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；；（2）a>3. 【解析】 【分析】（1）先化简集合B，再利用集合的并集、补集和交集运算求解； （2）根据，结合，利用数轴求解. 【详解】（1）因为集合， 所以，或， 或; （2）因为，且， 所以a>3， 所以的取值范围是. 18. 已知是定义在上的偶函数，当时， （1）求的值； （2）求的解析式； （3）画出简图；写出的单调递增区间，并写出的解集．（只需写出结果，不要证明单调性）． 【答案】（1），； （2）； （3） 的增区间是，解集. 【解析】 【分析】（1）结合偶函数的性质代入求出函数值. （2）利用偶函数的性质求出函数解析式. （3）借助二次函数作出图象，再结合图象求出单调递增区间及不等式的解集. 【小问1详解】 当时，，则； 而函数是偶函数，则. 【小问2详解】 函数是定义在上的偶函数，当时，， 则当时，， 所以函数的解析式是. 【小问3详解】 由（2）知， 当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标， 当时，；当时，， 当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标， 当时，，于是函数的图象如下： 观察图象知，函数的增区间是； 不等式的解集为. 19. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元. （1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费； （2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果； (2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果. 【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 由题意可得：，，， 所以存储成本费， 若该化工厂每次订购300吨甲醇， 所以年存储成本费为； (2)因为存储成本费，， 所以， 当且仅当，即时，取等号； 所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型. 20. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集. （2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集. （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围. 【小问1详解】 当时，则， 由，得， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 由， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得. 令，则， 当且仅当 ，即时取等号. 则，.故实数a的范围是 21. 已知集合为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； （2）若集合，且，求证： （3）若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】（1）， （2） ，，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）1349 【解析】 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【小问1详解】 ，， 集合，集合. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 附加题 22. 已知，函数在区间上有两个不同零点，求的最小值． 【答案】11 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根的分布列出不等式组，再结合不等式的性质推理计算得最小值. 【详解】设函数在区间上的两个不同零点为， 则，且，而， 则，即，整理得，又， 于是，即，因此，， 当时，的两个零点都在区间上， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为11. 【点睛】关键点点睛：利用一元二次方程根的分布列出不等式组，结合正整数运算结果进行放缩是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $