精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024-2025年七宝中学高三上期中 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式和根式对自变量的要求可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以定义域为. 故答案为：. 2. 计算______． 【答案】## 【解析】 【分析】运用对数运算性质计算即可 【详解】 故答案为：. 3. 已知是1与9的等比中项，则正实数______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比中项的定义得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，且，解得. 故答案为：3. 4. 在的展开式中，的系数为______（用数字作答）． 【答案】18 【解析】 【分析】由二项式展开式的公式即可得到答案. 【详解】的展开式中第项为：， ∴令，即， ∴的系数为：18 故答案为：18 5. 在复平面内，复数对应的点位于第______象限. 【答案】三 【解析】 【分析】经计算结合复数的坐标形式可得所在象限. 【详解】，其在复平面对应坐标为，故该点在第三象限. 故答案为：三 6. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意利用两角之间的关系并根据诱导公式计算可得结果. 【详解】根据题意，由诱导公式可得, 所以. 故答案为： 7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合. 【详解】 要想越小，则取值越小， 故时，；故时，；故时，；故时，； 故集合中最小的4个元素所构成的集合为， 故答案为：. 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）． 【答案】a 【解析】 【分析】由图象可得与1的大小情况，由此可得与0的大小关系，即可得单调性及答案. 【详解】，则. 又由图可得时，； 时，.则在上单调递增，在上单调递减. 则的极大值点为a. 故答案为：a 9. 已知函数．在中，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，根据题意，得到，进而求得，即可求解； 【详解】由函数， 因为，可得， 在中，因为，所以， 又因为，所以，所以，解得， 因为，所以. 故答案为：. 10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案. 【详解】如图，因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 由集合的互异性，可知3需舍去； 当，可分为： ，解得； ，解得； ，解得； 综上，的值可能为. 故答案为：4 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又， ，故的最大值是1． 故答案为：1. 12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用题目提供信息结合图形，将转化为，后由图形以及不等式知识可得答案. 【详解】如图所示建立坐标系，则． 其中,则. 设满足， 故， 整理得到. 故． 当三点共线时，即BE与单位圆相切，在时，有最小值为； 又， 则 ，当且仅当，即时取等号. 又注意到当时，，则，当且仅当时取等号. 则，当，即在等号成立． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题所给信息涉及“阿氏圆”，我们常利用“阿氏圆”将不同系数的求值问题转变为相同系数求值.题中所涉不等式：为均值不等式链的一部分，即平方平均大于算术平均. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AD选项可以通过取特殊值使得式子不成立，从而排除错误选项；C选项通过基本不等式得到的结果可以取等号与题目不符也排除；B选项讨论的取值范围，当时显然成立，当时通过构造二次函数，由函数单调性得到函数值为正，从而证明结论. 【详解】A选项，当时，显然不成立； B选项，当时，显然恒成立，当时，， 令，在上单调递增且，即， 又∵当且仅当时取等号，∴ 即，∴恒成立； C选项，∵，∴，当且仅当取等号，故不恒成立； D选项，当时，显然不成立. 故选：B. 14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 对任意的，与都不垂直 C. 存在，使得与重合 D. 对任意的，与都有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】通过斜率不存在即可得到倾斜角可以为，首先讨论斜率是否存在，斜率存在的情况下两直线的位置关系：斜率为乘积为得到垂直关系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立. 【详解】当时，动直线，此时倾斜角为，故A选项错误； ，当时，显然与都不垂直；当时，， 当时，，此时，即存在使得与垂直，故B选项错误； ，当时，显然与都不重合且有公共点；当时，， 当，即时，方程无解，即不存在，使得与平行，但有公共点； 故C选项错误，D选项正确； 故选：D. 15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解. 【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解. 16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】判断特称命题为真命题只需知道一个合适的值即可，判断全称命题为证明题就需要严格证明，本题因为数列公比不确定，通过讨论公比的值通过条件能否找到对应数列即可判断真假. 【详解】对于①：例如，则， 满足是等差数列，且对一切都成立，故①正确； 对于②：若是等比数列，设公比为，显然 1．当时，，不合题意； 2．当时，，不合题意； 3．当时，因为，则，即， （1）当时，则， 即，解得，不合题意； （2）当时，若为偶数，则， 即，解得，不合题意； （3）当时，若为偶数，则， 即，整理得，无解，不合题意， 综上所述：不存在满足题意，即不可能是等比数列，故②正确； 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记． （1）求证：； （2）若异面直线与所成角为，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接． WSD    由已知可得，平面平面，所以， 又是正方形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又动点在对角线上，所以平面，所以平面， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接．由已知可得，线面垂直判定定理得到平面，再用线面垂直性质得到． （2）建立空间直角坐标系，借助向量夹角余弦值公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 设，则， 则． 由已知，可得，设点，则， 所以，所以， 即，所以， ． 又异面直线与所成角为，所以， 即， 解得或0，因为，所以满足条件． 18. 已知点、、，是坐标原点. （1）若，求的值； （2）若实数、满足，，求的最大值. 【答案】（1）；（2），时有最大值16. 【解析】 【分析】（1）根据，代入向量的坐标运算求得，再两边平方得的值；（2）根据，可得，代入求最大值. 【详解】 ， 两边平方后可得 ， ； （2）， ， ， ， ， 时，取得最大值16， 此时 ， 的最大值16. 【点睛】本题考查向量的坐标运算和三角函数结合求值和最值的问题，意在考查转化与三角函数恒等变形，属于基础题型，形如类型函数的值域，根据定义域先求的范围，再求的范围. 19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案. （2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望. （3）通过计算，，来确定正确答案. 【小问1详解】 从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人， 这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为. 【小问2详解】 因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为， 所以的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 所以. 【小问3详解】 ，证明如下： ， ， 所以. ， ， 所以. 数据：，，，，，，，， 对应的平均数为 所以 所以. 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为． （1）求该椭圆的离心率； （2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值； （3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由标准方程直接求离心率； （2）由面积公式得到面积，讨论动点的位置，得到面积最大值； （3）联立直线方程与椭圆方程，消元得到二次方程，由根与系数的关系得到交点横坐标的关系，从而得到斜率的表达式，由等差数量的性质建立等量关系得出的取值范围，列出点到直线的距离代数式，建立对于函数，利用函数的单调性得到取值范围. 【小问1详解】 由椭圆的方程，知，故， 所以椭圆的离心率 【小问2详解】 若直线经过坐标原点，则关于原点对称， ， 点是椭圆上一点，为椭圆上（下）顶点时，取得最大值， 此时面积取得最大值为． 【小问3详解】 设直线的方程为，代入椭圆方程， 整理得． 由，得．① 设，则． 因为，所以． 因为，且， 所以． 因为直线不过焦点，所以， 所以，从而，即．② 由①②得，化简得解得．③ 焦点到直线的距离． 令，由知． 于是． 考虑到函数在上严格减，在严格增 所以， 综上可知，的取值范围为． 21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. （1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； （2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 【答案】（1）存在，理由：曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. （2）是，； （3）是，的所有取值构成的集合. 【解析】 【分析】（1）由定义结合三角函数图像得到“双夹线”； （2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，在用作差法得出函数图像在两直线之间，由定义得出； （3）由（2）的思路可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 曲线：， ，令，即， 时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 同理可得时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 令，， 则，， ∴和是函数的一对“双夹线”， . 【小问3详解】 ，则， ∵，当时，，则过点的切线方程为：， 当时，，过点的切线方程也为：， ∴直线与至少存在两个切点； 同理可得，直线与相切于点和， ∴直线与至少存在两个切点； 令，， 则， ， ∴在两条直线之间， 故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”， ， 的所有取值构成的集合. 【点睛】方法点睛：本题出现的一个新的定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年七宝中学高三上期中 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的定义域为__________． 2. 计算______． 3. 已知是1与9的等比中项，则正实数______． 4. 在的展开式中，的系数为______（用数字作答）． 5. 在复平面内，复数对应的点位于第______象限. 6. 已知，则______． 7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______． 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）． 9. 已知函数．在中，，且，则______． 10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______． 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______． 12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 对任意的，与都不垂直 C. 存在，使得与重合 D. 对任意的，与都有公共点 15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. B. C. D. 16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记． （1）求证：； （2）若异面直线与所成角为，求的值． 18. 已知点、、，是坐标原点. （1）若，求的值； （2）若实数、满足，，求的最大值. 19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为． （1）求该椭圆的离心率； （2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值； （3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围． 21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. （1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； （2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $