精品解析：福建省漳州市华安县第一中学2025届高三上学期10月期中联考数学试题

华安一中2025届高三上学期10月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以的共轭复数是. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得或， 故或，又，所以. 故选：C 3. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 4. 已知平面向量满足:，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量和向量夹角的计算公式求解即可； 【详解】由题意可得， 又，且， 所以， 所以与的夹角为. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得，则， 则. 故选：D. 6. 已知函数的最大值是，为的一个极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，可得其解析式，进而可得，，求解即可. 【详解】， 因为函数的最大值是， 所以，又，解得， 所以，， 因为为的一个极大值点，所以， 所以，. 故选：A. 7. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 8. 将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象的变换可得，进而解方程可得，可求的值.. 【详解】将函数图象向右平移后，可得平移后的解析式为， 再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，可得， 由方程，可得，所以， 因为，所以， 因为方程在内有两不等实根， 所以，所以， 所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D. 【分析】对于A，因为，， 则，解得，故A正确； 对于B，因为，则，解得， 所以，解得，故B错误； 对于C，因为， 而，当且仅当反向时，等号成立， 此时，解得或， 当，同向，舍去； 当，满足反向；故C正确； 对于D，若，则， 即，所以， 则 ，故D正确. 故选：ACD 10. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案. 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期可得，代入最值点可得，由此确定函数解析式， 根据周期公式判断A，结合正弦函数单调性判断B，根据平移结论判断C，利用辅助角 公式，结合正弦型函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得：，又因为， 所以，又，所以，所以， 将代入得， 即，即， 又，所以， 所以， 对于A，最小正周期，故A正确； 对于B，令，解得， 可得的单调递增区间为， 当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度， 所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D， ， 所以函数的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的知识求得，由此求得. 【详解】依题意函数是定义在上的奇函数， 所以， ， ， 恒成立，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据，结合余弦定理求角C，再根据，再结合面积公式和基本不等式求出的最小值，再根据数量积定义求. 【详解】因为，所以，而角为三角形内角，所以， 由，， 所以， 化简得到， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对应边分别为，且． （1）求角A； （2）若的面积为，周长为15，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合正弦的和角公式化简计算即可； （2）利用三角形面积公式结合余弦定理建立方程计算即可. 【小问1详解】 因为，． 由正弦定理得， 则， 即． 在中，，故． 因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得． 由余弦定理得，则． 又，所以， 解得． 16. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）由（1）的信息及已知求出，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解. 【小问1详解】 依题意， ，因此函数的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 由正弦定理，得， 因此， 由，得，则，于是， 所以面积的取值范围为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【小问1详解】 由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； 【小问3详解】 因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得，即， 又因为，且， 即，解得. 19. 已知函数，，其中，. （1）若在处取得极值，求的值； （2）讨论函数的单调性： （3）若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据极值点求得，并进行验证. （2）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间. （3）由（2）求得的最小值，利用导数求得的最大值，再结合已知条件来求得的取值范围. 【小问1详解】 令， 由题意，. 由已知得，解得， 此时， 易知在区间上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极小值，因此. 【小问2详解】 由题意， 其中，， ①当，即，在上单调递减，在上单调递增. ②当，即，则在上单调递减. 综上，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，由（2）可知当时，函数取得最小值， 即， 由，可得在上单调递增， 即当时，， 对任意，当时，不等式恒成立， 则必有，即，解得， 所以k的取值范围是. 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立， （2）恒成立；恒成立， （3）恒成立；恒成立； （4），，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安一中2025届高三上学期10月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 4. 已知平面向量满足:，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 9 6. 已知函数的最大值是，为的一个极大值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 10. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，则______. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对应边分别为，且． （1）求角A； （2）若的面积为，周长为15，求． 16. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 19. 已知函数，，其中，. （1）若在处取得极值，求的值； （2）讨论函数的单调性： （3）若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $