精品解析：江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高一上学期10月数学检测卷

江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高一上学期10月数学检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且都是全集的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 对任意实数,“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ） A. 有且仅有一个实数解 B. C. D. 时的解集是 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 11. 已知，若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是________． 13. 已知函数是上的减函数，则a的取值范围是______. 14. 已知，则=______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 17. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，，其中． （1）当时，求函数的定义域与值域： （2）设集合，证明：； （3）已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高一上学期10月数学检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且都是全集的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由韦恩图以及交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 对任意实数,“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】我们需要先求出在上的取值范围，再根据充分必要条件的定义来判断. 【详解】对于函数，根据均值不等式（当且仅当时取等号）， 则. 当即时取等号，但是，所以 判断充分性: 若，因为时，那么，所以充分性成立. 判断必要性: 若，当时，显然，所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用配凑法，求得，再结合条件，即可求解. 【详解】易知， 又，所以， 则，解得， 故选：A. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，且，即可求得结果. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性可得答案. 【详解】函数分为外函数：，内函数：； 根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增， 且外函数单调递减，则内函数在也单调递减； 为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以. 故选：A． 7. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，且，又当时，， 所以， 故选：B. 8. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ） A. 有且仅有一个实数解 B. C. D. 时的解集是 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数图象确定函数解析式可写为，取解方程判断A，再根据二次函数的性质判断BC，根据一元二次不等式的解与二次函数图象的关系判断D． 【详解】因为二次函数的图象的对称轴为， 点坐标为，所以点的坐标为， 所以可以据此求出二次函数， 若，则可解出或，故A错误； ，即，故B正确； 显然有两个不同实数解，于是，故C错误； 的解集显然是，故D正确. 故选：BD. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可判定A；利用基本不等式可排除B；利用奇偶性可判定C；由题意得出和4是方程的两根，且，利用根与系数的关系，得出，，代入，结合二次函数的性质即可判定. 【详解】对于A选项，因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B选项，易知，故， 由基本不等式知，等号不成立，故B错误；  对于C选项，易知，令， 易知，即为奇函数， 所以，则，故C正确； D选项，关于x的不等式的解集为或， 所以和4是方程的两根，且， 由根与系数的关系知，， 所以，， 所以关于的不等式可化为， 令，对称轴，， 因为不等式的解集中仅有两个整数， 所以这两个整数是，或，， 当这两个整数是和时，则，解得； 当整数是和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意， 综上，a的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数运算的性质得，通过代入即可判断A；由二次函数的性质即可判断B；代入即可求出a的值，则可判断C；由可得，可解得a的取值范围，则可判断D. 【详解】由题意知，所以， 所以． 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不能得到，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据判断函数的单调性，再根据分段函数的单调性可得关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】解：对任意实数，都有， 即与同号，故为上的增函数， 所以， 解得：． 故答案为：． 13. 已知函数是上的减函数，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在上是减函数特征，两段函数各自为减函数，且左段函数的最小值大于等于右段函数的最大值，解不等式组即可求得的取值范围． 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，则=______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数式和对数式的互化可得，结合对数运算性质可得的值，化简为，即可得答案. 【详解】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解； （2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解. 【小问1详解】 当时，，， 所以. 【小问2详解】 因为, 所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，，，且， 所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 17. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 18. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解； （2）利用换元思想，令，则可将原不等式化为恒成立，其中，再令，，分类讨论二次函数的单调性求最值即可求解. 【小问1详解】 由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. 【小问2详解】 因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 19. 已知函数，，其中． （1）当时，求函数的定义域与值域： （2）设集合，证明：； （3）已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 【答案】（1）定义域为，值域为 （2）证明: 又因为，所以可得 要证明：即证明在上有解 存在，使得成立 ，即为， 不等式在上有解， 设，因此在上有解， 所以，解得， 在上有解 即可证明： （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质求定义域； （2）由对数函数性质不等式化为关于的一元二次不等式在上有解，再转化在上有解，利用根的分布知识求解可得； （3）确定与的图象关于轴对称，由对称性得矩形的中心在轴上，得，设点坐标（），由对称性表示出的坐标，由此由对称性求得，得出，从而可得结论． 【小问1详解】 由题意可得：，得， 定义域为． 当时，， ，， 值域为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 与关于轴对称 由题意可知，矩形关于轴对称，所以，． 所以设点坐标（） 因为矩形且轴，轴 点坐标 又矩形关于轴对称 点横坐标为，同理可得点坐标 ，且该矩形的中心为点 所以可得：，消去 得： 所以，展开可得： 因式分解可得： 所以． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的解法是利用对数函数性质把问题转化为不等式有解问题，然后再转化为一元二次方程在区间内有解，从而利用二次方程根的分布知识求解．第（3）小题关键是确定函数图象的对称性，得出矩形中心在轴，然后设矩形顶点坐标，利用对称性把矩形中心坐标与顶点坐标建立关系，从而求得参数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $