北京市十一学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年初三第一学期数学学科期中练习 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线的顶点的坐标为______． 10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 11. 某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式______． 12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m． 13. 某工厂年生产吨某产品的成本是元，由于原料价格上涨，两年后，年生产吨该产品的成本是元，求该种产品成本的年平均增长率．设年平均增长率为，则所列的方程应为______． 14. 如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则______°． 15. 如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，如果知道的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为______，阴影部分的面积为______． 16. 如图，与中，，，，连接，点、、分别为、、的中点，则的度数为______；若，，在绕点任意旋转的过程中，则面积的最大值是______． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 如图，四边形的顶点都在上，边为直径，延长、交于E且，求证：． 19. 已知：如图，在中，．求作：的外接圆． 下面是小张的作法： ①如图，作的垂直平分线； ②作AC的垂直平分线，与交于点O； ③以O为圆心，长度为半径作圆． 则是的外接圆． （1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形． （2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了的内心．下面是小李的作法： 直线与交于点D，连接，交于点I，则点I是的内心． 请你补全下面证明． ∵，经过点O， ∴（ ① ）（填推理的依据）， ∴ ② （ ③ ）（填推理的依据）． ∵，，∴． ∵与交于点I，∴点I是的内心． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，、、，将绕原点O顺时针旋转得到（点，，分别是点A，B，C的对应点）． （1）在图中画出； （2）旋转到的过程中，点C经过的路径长为______； （3）先将点B关于原点对称得到，再将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，使落在内部（不含边界），直接写出h的取值范围为______． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求k的值． 23. 一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 24. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 25. “十一”当天，某景区工作人员统计了上午至下午期间，累计进入景区的游客人数与累计离开景区的游客人数，据统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．从上午开始计时，经过的时间记为统计时间，则累计进入景区游客人数（单位：人）与累计离开景区游客人数（单位：人）随统计时间（单位：） 变化的部分数据如下表所示： 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 探究发现，与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． （1）根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全与的函数图象； （2）根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出与的函数图象，并直接写出关于的函数关系式为______（不要求写出自变量的取值范围）； （3）结合表格、图象推断，统计时间大约为______时，景区内游客人数最多（保留一位小数）； （4）当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间大约为______时，将首次触发人流高峰黄色预警（保留一位小数）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 27. 已知在中，，，作点B关于射线的对称点D，连接，点M是线段上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段，连接交射线于点E． （1）当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为的中点； （2）当，且点M不与点C、D重合时，连接，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 28. 某郊区公园设计了赏花步道和书画展览，吸引了大量市民和游客争相“打卡”留念．已知赏花步道与公园主干道之间是一片开阔的休闲广场，计划在赏花步道与公园主干道之间设计一条美食街（美食街宽度忽略不计），使得美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等．为了便于设计，在地图上建立如图平面直角坐标系，赏花步道所在直线为，公园主干道所在直线为，展览馆坐标为，设美食街摊位． （1）若摊位在格点处，写出符合条件的两个摊位坐标______； （2）求y与x之间的关系式，并在图中画出美食街； （3）对于休闲广场上的某一点M，记点M到美食街上某点N的距离，与点N到展览馆的距离之和的最小值为l，若，则称点M为便利点，为了满足市民游客的露营需求，公园打算设置一片长方形的露营地，记为矩形，其中，点，，，，当露营地上的任意一点都是便利点时，直接写出a的取值范围为______． 2024-2025学年初三第一学期数学学科期中练习 考试时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】3 【11题答案】 【答案】y=（x-1）2（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】 证明：∵， ∴， ∵四边形的顶点都在上， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∴． 【19题答案】 【答案】（1） 如图，是的外接圆． （2）垂径定理，，等弧所对的圆周角相等 【20题答案】 【答案】（1） （2） 由题意可得函数图象如下： （3） 【21题答案】 【答案】（1） 所作如图所示： （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1） 证明：由题意得： ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2） 【23题答案】 【答案】（1） （2）该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【24题答案】 【答案】（1） 证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2） 【25题答案】 【答案】（1） 解：根据表中数据，用描点法画出函数图象如下： （2） 根据表中数据，用描点法画出函数图象如下： （3） （4） 【26题答案】 【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为 （2）或 【27题答案】 【答案】（1） 解：所作图形如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由轴对称的性质可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 即点E为的中点； （2） 解：（1）中的结论成立，理由如下： 在上截取一点F，使得，设与交于点O，如图所示， 由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点E为的中点． 【28题答案】 【答案】（1），（答案不唯一） （2）； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $