精品解析：江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷

江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高二上学期10月数学检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【详解】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 2. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可. 【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3， 从而，圆的半径为 故所求圆的方程为 即 故选：C 3. 已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设曲线方程，带入点坐标得到等量关系，由渐近线方程的公式即可得到结论. 【详解】设双曲线：，点和在曲线上， ∴，两式相减可得，即. ∴渐近线方程为：， 故选：B. 4. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】（方法一）首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. （方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可. 【详解】（方法一） 因为抛物线的焦点到准线的距离为，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. （方法二）由方法一可得，则， 因此 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 5. 已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，为的中点， 所以， 又，则， 所以. 故选：B 6. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， ，， 设得：， 所以， ， 由， 所以，当时，等号成立， 则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为. 故选：C. 7. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ） A. 70个 B. 71个 C. 80个 D. 81个 【答案】B 【解析】 【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解. 【详解】若，则这样的数列有个； 若，则这样的数列有个； 若，则这样的数列有个， 所以满足条件的数列共有个， 故选：B． 8. 已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ） A. -1 B. 1 C. 64 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意求出的值，然后在中令即可求解. 【详解】由题意，注意到是正整数，所以解得， 则展开式所有项系数和是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，则（ ） A. 与有相同离心率的椭圆标准方程一定是 B. 过的直线与椭圆交于两点，则 C. 设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值 D. 设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】由离心率的定义可得A正确；设过的直线方程为，，联立椭圆方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简可得B正确；由椭圆的定义得到，进而可得C错误；设切线方程为，联立椭圆方程，由判别式为零可得两直线的斜率为，进而可得D正确； 【详解】对于A，椭圆的离心率，若椭圆方程为：，则其离心率也为， 但该方程不是的形式，故A错误； 对于B，设过的直线方程为，，同时设 联立，消去可得，， ， ，同理， 所以 ，故B正确； 对于C，由椭圆的定义可得， 所以， 当三点不共线时，，共线时， 所以有最大值，有最小值，故C错误； 对于D，设圆上任意点， 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为， 代入椭圆方程， 所以， 整理可得， 所以， 又，所以， 当斜率不存在时，显然垂直，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题B、D的关键在于直曲联立时化简较为麻烦，计算量较大. 10. 如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 直线与平面所成角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立空间的一组基底，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积的运算律求模长判断A项；利用空间向量的夹角公式计算判断B项；利用向量的数量积是否为0判断C项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断D项. 【详解】不妨设则. 对于A，因, 故 ，故，故A正确； 对于B，因，,则， ， 设直线与所成角为，则故B正确； 对于C，因 ， 即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误； 对于D，因，, 因，， 则有因平面，故平面， 即平面的法向量可取为，又， 设直线与平面所成角为， 因，，， 则，因，故，故D正确. 故选：ABD. 11. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（ ） A. 若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B. 若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C. 若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D. 若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 【答案】BC 【解析】 【分析】对于排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序问题倍缩法，逐项分析判断即可. 【详解】对A：先将4个音乐节目全排列，有种排法； 再把音乐节目捆绑和舞蹈、曲艺看作6个节目，进行全排列，有种排法， 所以共有种排法，A错误； 对B：先从9个位置中选7个位置排好音乐和舞蹈节目，有种排法； 再排曲艺节目，只有一种排法，所以共有种排法，B正确； 对C：先排音乐和曲艺节目，有种排法； 再把3个舞蹈节目排在空位中，有种排法，所以共有种排法，C正确； 对D：先把它们各自排列并捆绑，各自有种排法， 再把它们看做三个元素进行全排列，有种排法，所以共有种排法，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆上两点满足，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设弦的中点为,由题意推出动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，再将所求式理解为点到直线的距离的5倍与点到直线的距离的5倍的和，结合图形，证明当且与小圆相切时得到的的5倍即所求式的最小值. 【详解】设弦的中点为，则 因点在圆上，则，， 于是 ，即动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 设， 则可将其理解为点到直线的距离的5倍， 设， 可将其理解为点到直线的距离的5倍, 故要求的最小值，可先求的最小值. 如图，，且的距离为4，过点作，交小圆于点， 过点作小圆的切线，交大圆于点,分别交直线于点， 在小圆上任取点，过点作小圆的切线交大圆于点， 分别过点作于点，作于点 过点作的平行线与过点与垂直的直线交于点. 则,易得, ， 下面说明图中的即的最小值，最小值为， 此时的最小值为5，即的最小值为5. 理由：因，而, 故，即为的最小值. 故答案为：5. 13. 已知，其中若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，， ， 则. 故答案为： 14. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数和先求，再利用通项得到的指数确定值，由的系数为，建立关于的方程求解可得. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为， 所以，解得. 所以二项式展开式的通项公式为， 由，解得， 所以的系数为，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆C：，点，点． （1）过点P作圆C的切线l，求出l的方程； （2）设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可； （2）设，，结合重心的性质可得，进而结合A为圆C上的动点求解即可. 【小问1详解】 由C：， 则圆心，半径， 当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即， 所以，解得， 此时切线l的方程为，即. 综上所述，切线l的方程为或. 【小问2详解】 设，， 因为，，G为三角形APQ的重心， 所以，即， 由A为圆C上的动点，得， 则，整理得， 即动点G的轨迹方程为． 16. 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上，当时，. （1）求的离心率； （2）若在第一象限，在轴的负半轴是否存在定点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，且点 【解析】 【分析】（1）求出，根据可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率； （2）假设在轴的负半轴上存在定点，使得，设点，由已知条件可得出，利用二倍角的正切公式化简可得出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：当时，设点，则，可得，则， 又因为，由可得， 可得，解得， 此时，双曲线的离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，则，， 所以，双曲线的方程可化为， 设点，其中，，且， 若在轴的负半轴上存在定点，使得， 且，， 因为，则， 即，整理可得， 所以，，解得， 因此，在轴的负半轴上存在定点，使得. 【点睛】关键点点睛：解本题第（2）问的关键在于根据二倍角的正切公式得出关于的等式，利用恒成立思想得出关于的方程组求解. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】（1） （2）证明：因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程. （2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解. 【小问1详解】 如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. 【小问2详解】 略 18. 如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点. （1）求证：平面； （2）若，且平面平面，求二面角的余弦值大小. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接，， 在中，因是的中点，故，且. 在三棱柱中，且， 又为棱的中点，故得，且， 故得， 则有， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明，由线线平行即可推得线面平行； （2）取上的四等分点，满足,取的中点,连接,通过证得推得四点共面， 由题设证明平面，从而完成建系，不妨取，求出相关点坐标，计算两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则与都是等边三角形， 如图，取上的四等分点，满足, 取的中点,连接, 则,易知,且，故可得， 则有，故有则四点共面. 因平面平面，平面平面， 且平面平面可得平面，又. 故可建立以为原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系. 不妨取，则，由可解得 则有，，， 则, 设平面法向量为， 则， 取，可得，， 故为平面的一个法向量， 因平面，故为底面的一个法向量， 则， 设二面角的平面角为，由图知二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 19. 三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ （5）如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 【答案】（1）4320 （2）14400 （3）14400 （4）36000 （5）1440 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法进行求解； （2）插空法进行求解； （3）方法一，先安排两端的位置，剩余位置进行全排列，得到答案； 方法二，间接法进行求解，先安排三个女生和五个男生排成一排的总数，再减去不合要求的方法数； 方法三，先从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，再考虑其他位置，从而得到答案； （4）分首位排了男生和首位排了女生两种情况，分别求出方法数，相加后得到答案‘ （5）安排好男生甲、乙，再安排甲和乙之间的两个女生，再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队，利用全排列知识求出答案. 【小问1详解】 （捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体， 这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法， 对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法． 因此共有（种）不同的排法． 【小问2详解】 （插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位， 加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻， 由于五个男生排成一排有种不同排法， 对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法， 因此共有（种）不同的排法． 【小问3详解】 方法一（位置分析法），因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个， 有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法， 但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次， 在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次， 由于两端都是女生有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法三（元素分析法），从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法， 对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 【小问4详解】 方法一（位置分析法），因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生， 那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法； 如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法， 因此共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数． 因此共有（种）不同的排法． 【小问5详解】 男生甲、乙排好有种排法，从三个女生中选两人排在甲、乙之间有种排法， 再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队有种排法， 所以共有（种）不同的排法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高二上学期10月数学检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 2. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A. B. C. D. 3 6. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ） A. 70个 B. 71个 C. 80个 D. 81个 8. 已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ） A. -1 B. 1 C. 64 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，则（ ） A. 与有相同离心率的椭圆标准方程一定是 B. 过的直线与椭圆交于两点，则 C. 设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值 D. 设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 10. 如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 直线与平面所成角为 11. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（ ） A. 若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B. 若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C. 若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D. 若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆上两点满足，则的最小值为______． 13. 已知，其中若，则______. 14. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆C：，点，点． （1）过点P作圆C的切线l，求出l的方程； （2）设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 16. 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上，当时，. （1）求的离心率； （2）若在第一象限，在轴的负半轴是否存在定点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 18. 如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点. （1）求证：平面； （2）若，且平面平面，求二面角的余弦值大小. 19. 三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ （5）如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $