13.5.2　线段垂直平分线课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.5.2　线段垂直平分线 第13章 全等三角形 - 13.5.2　线段垂直平分线 探究与应用 课堂小结与检测 第13章　全等三角形 探究一　线段垂直平分线的性质定理 [问题情境] 巴依老爷和穷人都想在自己家门前的路边修一口水井,贪婪的巴依老爷要求穷人和他对半出钱,且他想把水井修在如图13-5-2的路边A'处,穷人要求把水井修在路边B'处,双方争执不下,于是找阿凡提解决分歧,如果你是阿凡提,有办 法使水井修在路边而且令双方都满意吗? 图13-5-2 解:水井修在线段AB的垂直平分线与路边的 交点处. 探究与应用 细 琢磨 1.线段的垂直平分线是线段的对称轴,是一条直线. 2.线段垂直平分线的性质定理中的相等距离是垂直平分线上任一点到线段两端点的距离,是点与点之间的线段的长度. 探究与应用 [猜想证明] 1.如图13-5-3,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3是l上的点,分别测量点P1,P2,P3到点A与点B的距离,可得 P1A　　　　P1B,P2A　　　　P2B, P3A　　　　P3B.  2.根据第1题你能提出什么样的猜想? 图13-5-3 = = = 解:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等. 探究与应用 3.如图13-5-4,直线MN是线段AB的垂直平分线,C是垂足.P是直线MN上任意一点,连结PA,PB.求证:PA=PB. 图13-5-4 证明:∵直线MN是线段AB的垂直平分线, ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°. 在△APC和△BPC中, ∵PC=PC,∠PCA=∠PCB,AC=BC, ∴△APC≌△BPC(S.A.S.), ∴PA=PB. 探究与应用 [概括新知] 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　　　　.  几何语言:如图13-5-5. ∵直线l垂直平分线段AB,点P是直线l上任意一点, ∴PA=PB. 图13-5-5 相等 探究与应用 应用一　利用线段垂直平分线的性质定理进行计算 例1 如图13-5-6所示,在△ABC中,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E,AE=3 cm,△ABD的周长为13 cm.求△ABC的周长. 图13-5-6 解:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,AC=2AE=6 cm. 又∵△ABD的周长为AB+BD+AD=13 cm, ∴AB+BD+CD=13 cm, 即AB+BC=13 cm, ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19(cm). 探究与应用 例2 如图13-5-7,在△ABC中,∠BAC=56°,PD垂直平分AB,PE垂直平分BC,则∠BPC的度数为 (　　) A.124° B.112° C.108° D.118° 图13-5-7 B 探究与应用 探究二　线段垂直平分线的性质定理的逆定理 [推理证明] 1.线段垂直平分线的性质定理的逆命题应当怎样表述? 解:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 探究与应用 2.请你依据图形写出证明过程. 已知:如图13-5-8,QA=QB. 求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 图13-5-8 证明:过点Q作QC⊥AB,垂足为C,故∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA和Rt△QCB中, ∵QA=QB,QC=QC,∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.), ∴AC=BC(全等三角形的对应边相等), ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 探究与应用 3.根据上述两个定理,我们就能证明:三角形三边的垂直平分线交于一点. 已知:△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点O. 求证:点O在边BC的垂直平分线上. 证明:如图,连结OA,OB,OC. ∵△ABC的边AB,AC的垂直平分线 相交于点O(已知), 探究与应用 ∴OA=OB,OA=OC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等), ∴OB=OC(等量代换), ∴点O在边BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 探究与应用 [概括新知] 1.线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的　　　　 　　　上.  几何语言:如图13-5-9.∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线交于一点,并且该点到三角形三个顶点的距离相等. 图13-5-9 垂直平分线 探究与应用 应用二　利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决问题 例3 如图13-5-10,已知AB=AC,DB=DC,P是AD上的一点. 求证:∠ABP=∠ACP. 图13-5-10 证明:如图,连结BC. ∵AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. 同理,点D也在线段BC的垂直平分线上, 探究与应用 ∴AD垂直平分线段BC. ∵P是AD上的一点,∴PB=PC. 在△ABP和△ACP中, ∵AB=AC,PB=PC,AP=AP, ∴△ABP≌△ACP(S.S.S.), ∴∠ABP=∠ACP. 探究与应用 学 方法 (1)利用线段垂直平分线的性质定理可证明两条线段相等; (2)利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理可证明线段的垂直关系和相等关系. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 B [检测] 1.如图13-5-11,CD是线段AB的垂直平分线,P是直线CD上一点,已知PA=5,则线段PB的长为 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 图13-5-11 课堂小结与检测 2.如图13-5-12,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连结AE.若BC=8,AC=5,则△ACE的周长是 (　　) A.8 B.11 C.16 D.13 图13-5-12 D 课堂小结与检测 3.如图13-5-13,已知CD垂直平分AB,若AC=4 cm,AD=5 cm,则四边形ADBC的周长是　　　　cm.  图13-5-13 18 课堂小结与检测 4.如图13-5-14,在△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE垂直平分线段AB,交AB于点D,交AC于点E.求∠EBC的度数. 图13-5-14 解:18° 课堂小结与检测 应用一 例1　[解析] △ABC的周长等于AB+BC+AC,而线段BC=BD+CD. ∵DE垂直平分AC,∴CD=AD, ∴BC=BD+AD,结合△ABD的周长求出AB+BC,于是求得△ABC的周长. 相关解析 解:∵DE垂直平分AC, ∴AD=CD,AC=2AE=6 cm. 又∵△ABD的周长为AB+BD+AD=13 cm, ∴AB+BD+CD=13 cm, 即AB+BC=13 cm, ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19(cm). 例2　B　[解析] 连结AP. ∵PD垂直平分AB,PE垂直平分BC, ∴PB=PA,PB=PC, ∴∠BAP=∠PBA,PA=PC, ∴∠CAP=∠PCA, ∴∠APB=180°-∠BAP-∠PBA=180°-2∠BAP, ∠APC=180°-∠CAP-∠PCA=180°-2∠CAP, ∴∠BPC=360°-∠APB-∠APC =360°-(180°-2∠BAP)-(180°-2∠CAP) =2(∠BAP+∠CAP) =2∠BAC =2×56° =112°. 故选B. 谢 谢 观 看！ $$