上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024学年第一学期南模中学高二年级期中考试 数学学科 (本次考试时间120分钟、满分150分，命恩人，高俊翔，审题人：艾晓云) 一、填空恩（本大题共有12恩，46+56=54） 1,空间两直线所成角的取值范田是 2.如图所示：在直三梭柱ABC-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=BB, 则平面ABC与平面ABC所成的悦二面角的大小为 3.已知圆柱Q的母线长为1，底面半径为，O是上底面圆心，A、B是 下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角 的大小为二，则上=一 6 4,以下五个命题中，所有真命题的序号为 ①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥： ②正梭柱的侧梭垂直于底面： ③棱锥的各侧梭和底面所成的角相等， ④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 5.正方体ABCD-ABC,D中，点M为AB的中点，则异面直线 AM,BD所成的角的大小为 6.己知在圆锥S0中，底面圆0的直径B=2,△S4B的面积为2√5， 点M在母线SB上，且SW,】丽，一只妈蚊若从A点出发，沿圆锥侧面 3 爬行到达M点，则它爬行的最短距离为 7.如图，在正四梭柱ABCD-AB,CD,中，BB=2AB=AD=1E为4的 中点，则A点到平面DCE的距离为. 8.己知么B是两个相交平面，空间两条直线44在《上的射彩是直线 马，在P上的射形是直线外马用一与5,4与马的位置关系，写出一 个总能确定（与马是异面蓝线的充分条件： 9已知茱商品的形状为图台，上下底面圆的半径分别为R和R,高为2R 将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盆中（不考电 外包装的厚度)，则外包装盆的表面积的最小值为 高二数学期中 第1页共4页 10.已知正四面体ABCD中，AB=2,R,月，…，P在线段AB上，且 A-PB…=P.P.FPBI,过点P(k=l,2,,)作平行于直线4C, 8D的平面，载面面积为a,则所有截面积之和为 (公式：+2++m产=n+2m+里) 6 11.在校长为1的正方体ABCD一4BC,D中，M是梭CC,的中点，N是侧面B,BCC,内的 动点，且蔣足直线人NII平面ADM,当直线AN与平面B,BCC所成角最小时，记过点 DM,N的平面截正方体ABCD一ABCD所得到的被面为？，所有？的面积组成的集合 记为S,则S= 12.在梭长为1的正方体ABCD-ARCD中，FP分别为线段AC和平面A8GD,上的动点， 点G为线段BC的中点，则△PGF周长的最小值为 二、选择题（本大题共有4恩，42+52=18） I3.如图、用斜二测商法作△ABC的直观图得△ABC,其 中48=RC,AD是G边上的中线，出图形可知，在 △ABC（D是BC的中点)中，下列结论中正确的是( A.AB=BCAC B.AD⊥BC C.AC>AD>AB>BC D.AC>AD>AB BC 14.如图正方体ABCD-4C,D中，P2RS分别为梭 ABBC、BB、CD的中点，联结AS、BD,对空间任意两点M、N. 若线段M0W上不存在点在线段AS、BD上，则称M、N两点可视， 则下列选项中与点D可视的是(） A.点B B.点Q C.点P D.点R 15.分别以直角三角形的斜边和两度角边所在直线为轴，将三角形旋 转一周所得旋转体的体积依次为片、2、，则( A.Y=K+%B.?=昭+好 c.店*网 D.文片 16,己知P是正方体ABCD-ABCD的中心，过点P的直线I与该正方体的表面交于E、F 两点，现有如下命题：①线段EF在正方体6个表面的投影长度为，(=l,2,,6),则∑4为 定体：②直线1与正方体2条校所成的夹角的4，=2,2，则2o么，为定值下列类 断正确的是() A,①和②均为其命题 B.①和②均为假命恩 C.①为真命题，②为假命恩 D. ①为假命恩，②为真命恩 高二数学期中 第2页共4页 三、解答题（本大图共有5题，14◆3+18◆2-78） 17.已知长方体ABCD-ABCD中，AD=AB=4,M=2,E,F分别是AB,AD 的中点. (1)求证应线EF∥平面BBDD: 9 (2)求直战EF封平西BCC,B所成角的正弦健. 18.刻画空间的弯曲性是几何研究的凰要内容，用曲率刻函空间的弯曲性，规定：多面体顶 点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面 角，角度用弧度制。例如：正四面体每个项点均有3个面角，每个面角均为行，数其各个顶 点的曲率均为2-3x爱x.如图，在直三枚柱BC-ABG中，点A的曲率为受，N,M 分别为AB,CC的中点，且AB=AC,AA=2AB. (1)求异面直线CW和BM氏成第： (2)求二面角A-M-C的正切值， 19.如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数 f化因=+(>0)的图像上，设C、D的纵坐标为1. (1)求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积V(和表面积S(￠)关于（的丧达式 (2)求V(、S()的取值范围 高二数学期中 第3页共4页 20.对于函数y=F)和数列{a}、{b.},若a,=F(m),F(b)=n,则称{a,}为函数y=f(x) 的影数列，{b}为函数y=f(x)的一个“镜数列.已知fx)=x2,gx)=logx, h(x)=2+x. (1)若{a,}为y=fx)的影数列，{b}为y=g(x)的“镜数列"，求a,+b的值： (2)在(1)的条件下，当n≥5，neN时，比较a,和b,的大小，并说明理由 (3)若{c}为函数y=x)的“影数列”，{d}为函数y=h(x)的“镜数列”，现将{c}与{dn} 的公共项按从小到大的顺序重新构成数列{，}，试问在数列}中是否存在连续三项构成等 比数列？请说明理由， 21.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D中，AD=1,CD=2,AD⊥平面ABCD, 九A与底面ABCD所成角为日，设直线AC与平面LAD,D、平面ABCD、平面AMBB 所成角的大小外别为a、八、Y. (1)若∠ADC=20,求平行六面体ABCD-AB,C,D,的体积V的取值范图. Q)若∠Dc=29且0=年，求、及y中的摄大值 3)若∠c=·&g间=maxa(o,B(o.ro明 (其中max{a,b是指a,b中的 最大的数)，求g(⊙)的最小值. 高二数学期中 第4页共4页 2024学年第一学期南模中学高二年级期 数学学科期中考试 (本次考试时间120分钟，满分150分) 一、填空趣（本大题共有12题，4*6+5*6=54） 02 1.空间两直线所成角的取值范围是 2.如图所示：在直三棱柱ABC-A,BC,中，AB⊥BC, AB=BC=BB,则平面AB,C与平面ABC所成的锐二面角的大小 为 T 3.已知圆柱2的母线长为1，底面半径为”，O是上底而圆心，A、B是 下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角 的大小为后，则 5 4.以下五个命题中，所有真命题的序号为 .②④ ①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥： ②正棱柱的侧梭垂直于底面： ③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等： ④园锥的轴截面一定是等腰三角形. 5.正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M为AB的中点，则异面直线AM,BD 所成的角的大小为 √15 arccos- 15 6.已知在圆锥S0中，底面⊙O的直径AB=2,△SAB的面积为2√2，点M 在母线SB上，且SM=SB,一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到 ǒ 达M点，则它爬行的最短距离为 万 D 7.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，BB=2,AB=AD=L,E为AA的中 点，则A点到平面DCE的距离为 互 2 8.已知a、B是两个相交平面，空间两条直线小在a上的射影是直线52， 在B上的射影是直线小‘用与$，4与3的位置关系，写出一个总能确定 4与是异面直线的充分条件： ·品∥s,并且 与相交（或4∥12，并且品与s2相交） 9.己知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为R和R,高为2R, 将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外 包装的厚度)，则外包装盒的表面积的最小值为」 38R2 10.已知正四面体ABCD中，AB=2,P,B,…,Pn在线段AB上，且 M=RB==P.P上PB|,过点B(k=1,2,…,n)作平行于直线AC, BD的平面，截面面积为a:,则所有截面积之和为 2n2+4n 3n+3 P (公式：P+2++m2=nn+(2m+里) 6 I1.在棱长为1的正方体ABCD一AB,CD中，M是棱CC的中点，N是侧面B,BCC,内的 动点，且满足直线AN/平面AD,M,当直线AN与平面BBCC所成角最小时，记过点 D,M,N的平面截正方体ABCD一AB,C,D所得到的截而为2，所有2的面积组成的集合 59 记为$，则S= 2'8 12.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，FP分别为线段AC和平面A,B,C,D上的动点， 点G为线段B,C的中点，则△PGF周长的最小值为 3+√3 二、选择趣（本大题共有4题，4*2+5*2=18） 13.如图、用斜二测画法作△ABC的直观图得△AB,C,其中 AB=B,C,AD是BC边上的中线，由图形可知，在△ABC(D 0 是BC的中点)中，下列结论中正确的是( )C D A.AB=BC=AC B.AD⊥BC C.AC>AD>AB>BC D.AC>AD>AB=BC 14.如图正方体ABCD-AB,C,D,中，P、、R、S分别为棱 AB、BC、BB、CD的中点，联结AS、BD,对空间任意两点M、N若 线段MN上不存在点在线段AS、BD上，则称M、N两点可视，则下列 选项中与点D可视的是( )B A.点BB.点2 C.点P D.点R 15.分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转 一周所得旋转体的体积依次为”.2、，则()C A.=%+%B.K=公+以C.交安+安 D.*坊 16.已知P是正方体ABCD-AB,CD的中心，过点P的直线1与该正方体的表面交于E、F 两点，现有如下命题：①线段EF在正方体6个表面的投影长度为，(1=1,2…，6)，则∑4，为 定值：@直线1与正方体12条校所成的夹角的a,=l.2…12).则之co32,为定值.下列判 断正确的是()D A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D,①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，14*3+18*2=78） 9 17.已知长方体ABCD-AB,C,D中，AD=AB=4, A4=2,B,F分别是AB,AD的中点. B (1)求证：直线EF∥平面BB,DD: (2)求直线EF与平面BCC,B,所成角的正弦值， 【解】(I)取BD的中点P连接PE,PD,由条件E,F 分别是AB,AD的中点可知 PEID,F,且PE=D,F,故PEFD,为平行四边形，所以PD,IEF ,EF丈平而BBDD,且PD,C平面BBDD ∴.EF∥平而BB,DD (2):平面BCC,B∥平面ADDA D ∴.直线EF与平面ADDA所成角就是直线EF与平面 BCCB,所成角 :AB⊥平面ADD,A,.EF在平面ADD,A内的射影 为AF D 因此∠AFB就是直线EF与平面ADD,A所成角. 在△AEF中AF=2√5，AE=2,EF=25 sin∠AFE=4E=2-5 E示“2万了，则直线F与平面8CC8所成角的正弦值为 18.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲 性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差， 其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四 面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为行，故其各个顶点的曲率均 为2-3x=R.如图，在直三棱柱ABC-4BG中，点A的曲率为 N,M分别为AB,CC的中点，且AB=AC,AA=2AB. (1)求异面直线CN和B,M所成角： (2)求二面角A-MB-C,的正切值， 【解】(1)在直三棱柱ABC-AB,C,中，AA⊥平面ABC,AC,ABc平面ABC, 则A41AC,A4上AB,所以点A的曲率为2π-2×-∠BAC=2红 31 所以∠BAC=于，所以△ABC为正三角形， 取BB,中点P,连CP,则可得CPI/BM,所以∠PCN即为异面直线CW和BM所成角 设AB=4C=1,则可得CN=号，CN=5,WP=5 2 所以eos∠PCN=CP+CN2-NP= ,即异面直线CW和B,M所成角为arccos 6 2CP.CN 4 (2)取BC的中点F,连接AF,则AF L BC, 因为BB⊥平面ABC,AFC平面ABC,所以BB⊥AF, 因为BB∩BC=B,BB,BCC平面BB,CC,所以AF⊥平面BB,CC. 又B,MC平面BB,CC,所以AF⊥B,M,过F作B,M的垂线，垂足为H,连接AH, 则BM⊥FH,又AFOFH=F,AF,FHc平面AFH,所以B,M⊥平而 AFH, 又AHC平面AFH,所以AH⊥BM, 所以∠AHF为二面角A-MB-C的平面角的补角. 设8M∩BC=E,4B=2,则AF=√5，EF=1+2=3,ME=2N5 由等面积法可得MEFH-F.CM.则 FH-EF.CM_3x2 3 ME2W万E: 则∠F需-S,故二面角4-烟-G的正初监为- 3 19,如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数 =中京x>0的图像上，设C、D的级坐标为。 (1)求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积V(t) 和表面积S()关于1的表达式 (2)求V()、S()的取值范围 B 、【解)1)由y=x)三+x得 一+x 当且仅当x=1时取等号，即e0分) 又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设C、D的坐标为(x,),(x,1) 则圆柱的底面圆半径为，高为h=书一x, 71,则-x*1=0,得h=k-小- 令术 所以v()=,-4 =tV-4k2, 50=2m+2-r-2xf+- 2由w0=F0-可.e》得0到 令k=V-42.则k∈(0,1) S)=2a(:+k+号在ke(0,1)严格遥增，得s)e（仔，2a 所以综上所述： v()5()e(.2 20.对于函数y=F()和数列{an}、{b.}.若a.=F(n),F(b)=n,则称{a}为函数y=f(x) 的影数列"，{b}为函数y=f(x)的一个“镜数列”.已知f(x)=x2,g(x)=logx, h(x)=2"+x. (1)若{an}为y=f(x)的“影数列，{bn}为y=g(x)的镜数列"，求a+b的值： (2)在(1)的条件下，当n≥5，n∈N时，比较a和b的大小，并说明理由. (3)若{c}为函数y=h(x)的“影数列”，{d}为函数y-h(x)的“镜数列”，现将{c}与{d} 的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，}，试问在数列e,}中是否存在连续三项构成等 比数列？请说明理由. 【解】(1)由题意，a。=f(m)=n°，g(b)=m,log:b.=m,b.=2:以a,+b=4+16=20 (2)当n≥5，n∈N时，猜想a。<b,数学归纳法证明如下 (i)当n=5时，a=25<b=32,命题成立： (ii)假设当n=k(k之5，keZ时，命题成立，即k2<2, 则当n=k+1时，6-a1=21-(k+2 =2×2*-k2-2k-1>2k2-k2-2k-1=k2-2k-1=(k-1)2-2(*) ,k≥5，()>0，即命题也成立 由(i)(ii)可知，当n≥S,n∈N时，an<b成立. (3)f(x)=2+x,则c.=fm=2+n,f(dn)=2+dn=n, 设c,=d,即2”+p=d,则22p+2”+p=q 设函数k(x)=2+x,函数单调递增，对于任意p∈N”,有唯一的g∈N与之对应， 即数列c中每一项，都有d。中的项与之相等， 又cn=2”+n单调递增，所以新e。=cn=2”+n, 假设数列c}中存在连续三项构成等比数列，c=c1·c-1,m≥2，meN”, 故(2"+m=(2+m+(2+m-整理得到(m-3)2=1, 当m≥2时，(m-3)2为偶数，等式不成立：所以等式无正整数解。 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 21.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD1中，AD=1, CD=2,A,D⊥平面ABCD,AA,与底面ABCD所成角为0， 设直线A,C与平面AA,DD、平面ABCD、平面AA,B,B所成 角的大小分别为a、B、Y (1)若∠ADC=20,求平行六面体ABCD-AB,C,D,的体 积V的取值范围. (2)若∠ADC=28且6=元，求a、B、y中的最大值： 4 3)若∠ADC=受.8(o)=maxf(O),BO),y0}(其中max{a,y是指a.b中的 最大的数)，求g(Θ)的最小值. 【解】(1)由己知，A,D⊥AD,DA1=tan0, 由面积公式，可求四边形ABCD的面积为2sin20, 平行六面体ABCD-A,B,C,D,的体积V=2sin20.tan0=4sin20. 所以，平行六面体ABCD-A,B,C,D,的体积V的取值范围为(O,4). (2)由题A,D⊥平而ABCD,AD=1, anB=an∠ACD=CD=?即B=arctan 2 又：A,D⊥平面ABCD,∴.CD⊥AD 又CD⊥AD,.CD⊥平面AAD,D, CD .tana=tan∠CAD= AD =2,即a=arctan2 过A作AH⊥DD,连CH, 由CD⊥平面AA,D,D,得CD⊥AH,AH⊥平面CDD,C 又可得AH=5,4C=5.siny=in∠ACH=4织. 2.即y=arcsin o 2 AC 10 10 所求最大值为a=arctan2 (3)由题，设AD=x,则x>0 自8可得m&-光子m-品寺m7 AH CH 在AMDD,中，AH=AD×ADx DD√2+I 又4C=*4.CH=+4-式= tany=+2 r 4x2+1√x2+1 令，y=max{tana,tanB,tanY} 则y=f(x)=max3 2xx 在2r+2r>o) -x=1 2谢，子31克当0附1子且7月 >12人1 -2W24 x22 :f(x)=3 =f(x=f(2)-1g(o)=牙 0<x<2