精品解析：江西省上饶市广丰区新实中学2024-2025学年高二上学期十月检测数学卷

江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高二上学期十月检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，从点向圆作两条切线、，切点分别为、，若，则圆心的轨迹被直线截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 3. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 在平面直角坐标系中，过双曲线上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 5. 过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四棱台中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点M的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点M到直线的距离的最大值为 D. 若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为 10. 抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作圆M：的两条切线，A，B为切点，过P作l的垂线，垂足为Q，则（ ） A. 当时，l与圆M相切 B. 当时，的最小值为 C. 当时，为定值 D. 存在点P，使得为等边三角形 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是______. 13. 已知椭圆的离心率为，则的值为______. 14. 已知正方体棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆与圆相交于两点，直线方程为． （1）若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围； （2）若是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程． 16. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 17. 已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求最小值. 18. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. （1），，，用a，b，c表示； （2）若，求. 19. 如图所示，平行六面体中，. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高二上学期十月检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围. 【详解】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率，直线的斜率， 由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 2. 已知圆，从点向圆作两条切线、，切点分别为、，若，则圆心的轨迹被直线截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，分析可知为正方形，可得出，可知的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，再求出圆心到直线的距离，从而求出弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为，连接、， 则，，又因为，且， 所以四边形为正方形，则， 即，即， 所以点的轨迹方程为， 即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 又圆心到直线的距离， 所以圆心的轨迹被直线截得的弦长为. 故选：C 3. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解. 【详解】依题意，作出椭圆的图象，如图， 若甲为真命题，则； 若乙为真命题：则的周长为，即； 若丙为真命题，则离心率为； 若丁为真命题，则四边形的面积为； 当甲乙都为真时，有，解得，则， 此时，，则丙和丁都是假命题； 所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真； 若甲、丙和丁为真，则，解得， 此时满足，且，符合题意； 若乙、丙和丁真，则，解得， 此时，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立； 综上，乙命题为假命题. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，进而分析得解. 4. 在平面直角坐标系中，过双曲线上一点作两条渐近线平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】做出图形，求出渐近线方程，求出两平行线间的距离，再结合三角恒等变以及斜率关系换化简可得，最后构造齐次式求出离心率即可； 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线方程为， 设交直线于点， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为，由正弦定理可得， 即， 设，即， 因为， ， 所以，即， 所以，即， 所以离心率. 故选：C. 5. 过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得或， 且，所以，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 6. 在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标. 【详解】点A的坐标为. 故选：D 7. 已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 8. 如图，在正四棱台中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底表示向量即可. 【详解】 . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点M的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点M到直线的距离的最大值为 D. 若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，先由求出点M的轨迹方程，从而得点M的轨迹圆的半径，再由圆的面积公式即可得解；对于B，先求出，接着求出圆心到直线的距离再加上半径即为的高最大值，进而可求面积最大值；对于C，求出圆心到直线的距离再加上半径即为解；对于D，求出圆心到直线的距离d，令即可计算求解. 【详解】对于A，设，因为，所以， 整理得即， 所以点M的轨迹是圆心为，半径为的圆， 所以点M的轨迹围成区域的面积为.故A正确； 对于B，，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离为， 要使M的轨迹上有四个点到直线的距离为， 则，解得.故D正确. 故选：ACD. 10. 抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作圆M：的两条切线，A，B为切点，过P作l的垂线，垂足为Q，则（ ） A. 当时，l与圆M相切 B. 当时，的最小值为 C. 当时，为定值 D. 存在点P，使得为等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线的准线方程以及圆的圆心坐标和半径可以判断是否相切；对于B，因为，所以可使得两点在点的异侧，根据两点之间，线段最短原理可知，当三点共线时，有最小值；对于C，已知可解得和的夹角，从而解得为定值；对于D，当时，为等边三角形，所以满足存在性． 【详解】对于A，圆M：的半径，圆心到准线的距离为， 所以，当且仅当，时， l与圆M相切，故A不正确； 对于B，如图所示： 当三点共线时，有最小值，最小值为，故B不正确； 对于C，因为，，所以由余弦定理得 ,所以， 所以＝，故C正确； 对于D，当时，，所以， 此时为等边三角形，故D正确； 故选：CD． 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项由线线平行得到异面直线的夹角，用余弦定理即可得出结果；B选项动直线平行于平面等价于面面平行，从而得到动点运动轨迹，找垂线即为最短距离，求出最小值；C选项找球心，便可得到半径，然后求出体积；D选项利用空间直角坐标系由空间向量得到点的坐标，然后求出线段长，从而得出周长. 【详解】A．，直线与所成角， 在中，根据余弦定理可知， ， 代入求得，A错误； B．取的中点，取的中点，取的中点，连接， ，，所以四边形是平行四边形， 且，，平面， 同理可得平面， 平面，平面， 所以点的运动轨迹为线段， 在中，过点作，此时取得最小值， 由题意可知，， ，B正确； C．取的中点，连接，则， 过点作，且， 为外接球的半径，在中，， ， ，C错误； D．由平面平面得，过点的平面必与有交点， 设过点的平面与平面和平面分别交于 ，同理可得 过点的平面截长方体所得的截面图形为五边形， 如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， ，， ，解得， ， 所以五边形的周长为 ，D正确． 故选：BD 【点睛】方法点睛：利用向量共面来找立体图形中截面问题，先找到面与棱的交点，设交点坐标，得到空间向量的坐标，由向量平行建立方程，解出点的坐标，即可确定截面位置. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【详解】由于直线恒过定点，圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 故答案为： 13. 已知椭圆的离心率为，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分焦点在轴上和轴上，根据离心率公式直接求解可得. 【详解】当焦点在轴上时，，则， 所以，，解得； 当焦点在y轴上时，，则， 所以，，解得. 综上，的值为或. 故答案为：或 14. 已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出得，，再结合点共面，所以，从而可求解. 【详解】由题意得，，则，，， 因为点共面， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆与圆相交于两点，直线的方程为． （1）若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围； （2）若是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）借助圆与圆的位置关系以及勾股定理，计算即可求得； （2）通过，以及三角形面积的最大值，求出圆的半径，计算即可求得. 【小问1详解】 由，得， 所以圆的半径，圆心为，且圆心在直线上． 因为圆的圆心在圆外，所以连结，． 又因为，连接，所以在中，圆的半径为． 故圆的半径的取值范围为． 【小问2详解】 设圆的圆心为，由题意可得，所以，即①． 设圆的半径为，在中，边上的高为h， 所以的面积为， 当时，即此时取得最大值，的面积取得最大值， 最大值为，解得， 所以②． 由①②得，或， 所以圆的方程为或． 16. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点和点代入椭圆方程，解之即可得解； （2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解. 小问1详解】 因为椭圆椭圆经过点和点，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或， 则， 所以. 17. 已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【小问1详解】 由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 记双曲线的左焦点为，则， 可得， 当三点共线时，最小， 且最小值为.故的最小值为. 18. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. （1），，，用a，b，c表示； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，连接，可得， 因为为的中点，且， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以 ， 因为平面，平面，且平面,平面， 所以， 又因为， 所以， 所以. 19. 如图所示，平行六面体中，. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解. 【小问1详解】 在平行六面体中， . 小问2详解】 因为，，， 所以，， ， 则 . 【小问3详解】 因为， 所以 ， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$