13.1.2　定理与证明课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.1.2　定理与证明 第13章　 全等三角形 - 13.1.2　定理与证明 探究与应用 课堂小结与检测 第13章　全等三角形 探究一　基本事实与定理 [问题情境] 下列命题均是真命题,你还记得它们是如何被论证的吗? (1)两点确定一条直线; (2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; (3)对顶角相等; (4)三角形的任一外角等于与它不相邻的两个内角之和. 探究与应用 解:(1)公认的. (2)公认的. (3)如图. ∵∠1+∠2=∠2+∠3=180°, ∴∠1=∠3,即对顶角相等. 探究与应用 (4)如图. ∵∠1+∠2=∠2+∠A+∠B=180°, ∴∠1=∠A+∠B, 即三角形的任一外角等于与它不相邻的两个内角之和. 探究与应用 基本事实与定理的联系与区别 (1)联系:基本事实和定理都是真命题,都可以作为判断其他命题真假的依据; (2)区别:基本事实是从实践中总结出来的,其正确性不需证明,而定理的正确性却需要经过逻辑推理论证. 知 关系 探究与应用 [概括新知] 1.基本事实的概念:人们公认的真命题叫做　　 　　,它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据,即出发点.  2.定理的概念:数学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理. 基本事实 探究与应用 勤 总结 目前我们已经学过的基本事实有: (1)两点确定一条直线; (2)两点之间,线段最短; (3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 探究与应用 应用一　识别基本事实 例 1 下列语句中是基本事实的有　　　　.(填序号)  ①两直线平行,同旁内角互补; ②三角形的外角和等于360°; ③同位角相等,两直线平行; ④在同一平面内,与第三条直线垂直的两条直线平行; ⑤直角三角形的两个锐角互余; ⑥在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ⑦有理数和无理数统称实数; ⑧相等的角是对顶角. ③⑥ 探究与应用 探究二　证明 [分析论证] 直角三角形的两个锐角互余. 已知:如图13-1-1,在△ABC中,∠C=90°. 求证:∠A+∠B=90°. 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(　　　　　 　　　　),  且∠C=90°(已知), ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(　　　　　　　).  图13-1-1 三角形的内角和等于180° 等式的性质 探究与应用 证明必须做到“言必有据”,每步推理都要有依据,不能“想当然”,这些依据可以是已知条件,也可以是定义、基本事实、已经学过的定理以及等式的性质、等量代换等,每一步的结论与上一步的依据需是“直系亲属”,不可“牛头对马尾”. 明 细节 探究与应用 [概括新知] 证明的概念:根据　　　　、　　　　以及　 　　　、 　　　　等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.  条件 定义 基本事实 定理 探究与应用 应用二　进行简单的证明 例 2 如图13-1-2,已知∠A=∠C,AD⊥BE,BC⊥BE,点D在线段EC上.求证:AB∥CD. 图13-1-2 证明:∵AD⊥BE,BC⊥BE(已知), ∴AD∥BC(在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行), ∴∠ADE=∠C(两直线平行,同位角相等). 又∵∠A=∠C(已知), ∴∠ADE=∠A(等量代换), ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 探究与应用 证明文字叙述的真命题的一般步骤 (1)分清条件和结论; (2)画出图形; (3)根据条件写出已知,根据结论写出求证; (4)证明. 懂 步骤 探究与应用 应用三　命题的证明 例3 求证:三角形的内角和等于180°. (1)根据条件和结论,结合图形,补充完整“已知”和“求证”. 已知:如图13-1-3,在△ABC中, 　　　　　　　　　　　　　　　 .  求证:　　　　　　　　.  (2)证明上述命题. 图13-1-3 ∠1,∠2,∠3分别是△ABC的三个内角 ∠1+∠2+∠3=180° 探究与应用 证明:如图,延长BC至点E,以点C为顶点,在BE的上侧作∠DCE= ∠2,则CD∥BA(同位角相等,两直线平行), ∴∠1=∠ACD(两直线平行,内错角相等). ∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°(平角的定义), ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换). 探究与应用 组合多选,条件开放 【延伸拓展】 如图13-1-4,在△ABC中,D,E是AB上的点,F是BC上一点,H,G是AC上的点,FD⊥AB于点D,连结EF,EH,EG.从①EG⊥AB,②∠α=∠β,③EH∥BC三个条件中选出两个作为 已知条件,另一个作为结论,则可以组成三个命题. (1)组成的三个命题中,真命题有　　　　个;  (2)选择一个真命题进行证明. 图13-1-4 三 探究与应用 (2)(答案不唯一)条件:①EG⊥AB,②∠α=∠β. 结论:③EH∥BC. 证明:∵FD⊥AB,EG⊥AB, ∴∠BDF=∠BEG=90°,∴DF∥EG, ∴∠DFE=∠GEF. 又∵∠α=∠β,∴∠DFE+∠α=∠GEF+∠β, 即∠BFE=∠HEF, ∴EH∥BC. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 B [检测] 1.下列说法中正确的是 (　　) A.命题是定理,但定理未必是命题 B.定理都是真命题 C.定理和命题一样,有真有假 D.“取线段AB的中点C”是一个真命题 课堂小结与检测 2.在修建兰定高速公路时,有时需将弯曲的道路改直,根据什么基本事实可以说明这样做能缩短路程(　　) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.两点之间,线段最短 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C 课堂小结与检测 3.推理应用:如图13-1-5,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可得AB∥CD.理由如下: ∵∠1=∠2(已知),且∠1=∠4(　　　　　　),  ∴∠2=∠4(等量代换), ∴CE∥BF(　　　　　　　　　　　　),  ∴∠C=∠3(　　　　　　　　　　　　).  又∵∠B=∠C(已知), ∴∠3=∠B(等量代换), ∴AB∥CD(　　　　　　　　　　　　).  图13-1-5 对顶角相等 同位角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等 内错角相等,两直线平行 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$