精品解析：甘肃省 定西市安定区城区联考2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 已知函数是二次函数，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令且，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 且， ． 故选：B． 4. 把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”解题即可． 【详解】解：把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象是， 故选：A． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转得到，连接．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，即可求出，即可得结果． 【详解】解：∵绕直角顶点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴， 故选：C． 9. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．将原来的道路等价为十字形道路，或是等价为草坪外围的形道路，即可得出草坪的长为 ，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：如下图， 则草坪的长为 ，宽为 ， 根据题意得 ． 故答案为：A． 10. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，，，则当P与A，B重合时，最长，此时，而运动路程为0或4，从而可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为4，为边的中点， ∴，，， 当P与A，B重合时，最长， 此时， 运动路程为0或4， 结合函数图象可得， 故选C 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系内，若点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则a+b的值为_____． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值． 解：∵点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称， ∴a=﹣2，b=3， ∴a+b=1． 故答案为1． 考点：关于原点对称的点的坐标． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若，，是抛物线上的三点．则，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据点到对称轴的距离从小到大为，，，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到、、的大小关系． 【详解】解： 抛物线对称轴为直线 ，， 到对称轴的距离从小到大为，C， 抛物线开口向上 到对称轴的距离越小，对应的y值越小 、、的大小关系为 故答案为：． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 【答案】2 【解析】 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 16. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________． 【答案】（36，0） 【解析】 【详解】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0） 三、解答题（本题共11个小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，掌握因式分解法，直接开平方法，配方法，公式法等解一元二次方程常用的方法是解题关键． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 18. 如图，已知的顶点的坐标分别是，，． （1）作出关于原点中心对称的； （2）将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标为 ． 【答案】（1） ； （2） ，． 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵三点的坐标分别是，，， ∴三点的坐标关于原点对称的坐标是，，， 依次连接三点，得到，如图： ∴就是所求的三角形． 【小问2详解】 解：∵三点的坐标分别是，，， ∴三点的坐标绕原点按顺时针方向旋转后的坐标是，，， 依次连接三点，得到，如图： ∴就是所求的三角形，的坐标是． 故答案为： 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为3，方程的另一根为1 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，结合完全平方公式的非负性分析求证； （2）把一根为3代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 把代入原方程：，（舍去） 故的值为3，方程的另一根为1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时Δ＞0是解题的关键． 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）判断的形状； （2）求证：平分． 【答案】（1）等边三角形； （2） 证明：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）根据旋转的性质得到，，则根据等边三角形的判定方法可得到为等边三角形； （2）根据旋转的性质得到，，则可证明，加上，于是可判断垂直平分，然后根据等边三角形的性质得到平分． 【小问1详解】 解：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 略 21. 已知抛物线过，两点． （1）求出该抛物线的解析式； （2）求出抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，写出的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的解析式为；（2）抛物线与轴的交点坐标为（2,0）和（4,0）；（3）2＜x＜4 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式中即可求出b和c，从而得出结论； （2）将y=0代入解析式中即可求结论； （3）大致画出二次函数的图象，即可得出结论． 【详解】解：（1）将，代入中，得 解得： ∴该抛物线的解析式为； （2）将y=0代入，得 解得： ∴抛物线与轴的交点坐标为（2,0）和（4,0）； （3）∵中，a=1＞0，其图象大致如下 由图象可知：当时，2＜x＜4． 【点睛】此题考查的是求二次函数的解析式、求二次函数与x轴的交点坐标和根据二次函数图象和函数值的取值范围，求自变量的取值范围，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法和画二次函数的图象是解决此题的关键． 22. 为培养学生的阅读兴趣，学校开展了课外阅读活动，计划将学生人均阅读量从七年级第一学期的70万字增加到八年级第一学期的100.8万字． （1）如果每学期学生人均阅读量的平均增长率相同，求这个增长率； （2）按照（1）中的阅读量增长率，学校期望八年级第二学期的人均阅读量达到120万字，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）每学期学生人均阅读量的平均增长率为20%； （2）他们的目标能实现． 100.8×（1+20%）=120.96（万字）． ∵120.96＞120， ∴他们的目标能实现． 【解析】 【分析】（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率为x，根据八年级第一学期人均阅读量=七年级第一学期人均阅读量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用八年级第二学期的人均阅读量=八年级第一学期人均阅读量×（1+增长率），可求出八年级第二学期的人均阅读量，将其与120万字比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率为x， 依题意得：70（1+x）2=100.8， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每学期学生人均阅读量的平均增长率为20%； （2略 ） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键； （1）由旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； （2）由旋转的性质得，，从而得；由是等边三角形，得，在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，． 24. 某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元． （1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）． （2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大，最大利润为2592元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）商品每件降价元时单价为元，销售量为件，则每件商品的利润为元，再根据总利润等于每件商品的利润乘以销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，商品每件降价元时单价为元，销售量为件， 则 ， 即与之间的函数解析式是； 【小问2详解】 解：， ∵， 当时，取得最大值，此时， 销售单价为：（元），最大利润为2592元． 答：商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大．最大利润为2592元． 25. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【解析】 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 26. （1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG，请直接写出图中所有的全等三角形； （2）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°. ①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，求证：EF=BE+DF； ②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF=∠BAD，①中的结论是否仍然成立？请说明理由 【答案】（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG； （2）①证明：如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABG， ∵AB=AD,∠ABC=∠D=， ∴∠ABC+∠ABG=即∠GBC=， 易得△ADF≌△ABG， ∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG， ∵2∠EAF=∠BAD， ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=∠EAG， ∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF=EG=BE+BG=BE+DF， 即EF=BE+DF. ②不成立；理由如下：如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABH， ∵AB=AD,∠B=∠ADC=∠ADF= ∴点H在BC上,易得AF=AH,BH=DF,∠1=∠2 ∴∠EAF=∠EAD+∠1=∠EAD+∠2, ∵2∠EAF=∠BAD=∠EAD+∠2+∠EAH， ∴∠EAF=∠EAH， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEH， ∴EF=EH=BE-BH=BE-DF,即EF=BE-DF， ∴①中的结论不成立. 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质易得△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG； （2）①如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，易证△ADF≌△ABG，故∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG，由2∠EAF=∠BAD得∠EAF=∠EAG，从而得△AEF≌△AEG，易得证； ②不成立.如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABH，可证得△AEF≌△AEH，从而得出EF=BE-DF. 【详解】（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG； （2）①略 ②略 【点睛】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键． 27. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【解析】 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可． （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点． （3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解 【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c， ∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）． 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=-1． ∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），即y＝-x2+2x+3． （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得：． ∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3． 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)． （3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． ∵抛物线的对称轴为： x=1， ∴设M(1，m)． ∵A(－1，0)、C(0，3)， ∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10． 若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1． ②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±． ③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去． 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰三角形的存在性问题，需要数形结合、分类讨论，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知函数是二次函数，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 4. 把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转得到，连接．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系内，若点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则a+b的值为_____． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 13. 若，，是抛物线上的三点．则，，的大小关系为______． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 16. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________． 三、解答题（本题共11个小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程：． 18. 如图，已知的顶点的坐标分别是，，． （1）作出关于原点中心对称的； （2）将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标为 ． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根． 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）判断的形状； （2）求证：平分． 21. 已知抛物线过，两点． （1）求出该抛物线的解析式； （2）求出抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，写出的取值范围． 22. 为培养学生的阅读兴趣，学校开展了课外阅读活动，计划将学生人均阅读量从七年级第一学期的70万字增加到八年级第一学期的100.8万字． （1）如果每学期学生人均阅读量的平均增长率相同，求这个增长率； （2）按照（1）中的阅读量增长率，学校期望八年级第二学期的人均阅读量达到120万字，请通过计算说明他们的目标能否实现． 23. 如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长 24. 某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元． （1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）． （2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？ 25. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 26. （1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG，请直接写出图中所有的全等三角形； （2）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°. ①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，求证：EF=BE+DF； ②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF=∠BAD，①中的结论是否仍然成立？请说明理由 27. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $