吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

2024一2025学年上学期 东北师大附中 (数学)科试卷 高（二）年级期中考试 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形 码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内， 超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的， 1.直线x+√3y+1=0的倾斜角是() A.30 B.60° C.120 D.150 2.已知a,阝是两个平面，1，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是() A.若m⊥a,l⊥m,则1⊥a B.若mlB,∥B,则mln C.若mlla,1上a,则1⊥m D.若a∥B,l∥a,则ml∥B 3. 已知两直线4：3x+4y-14=0,42:(a-2)x+4y+a=0,若∥42，则4与4间的距离为() A号 B号 D. 4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试两部分，该同学参加这两项测 试的结果互不影响若该同学在笔试和实验操作中测试结果为优秀的概率分别为，？，则该同学 在这次比赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为() 7 5 A. 12 B.2 12 D. 第1页 1 5.在平行四边形ABCD中，点E,F,G分别满足D正=EC,C=2BG,A正=2E,则FG=（） -和B:名+2而 3 6 c.-而 D.西+而 6 3 6 3 6.已知圆M经过P(1,),2(2,-2)两点，且圆心M在直线：x-y+1=0上，则圆M的标准方程是 A.(x-2)2+y-32=5 B.(x-3)2+(y-4)2=13 C.(x+3)2+(y+2)2=25 D.(x+3)2+y-2)}=25 7.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，B⊥BC,AB=BC=AM=2,P为线段AB的中点，为 线段CP上一点，则△BCQ面积的取值范围为() A.[26 B.[25 c.[5,5] D.[2,5] 8.已知点A、B是圆Cx-2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线1：x+y=0上动点，且 PACA=0,PB.CB=0,下列说法正确的是（) A.圆C上恰有一个点到直线！的距离为 B.PA长的最小值为√21 C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线8恒过定点（侵引 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 共2页 2 9.圆G:(x-)2+y2=1与圆C：x2+(y-a2=9没有公共点，则a的值可能是(） A.-5 B.-1 C.2 D.4 10. 已如随机事件A,B满足P(回=P(B)-子，P(4+B)=1,则下列结论正确的是（） A.P(4)=P(B) B.P(4=号 c.P(号 D.P(4)=克 11.在正方体ABCD-ABCD中，AB=2,E为AD的中点，F是正方形BB,CC内部及边界上一 点，则下列说法正确的是() A.平面FBD⊥平面4GD B.当EF25时，点F的轨迹长度为兮 C.平面BBCC内存在一条直线与直线EF成30角 D.将△AAD以边AD所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，A到平面AB,C的距离的取 值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分， 12.在{红，3,4,5}和{2,4}两个集合中各任意选取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除 的概率是 I3.如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,平面ABD⊥平面BCD,且 ∠BAD=∠BCD=90°，则AB与平面ACD所成角的正弦值是 14.已知圆A:(x+2+y=1,圆B:(x-2)2+y=4,直线3x+4y+1=0上存在点P,过点P向圆 第2页 3 A引两条切线PC和PD,切点是C和D,再过点P向圆B引两条切线PE和PF,切点是E和F, 若∠CPD=∠EPF,则实数t的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分) 已知点A(-1,0),B(0,2),圆C的方程为x2+y2-4x+4y+4=0,过点B的直线1与圆C相切， 点P为圆C上的动点. (1)求直线1的方程： (2)求△PAB面积的最大值， 16.(本小题满分10分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是 梯形，AD⊥AB,BC1IAD,AD=2,PA=BC=1. (I)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离： (2)点T是线段CD上的动点，PT上是否存在一点M,使PT⊥平面ABM,若存在，试确定T,M 点位置，若不存在，请说明理由. 共2页 4 17.(本小题满分12分) 班级组织象棋比赛，共有16人报名，现将16名同学随机分成4组且每组4人进行单循环比赛，规 则如下：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束 后以总分排名，小组总分排名前两位的同学获奖.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排 名（箱签的胜者排在负者前面。且抽签时每人我胜的概率均为分若甲、乙、两、丁4位同学分 到组且赛程如下表。假设甲、乙、丙3名同学水平相当，被此间胜、负、平的概率均为}，丁同 学与任意一名同学比赛时胜、 、平的概率分别为273，每场比赛结果相互独 第一轮 甲一乙 丙一丁 第二轮 甲一丙 乙-寸 第三轮 甲一丁 乙一丙 (1)求丁同学的总分为5分的概率： (2)己知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学获 奖的概率 18.（本小题满分13分) 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F分别为AD,BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使 二面角A-EF-C的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O,求OA的长，并证明直线OD/1平面 EMC: 第3页 5 2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°，若存在，求此时二面角M-EC-F 余弦值，若不存在，说明理由 .(本小题满分15分) 平面直角坐标系x0y中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆0：x2+y=4交于点A,B, 圆M:(x-2)}2+(y-1)2=1交于点C,D. G H I)若直线AB的斜率为√5，求弦CD的长： :)已知圆O交y轴于G,H两点，当直线AB的斜率存在时，求直线AH,BG交点2的轨迹方程： )若CD的中点为E,求△ABE面积的取值范围. 6高二期中考试数学学科答案 一、单选 1-8:DCDCA CBD 二、多选题 9 ABD 10 ABD 11AD 三、填空题 12}136 14 1070 3 33 四、解答题 15.解(1)①圆C:(x-2)2+(y+2)=4的圆心C(2,-2),半径r=2, 当直线1的斜率不存在时，1的方程为x=0,易知此直线与圆C相切，符合题意； ②当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=x+2,即kc-y+2=0. 因为直线1与圆C相切，所以圆心到直线的距离d=2, 则2= 2k+2+2 V1+k2 解得k=-3 质以直线1的方程为yx+2,即3x+4y-8=0 综上，直线1的方程为x=0或3x+4y-8=0. (2)由题意，得AB=V5,直线AB的方程为2x-y+2=0, 则圆心C(2,-2)到直线AB的距离d=4+2+2_85 55 点P到直线AB的距离的最大值为8V5 +2, △PMB的面积的最大值为)×V5×8W5 5+2=4W5. 16.解(1)由PA⊥平面ABCD得PA⊥AB,PA⊥AD,所以以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所 在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 第1页 E B 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,2,0),C(1,1,0) 因为T是CD的中点，点M是m的中点，所以7行0，M》 设平百的法向量为万=(k八，西=0,0)，孤-后子》 i·AB=0 [x=0 则 ，得131 i:AM=0’4x+4+2 y+z=0 取y=4,则z=-6,得平面ABM的一个法向量为=(0,4，-6)， 而AP=(0,0,1),所以点P到平面ABM的距离为 AP66=3M3 |V16+3621313 (2)设AT=元AC+(1-元)AD=(亿，，0H(0,2-22,0,2-元，0)，注意到A(0,0,0), 所以T(元，2-，0)， 所以PT=(,2-,-1), 设PM=PT=4(,2-,-I)）=(以，2-以，-4)，注意到P(0,0,1), 所以M(2,2u-,1-4), 因为A(0,0,0),B(1,0,0),所以AB=(1,0,0),AM=（22-21-4), 若PT⊥平面ABM, PT.AB=九=0 =0 则当且仅当 PT·A=w2+2-A+4-1=0'即当且仅当 1, 4=5 共2页 24 此时M0,55 综上所达，当且仅当T.D重合，此时存在PMPT,使PT上平面AM。 17.解(1)丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第k(k=1,2,3)轮比赛丁同学胜、平的事件分别为A,B, 丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M, 则P(M)=P(4,BB3)+P(BAB,HPB,B2A3上3x 1211 3/ 618 18. 即丁同学的总分为5分的概率 (2)由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局， 则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜， 故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分， 若甲同学获奖，则甲最终排名为第二名. ①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何， 甲同学的总分为6分，排第二名，可以获奖，此时的概率P×? ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局， 第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名， 可以续奖，此时的感幸月-方付》另 ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜， 第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名， 11.11 可以获奖，此时的概率P=二×二×二 33327 第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4 需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获奖， 第 综上，甲同学能获奖的减率P=R+B+月-R-日+分+句动 18.解(1)E,F分别为AD,BC中点， ∴.EFI∥ABI/CD,且AE=FB=2, 又M为AB中点，且AB⊥OE,AB⊥BF, 易得△OAM兰△FBM→OA=FB=AE=2, 连接CE,DF,交于点N,连接MN, M B 由题设，易知四边形CDEF为平行四边形， .N为DF中点， :M为OF中点， ∴.MN IIOD,又MNc平面EMC,ODd平面EMC, ∴.OD∥平面EMC; (2).·EF/IAB/CD, ∴.EF⊥DE,EF⊥AE, 又DEC平面CEF,AEC平面AEF, ∴.∠DEA即为二面角A-EF-C的平面角， ∴.∠DEA=60°； 取AE,BF中点O,P,连接OD,OP,如图， 2页共2页 B “∠DEA=60,OE=DE=l, .OD2=4+1-4c0s60=3, ..OD2+OE2 DE2, .OD⊥AE, .OP//EF, .∴.OP⊥DE,OP⊥AE,又AE,DEC平面AED,AE∩DE=E, .OP⊥平面AED, ,OD,AEC平面AED, .OD⊥OP,AE⊥OP,OD⊥AE 则以O为坐标原点，OA,OP,OD方向为x,y,2轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， Z D B 则D0,0,5),E(-1,0,0),F(-1,4,0),C0,4,3, 设M(1,m,0)(0≤m≤4)，则DE=（-1,0,-5),EM=(2,m,0),EC=(1,4,5), 设平面EMC的法向量n1=(x1,y1,z1),则 EM·n=2x,+%,=0 En=x+4y,+V3z,=01 令乃=2，则x=-m,名=m-8 m,2,8 .直线DE与平面EMC所成的角为60°， .(. DE.n 8 √5 2m+4+m- 2，解得m=1或m=3, 3 ∴.存在点M,当AM=1或AM=3时，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°； 设平面CEF的法向量乃=(x2y,2),又EC=(1,4,V5),FC=(1,0,3), ECm,=x2+4为+V3z2=0 FC2,=x+V3z2=0 令32=1，则x=3,为=0，乃=（50,1： 3m2动小5 45 3 1 2x84 5 45 当=，-动水计同同 h1n2 3 2x8V3】 3 综上所述：二面角M-EC-F的余弦值为4 19.解(1)因为直线AB斜率为√15 直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD:y=- -x+1,M(2,1) 15 215 ∴.M点到直线CD的距离d= 15=1 12' W+ 15 .CD=21- :V3. (2)依题意G(0,2)H(0,-2).设A(x,)B(x2,2) 设直线AB的方程为y=x+1,联立圆O方程得 第3页共2页 (k2+1)x2+2x-3=0 -2k 3 x+x=2+x2+ 因为Km=当+2，K0=么2 X2 直线AH方程为y+2=上+2 x① 直线BG方程为y-2=上-2x② X2 得y+2=出+2-+3=3 y-2(0y2-2)x, kxx2-x1 所以直线AH,BG交点Q的轨迹方程为y=4(x≠0) (3)当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S=2×4×2=4: 1 当直线AB的斜率存在时，设为k,则直线AB:y=kx十1，k0,直线CD:y=一 2+1- 由 <1得k2>3,所以k∈(-0，-v3)U(3,+0). 因为 + 1 =4,所以AB=2 4k2+3 k2+1 因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d= 2k+1-1_2k V1+k2 +2, 2AB-d-2 4K2+3)k2 所以△ABE的面积S= (1+2)2 -614:则s=3F西-30 .t>4 :0<< 综上，△ABE面积的取值范围是 5 第4页共2页