上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市川沙中学2024学年第一学期高二期中考试数学试卷 命题：廖稀武 审题：石燕丽 一、填空 1. 正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为___________ 2. 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是______ 3. 已知，，则直线m、n的位置关系为_______________________（填平行、相交、异面） 4. 如图，三棱柱中，若，则___________（用表示） 5. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 6. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为______ 7. 如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则______ 8. 如图,在棱长为1的正方体中，点P在截面上，则线段AP的最小值等于________. 9. 在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则______ 10. 如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为___________ 11. 正四棱锥的底面边长为4，高为3，E是边的中点，P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为___________ 12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为___________公里 二、选择 13. 下列命题是假命题的是（ ） A. 棱柱的所有侧面都是平行四边形 B. 将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C. 正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D. 将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 14. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 16. 空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l与这三条直线所成角均为，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答（8分+8分+10分+12分+14分=52分） 17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． （1）这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ （2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 18. 如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，分别为的中点，F为弧的中点，G为弧的中点， （1）求直线与平面所成角的大小 （2）求异面直线与所成角的大小 19. 如图，三棱锥中，平面． （1）求证： （2）若三棱锥的体积为，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带长度的最小值． 20. 一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. （1）已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； （2）四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 21. 如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． （1）指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） （2）设直线与平面所成的角为，求的取值范围 （3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 上海市川沙中学2024学年第一学期高二期中考试数学试卷 命题：廖稀武 审题：石燕丽 一、填空 【1题答案】 【答案】12 【2题答案】 【答案】5 【3题答案】 【答案】平行或异面 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】12 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】5 【10题答案】 【答案】3 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】9 二、选择 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】D 三、解答（8分+8分+10分+12分+14分=52分） 【17题答案】 【答案】（1）17 （2）880元 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明：由题可知，平面，平面，所以， 因为,平面，平面， 所以平面，显然平面， 所以； （2）彩带长度的最小值为 【20题答案】 【答案】（1）； （2）（i）存在，和； （ii）. 【21题答案】 【答案】（1）与平面共面或平面 （2） （3）；-2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $