精品解析：广东省珠海市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期中监测数学试题

珠海市第十一中学教育集团 2024—2025学年第一学期期中质量监测初三年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程 ，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，有最大值 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 5. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 6. 某旅游景点2020年8月份共接待游客25万人次，2020年10月份共接待65万人次，设每月旅游人数的平均增长率为x，则可列方程（ ）． A. B. C. D. 7. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，二次函数 y1=﹣x2+4x 和一次函数 y2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x 的解集是（ ） A. x＜0 B. 0＜x＜4 C. 0＜x＜2 D. 2＜x＜4 10. 如图，在矩形中，E在边上，将沿折叠，使点A恰好落在矩形的对称中心O处，，则的长是（ ） A. B. C. 8 D. 12 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，则____________． 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 13. 若与是关于的方程的两根，则__________． 14. 已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线______． 15. 在等腰三角形ABC中，，，如果以AC的中点O为旋转中心，将旋转，点B落在处，则的长度为______ ． 16. 如图，二次函数的图像的对称轴是直线，有以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是__________（填序号） 三．解答题（每小题7分，共21分） 17. 解方程： 18. 如图，E，F分别在，上，，． （1）求证：． （2）若，直接写出与的周长之比． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为将绕着点O按顺时针方向旋转得到，请画出并写出的各顶点的坐标． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 阅读材料题： 我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：________________； （2）代数式有最________（填“大”或“小”）值为________； （3）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 21. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． （1）如图②，当为的平分线时，求此时t的值； （2）当旋转至的内部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 24. 如图，抛物线的图像与轴交于A，B两点，与轴交于点C，其中，B点坐标为，C点坐标为，点D是抛物线上一动点，点P是抛物线对称轴上一动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）动点D位于直线下方的抛物线上时，连接，，是否存在点D使得的面积最大，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）动点P在对称轴上何处时，使得为直角三角形，求出此时P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市第十一中学教育集团 2024—2025学年第一学期期中质量监测初三年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】、中含有一个未知数，最高次数为，不符合题意； 、中含有两个未知数，不符合题意； 、是一元二次方程，此选项说法正确，符合题意； 、中含有一个未知数，最高次数为，不符合题意； 故选：． 2. 用配方法解方程 ，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵x2-6x+1=0， ∴x2-6x=-1， ∴x2-6x+9=-1+9， ∴（x-3）2=8． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握一元二次方程-配方法的步骤． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】因为， 所以， 所以方程有两个不相等的两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键． 4. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，有最大值 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 二次函数 的顶点为：，对称轴为直线，故C，D选项错误不符合题意， ∵， ∴当时，有最小值，开口向上，故B选项错误，不符合题意，A选项正确，符合题意， 故选：A． 5. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 6. 某旅游景点2020年8月份共接待游客25万人次，2020年10月份共接待65万人次，设每月旅游人数的平均增长率为x，则可列方程（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题依题意可知四月份的人数为：，则五月份的人数为：，列方程即可得出答案． 【详解】解：设每月的平均增长率为x，依题意得： ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用，减少用． 7. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 8. 已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，和是它们的对应高线，，，， ∴两三角形的相似比为：， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数 y1=﹣x2+4x 和一次函数 y2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x 的解集是（ ） A. x＜0 B. 0＜x＜4 C. 0＜x＜2 D. 2＜x＜4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式-x2+4x＞2x的解集． 【详解】解：∵二次函数y1=-x2+4x和一次函数y2=2x的交点的横坐标为0和2． ∴不等式-x2+4x＞2x的解集为：0＜x＜2 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键． 10. 如图，在矩形中，E在边上，将沿折叠，使点A恰好落在矩形的对称中心O处，，则的长是（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD，首先说明B、O、D共线，由折叠的性质得出OB=AB=4，进而求出BD，利用勾股定理即可求出BC的长． 【详解】解：如图，连接OD， ∵点O是矩形ABCD的对称中心， ∴B、O、D共线，∠C=90°， ∵△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，AB=4， ∴BD=2OB=2AB=2CD=8， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查图形的折叠问题，中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键利用折叠的性质和矩形的性质求出矩形对角线的长度． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，则____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 13. 若与是关于的方程的两根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，涉及一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到，解方程即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：与是关于的方程的两根， ，解得， 故答案为：． 14. 已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴的交点求对称轴是解题的关键．若抛物线与轴的交点为和，则其对称轴为直线，即可得解． 【详解】解：依题意，抛物线与轴的交点为和， 对称轴为直线，即， 故答案为：． 15. 在等腰三角形ABC中，，，如果以AC的中点O为旋转中心，将旋转，点B落在处，则的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据B与B′关于O对称，即可求得B′，从而得到旋转后的三角形，在直角△OBC中利用勾股定理即可求得OB的长度，根据旋转的性质得BB′=2OB，即可得出答案． 【详解】如图所示： 在直角△OBC中，OC=AC=BC=1cm， 根据勾股定理，得OB= =cm， 根据旋转的性质，得BB′=2OB=cm． 故答案为cm． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理等知识．旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．正确理解BB′=2OB是解本题的关键． 16. 如图，二次函数的图像的对称轴是直线，有以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是__________（填序号） 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】由图像可知开口向下，与y轴的交点位于1和2之间，从而得出，．结合对称轴为和对称轴公式可得出，，即可判断①②；又可知，即得出，根据不等式的性质可得出，根据a和b的关系即得出可判断③；根据图像可知当时，，结合a和b的关系即得出可判断④． 【详解】解：由图像可知抛物线开口向下，与y轴的交点位于x轴上方， ∴，． ∵对称轴是直线， ∴， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 由图像可知抛物线与y轴的交点位于1和2之间， ∴． ∵， ∴， 两边都乘以，得：． ∵， ∴， ∴，即， ∴，故③错误； 由图像可知当时，， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三．解答题（每小题7分，共21分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 如图，E，F分别在，上，，． （1）求证：． （2）若，直接写出与的周长之比． 【答案】（1） ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，得到即可推出结论； （2）先证明，然后根据相似三角形的性质即可得出周长比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行公理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行公理和相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为将绕着点O按顺时针方向旋转得到，请画出并写出的各顶点的坐标． 【答案】 如图，为所求作的三角形， 、． 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质画出即可，进而根据各点在坐标系中的位置写出点、、的坐标即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是作图—旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 阅读材料题： 我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：________________； （2）代数式有最________（填“大”或“小”）值为________； （3）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）2，1； （2）大，； （3）长为米，宽为米时，面积最大为． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式同时加上一次项系数一半平方即可得到答案； （2）将原式变形配方，再根据完全平方非负性即可得到答案； （3）设花圃长为x，表示出宽，根据面积公式列出式子配方即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 故答案为：2，1； 【小问2详解】 解：原式， ∵， ∴， ∴， 故答案为：大，， 【小问3详解】 解：设花圃长为x米，面积为S，则宽为米，由题意可得， ， ∵ ∴， ∴， ∴当时，面积最大为， 故应该长为米，宽为米时，面积最大为． 【点睛】本题考查代数式完全平方配方及最值，解题的关键是读懂题意配方． 21. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ． 【小问2详解】 解：根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 22. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1） （2）如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． （1）如图②，当为的平分线时，求此时t的值； （2）当旋转至的内部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 【答案】（1）3 （2） （3）15或24或27或33 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找相等关系是解题的关键． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得t的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【小问1详解】 解：如图2，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：； 理由是：由旋转得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图4，， ； ②如图5，当时， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图6，则， ∴， ∴； ④当时，如图7，， ∴； 综上，t的值是15或27或33或24秒． 24. 如图，抛物线的图像与轴交于A，B两点，与轴交于点C，其中，B点坐标为，C点坐标为，点D是抛物线上一动点，点P是抛物线对称轴上一动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）动点D位于直线下方的抛物线上时，连接，，是否存在点D使得的面积最大，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）动点P在对称轴上何处时，使得为直角三角形，求出此时P点坐标． 【答案】（1） （2）存在． （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把点，两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论； （2）存在．设，连接．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题； （3）设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点．则，，分三种情形：，，，分别求解可得结论． 【小问1详解】 解： 抛物线的图象经过点，点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在． 理由：如图，连接，设． 令，则， 解得或2， ，， ， ， ， ，， 时，的面积最大，最大值为4，此时； 【小问3详解】 解：如图，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点． 抛物线的对称轴为直线， ．，， ，， ， 当时，，， 是等腰直角三角形， ， ， 当时，， 是等腰直角三角形， ， 当时，设，设的中点为，连接，则，过点作于点， ，， ， ， 解得或， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $