三角函数限时练-2025届高三数学一轮复习

三角函数限时练 一、单选题 1．要得到函数的图象，只需把函数的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．设，且，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（    ） A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线 C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线 5．已知函数，，当时，方程根的个数为（    ） A． B． C． D． 6． A． B． C． D． 7．下列选项中，满足的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数图象的两个对称中心为，，则的解析式可以为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数 若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C．D． 10．下列命题为真命题的是（    ） A．若幂函数的图像过点，则 B．函数的定义域为，则的定义域为 C．，若是奇函数，是偶函数，则 D．函数的零点所在区间可以是 11．求函数可能取值，其中  （    ） A．16 B． C．10 D．-10 三、填空题 12．设常数a∈（0，1），已知f（x）=loga（x2﹣2x+6）是区间（m，m+）上的增函数，则最大负整数m的值为 ． 13．―2023°的终边在第 象限. 14．已知角终边落在点上，则的值为 . 四、解答题 15．已知函数． (1)若，求证：函数的图象关于点中心对称； (2)若，且关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 16．已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在（2）的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 17．（1）求证：的反函数是． （2）若的定义域为，，，，求证：为奇函数． 18．已知，且.求证：. 19．(1)试证明差角的余弦公式：； (2)利用公式推导： ①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式； ②倍角公式，，. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C A C C ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】化简函数的解析式为，利用三角函数图象的平移规律可得出结论. 【详解】， 只需把的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，要注意将两个函数化为同名函数，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】应用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为形式，然后由正弦函数性质得值域． 【详解】由已知， ∵，∴，∴． 故选：C． 【点睛】本题考查求三角函数的值域，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的性质，解题关键是把函数化为形式． 3．D 【分析】根据的图象，结合已知条件，即可容易比较大小. 【详解】由图象可知，且成立， 只需且，∴， ∴，， 又，∴， 即 故选：D. 【点睛】本题考查指数函数图象的应用，属综合基础题. 4．A 【分析】依题意可得，，整理得，，再根据函数的变换规则判断可得； 【详解】解：依题意可得拟合函数为，， 即，， 由向左平移个单位，再向上平移个单位得到，， 因为在上单调递增， 所以拟合函数图象是类似递增的双曲线； 故选：A 5．C 【分析】先求出使的的范围，结合二次函数的值域及性质即可得. 【详解】令，则， 由，则，有， 故，解得，即或， ，则， 令，则对任意的，都有两个不同的使其成立， 对任意的，无解，故方程的根的个数为2. 故选：C. 6．A 【分析】根据两角差的正切公式得到结果. 【详解】. 故答案为A. 【点睛】本题考查了正切公式中的两角差的公式的应用，也涉及了特殊角的三角函数的应用，属于基础题． 7．C 【分析】先判断出，不满足；然后利用角度制与弧度制的互化，判断出正确． 【详解】解：对于选项，有， 对于，有； 对于，因为，所以满足， 对于，因为，满足． 故选：． 8．C 【分析】利用三角函数的周期性质得到排除选项AB,再利用函数对称性排除选项D得解. 【详解】设的最小正周期为， 则，， 则，排除A，B. 对于D,而的图象不关于点对称，排除D. 故选C. 【点睛】熟练掌握正弦型三角函数的性质是解题关键. 9．ACD 【分析】根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，把方程有四个不同的实数解转化为函数的图象与直线有4个公共点求解作答. 【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 作出函数的部分图象，如图， 方程有四个不同的实数解，等价于函数的图象与直线有4个公共点， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 即方程有四个不同的实数解，A正确； 因为二次函数图象对称轴为，因此，B不正确； 当时，，由，，得，因此，C正确； 当时，，由，得，解得， 且，则，有，所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 10．ACD 【分析】令代入求出，即可判断A，根据抽象函数的定义域求法判断B，求出函数的周期性，利用周期性计算C，根据零点存在性定理判断D. 【详解】对于A：令，则，所以，即，故A正确； 对于B：因为函数的定义域为，则， 令，解得，所以的定义域为，故B错误； 对于C：因为是定义在上的奇函数，所以且， 又是偶函数，所以，所以， 则，即， 即，所以是以为周期的周期函数， 所以，故C正确； 对于D：函数是定义域为上的连续函数， 又，，所以的零点所在区间可以是，故D正确； 故选：ACD 11．ABD 【分析】讨论的象限，化简函数解析式即可. 【详解】由函数有意义可得， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故选：ABD. 12．﹣2 【详解】试题分析：根据对数函数的单调性结合函数单调性的关系，转化为一元二次函数的性质，进行求解即可． 解：设t=x2﹣2x+6，则t=（x﹣1）2+5＞0，则函数的定义域为（﹣∞，+∞）， ∵a∈（0，1）， ∴y=logat为减函数， 若f（x）=loga（x2﹣2x+6）是区间（m，m+）上的增函数， 则等价为t=x2﹣2x+6是区间（m，m+）上的减函数， 则m+≤1， 即m≤1﹣=﹣， ∵m是整数， ∴最大的整数m=﹣2， 故答案为﹣2 考点：复合函数的单调性；对数函数的图象与性质． 13．二 【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限. 【详解】因为，而， 所以的终边在第二象限. 故答案为：二. 14．2 【分析】由角终边落在点上，则可求出，代入即可求出答案. 【详解】∵角α终边落在点上， ∴， 则. 故答案为：2 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出，证明出函数的图象关于点中心对称； （2）将代入不等式，得到，令，则，换元后得到，由函数单调性得到，从而求出的取值范围． 【详解】（1）由题意得，， ， 故函数的图象关于点中心对称． （2）由题意得，， 则在上恒成立， 即，即 令，则． 在上恒成立， ∴ 设． 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 实数的取值范围为． 16．(1)证明见解析 (2)a＝ (3) 【分析】（1）利用定义证明即可； （2）由求出，再用定义验证即可； （3）根据指数函数的单调性证明f(x)为增函数，再求值域. 【详解】（1）证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. ∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数． （2）∵f(x)在x∈R上为奇函数，∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝. ，即函数f(x)在x∈R上为奇函数 （3）由（2）知，f(x)＝－，由（1）知，f(x)为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝－＝，∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 17．（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）根据反函数的定义即可求解， （2）根据反函数的性质，结合奇偶性的定义即可求解. 【详解】（1）由得，， 所以的反函数是． （2）因为，所以， 又，， 所以， 又的定义域为，所以为奇函数． 18．证明见解析 【解析】令，得，，，利用等式计算可得，进而再令，，，最后代入证明即可. 【详解】令，则，，， . ，. ，，， . . 【点睛】本题考查分数指数幂运算的灵活运用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用. 19．（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【分析】在单位圆里面证明，然后根据诱导公式即可证明和，利用正弦余弦和正切的关系即可证明；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式. 【详解】(1)不妨令. 如图， 设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，. 连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴. 根据两点间的距离公式，得： ， 化简得： 当时，上式仍然成立. ∴，对于任意角有：. (2)①公式的推导： . 公式的推导： 正切公式的推导： ②公式的推导： 由①知，. 公式的推导： 由①知，. 公式的推导： 由①知，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$