精品解析：上海市闵行区莘松中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月）

2024-2025学年上海市闵行区莘松中学九年级（上）月考 数学试卷（9月份） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知，且线段是、的比例中项，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，比例中项的定义，根据比例的性质得到，再由比例中项的定义得到，据此求出，则． 【详解】解：， ， 是、的比例中项， ， ， ， ，即， 故选：C． 2. 下列四组数中，不能组成比例的是（ ） A. 0.2，0.3，0.4，0.6 B. 2，4，6，8 C. ，，5，2 D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．根据比例性质，只需判断四个数中，最小的数与最大的数相乘的积是否等于另外两数相乘的积，若相等，就能组成比例，否则不能组成比例． 【详解】解：A．由于，即，能组成比例，故选项A不符合题意； B．在2，4，6，8中，不存在两个数的积等于另两个数的积，能组成比例，故选项B符合题意； C．由于，即，能组成比例，故选项C不符合题意； D．由于，能组成比例，故选项D不符合题意； 故选：B． 3. 抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 4. 如图，已知，，那么下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，先证明，，四边形是四边形，以及由平行线分线段成比例定理得到，进而可得，，，，据此可得答案． 【详解】解：，， ，，四边形是四边形，， ，，， ，，，． 故选：C． 5. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【详解】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此， ∵截得的三角形与△ABC相似， ∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意 ∴过点M作直线l共有三条． 故选C． 6. 如图，平行四边形的对角线、相交于，如果△△，那么的比值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质，解题关键是根据相似三角形的性质列出比例式； 根据平行四边形对角线互相平分得出，再根据相似三角形的性质列出比例式即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， △△， ， ， ， ， ； 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，由得，代入计算即可． 【详解】解：由，得， ∴原式 ， 故答案为：． 8. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算；若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比为，据此求解即可． 【详解】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 9. 上海南站到杭州东站的距离约为千米，在比例尺为的地图上，这两地的图上距离为_____厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握比例尺的定义．用实际距离乘以比例尺即可求解． 【详解】解：， 这两地的图上距离为：， 故答案为：． 10. 如果抛物线y＝﹣m（x+1）2﹣m+1的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的开口方向 _____． 【答案】向上 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标求出m的值，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，2）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的开口向上， 故答案为：向上． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于能够根据题意求出m的值． 11. 已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由题意得抛物线的对称轴，进而推出，，据此即可求解 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 12. 在中，若厘米，厘米，则这个三角形的重心到的距离是___厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，以及勾股定理等知识点，过点作于，可得厘米；设高为厘米，根据勾股定理，可求出厘米，结合重心的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 厘米， 是等腰三角形， 三角形的重心在上， 设高为厘米， ∵， ∴厘米， 根据勾股定理，， 则， 厘米， 根据三角形的重心性质得，到的距离是：（厘米）， 故答案为：2． 13. 如图，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知平行线得到，然后带入求值即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键． 14. 如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，折痕的长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形、勾股定理和折叠问题，根据折叠性质可得，利用求出，再在中，由，求出，同理也可求得，由此即可解题. 【详解】解：连接． 点与点重合，折痕为，即垂直平分， ，，． 又四边形为矩形， ，，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得 ，且为中点， ，． ， ． 同理． 即． 故答案为：. 15. 已知：在中，，为斜边上的高，如果，，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等积法求高，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，在△中，，，，延长至点，使相似于，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据，，可知只存在这种情况，据此根据相似三角形对应边成比例得到，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴当相似于时，只存在这种情况， ， ， ∴， ∴， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 故答案为：12． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，，和相似，共6个． 故答案为：6． 18. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B1、C1，如果点B1落在射线BD上，那么CC1的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据旋转的性质推出AB1∥BC，进而可得△AB1D∽△CBD，然后根据相似三角形的性质求出AD、CD的长，于是可求，再利用△ACC1∽△ABB1即可求出结果． 【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5， ∵将△ABC绕着点A旋转后得△AB1C1， ∴AC1＝AC＝4，AB1＝AB＝5，∠CAC1＝∠BAB1， ∴∠AB1B＝∠ABB1， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABB1＝∠CBB1， ∴∠AB1B＝∠CBB1， ∴AB1∥BC， ∴∠B1AC＝∠ACB＝90°，∴△AB1D∽△CBD， ∴，∴，， ∴，，∴， ∵∠C1AC＝∠B1AB，AC＝AC1，AB＝AB1，∴△ACC1∽△ABB1， ∴，∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质和勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 已知：如图，点D、F在ABC的边AB上，点E在边AC上，且DEBC． （1）若AB＝6，BC＝4，BD＝2，求DE的长； （2）若，求证：EFDC． 【答案】（1）； （2）， ， ， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据，可得，根据比例式代入求值，进而可得； （2）根据（1）的结论可得，结合已知条件即可证明，进而可得，进而判断． 【详解】， ， ， ， 即， 解得； （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 已知：如图，在中，，平分，且．求证：． 【答案】 证明：， ， 又， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质及平分线性质等，熟练掌握相关性质是解题关键． 先根据，判定，再根据相似三角形的性质，得出 ，再根据平分 ，得到，进而得到 ，最后根据 ，得出 即可． 【详解】略 21. 如图，已知中，，，边的垂直平分线，交的延长线于点D，交边于点E． （1）求的长； （2）求点C到直线的距离． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点F，由等腰三角形的性质可得，，求得，再根据垂直平分线的性质可得，，从而可得，即，求得，即可求解； （2）过点C作于点H，证明，根据平行线段成比例定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点F， ∵，，， ∴，， 在中，， ∵垂直平分， ∴，， 在中，，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点C作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G． （1）求的值. （2）求的值． 【答案】（1）=；（2）=． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠ABG=∠DCB，利用ASA可证明△CDB≌△BAG，可得AG=BD，可得，由AG⊥AB可得AG//BC，即可证明△AGF∽△CBF，根据相似三角形的性质即可求出的值，进而可得的值；（2）由△AGF∽△CBF，可得=，由=可得=，根据S△ABC=S△CBF+S△AFB即可得的值. 【详解】（1）∵D为AB中点，AB=BC， ∴=， ∵BG⊥CD， ∴∠BED=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠CDB+∠DCB=90°，∠CDB+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠DCB， ∵GA⊥AB， ∴∠GAB=∠ABC=90°， 在△CDB和△BAG中，， ∴△CDB≌△BAG， ∴AG=BD， ∴==， ∵AG⊥AB，CB⊥AB， ∴AG∥BC， ∴△AGF∽△CBF， ∴==， ∵AC=AF+FC， ∴=． （2）∵△AGF∽△CBF，=， ∴=， ∵==， ∴=， ∵S△ABC=S△CBF+S△AFB， ∴=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 23. 如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED． (1)求证：DE⊥EF； (2)求证：BC2＝2DF•BF． 【答案】 (1)证明：∵AF⊥BC于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝FE， ∴∠EAF＝∠AFE， ∵AE2＝EG•ED， ∴， ∵∠AEG＝∠DEA， ∴△AEG∽△DEA， ∴∠EAG＝∠ADG， ∵∠AGD＝∠FGE， ∴∠DAG＝∠FEG， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AFB＝90°， ∴∠FEG＝90°， ∴DE⊥EF； (2)证明：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED， ∴FE2＝EG•ED， ∴， ∵∠FEG＝∠DEF， ∴△FEG∽△DEF， ∴∠EFG＝∠EDF， ∴∠BAF＝∠EDF， ∵∠DEF＝∠AFB＝90°， ∴△ABF∽△DFE， ∴， ∵四边形ACBD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠AFB＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴FE＝AB＝BC， ∴＝， ∴BC2＝2DF•BF． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG=∠ADG，求得∠DAG=∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB=90°，于是得到结论； （2）由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】(1)略； (2)略． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； （3）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程即可得答案； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； 【小问2详解】 ， ， 点在轴上方， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ， 得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 25. 如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点． （1）如图1，连接，求证：，并写出的值； （2），如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当为边的三等分点时，求的长度． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 又， ，， ， 又， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，，结合可推出 ，即可求证； （2）作于，可得；根据可推出，进而得，结合即可求解； （3）分类讨论当时，当时，两种情况，利用平行线分线段成比例即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，作于， 则， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时， 四边形是正方形， ∴ ， ， ，则， ， ∵ ， ， ， 当时， ， ， ，则， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线分线段成比例等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市闵行区莘松中学九年级（上）月考 数学试卷（9月份） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知，且线段是、的比例中项，那么为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，不能组成比例的是（ ） A. 0.2，0.3，0.4，0.6 B. 2，4，6，8 C. ，，5，2 D. ，，， 3. 抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，那么下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 如图，平行四边形的对角线、相交于，如果△△，那么的比值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么____． 8. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 9. 上海南站到杭州东站的距离约为千米，在比例尺为的地图上，这两地的图上距离为_____厘米． 10. 如果抛物线y＝﹣m（x+1）2﹣m+1的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的开口方向 _____． 11. 已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． 12. 在中，若厘米，厘米，则这个三角形的重心到的距离是___厘米． 13. 如图，，，，，则______． 14. 如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，折痕的长______． 15. 已知：在中，，为斜边上的高，如果，，那么____． 16. 如图，在△中，，，，延长至点，使相似于，则_____． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 18. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B1、C1，如果点B1落在射线BD上，那么CC1的长度为_____． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 已知：如图，点D、F在ABC的边AB上，点E在边AC上，且DEBC． （1）若AB＝6，BC＝4，BD＝2，求DE的长； （2）若，求证：EFDC． 20. 已知：如图，在中，，平分，且．求证：． 21. 如图，已知中，，，边的垂直平分线，交的延长线于点D，交边于点E． （1）求的长； （2）求点C到直线的距离． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G． （1）求的值. （2）求的值． 23. 如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED． (1)求证：DE⊥EF； (2)求证：BC2＝2DF•BF． 24. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； （3）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 25. 如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点． （1）如图1，连接，求证：，并写出的值； （2），如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当为边的三等分点时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $