湖南省永州市祁阳市祁阳文昌中学2024-2025学年九年级上学期第一阶段核心素养调研数学试题

第 1页（共 4页） 祁阳市文昌中学2024 年下学期第一阶段核心素养调研 九年级数学（试题卷） （ 时量：120 分钟 分 值：120 分 ） 一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．x2 - 2 � =2 B．a2+bx+c＝0 C．x2+4x+3＝0 D．x2+2xy+y2＝0． 2．如果点（3，﹣4）在反比例函数 y＝ � � 的 图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ） A．（3，4） B ．（﹣2，﹣6） C ．（﹣2，6） D ．（﹣3，﹣4） 3． a 、b、c、d是成比例线段，其中 a＝3cm，b＝6cm，c＝4cm，则线段 d的长可能为（ ） A．3cm B ．4cm C ．5cm D ．8cm 4．函数 y＝ax﹣a与 y= � � （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B ． C ． D ． 5．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1）（﹣2，3）（1，y2）（2，y3），则 y1，y2，y3的 大小关系为（ ） A．y2＜y1＜y3 B ．y3＜y2＜y1 C ．y2＜y3＜y1 D ．y1＜y3＜y2 6．如图，点 A是反比例函数 y＝ （x＜0）的图象上的一点，过点 A作平行四边形 ABCD，使点 B、C 在 x轴上，点 D在 y轴上．已知平行四边形 ABCD的面积为 6， 则 k的值为（ ） A．6 B ．﹣6 C．3 D ．﹣3 7．如图，P是叶脉 AB的黄金分割点（PA＞PB），则 ＝ （ ） A． B． C． D． 第 2页（共 4页） 8．已知方程 x2﹣6x+n＝0可以配方成（x﹣m）2＝7，则（m﹣n）2023的值为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．22023 9．对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若 a+b+c＝0，则 b2﹣4ac≥0； ②若方程 ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若 c是方程 ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有 ac+b+1＝0成立； ④若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数 m、n（m≠n），使得 am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正确的（ ） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 10．反比例函数 y＝ （a＞0，a为常数）和 y＝ 在第一象限内的图象如图所示，点 M在 y＝ 的图象上， MC⊥x轴于点 C，交 y＝ 的图象于点 A；MD⊥y轴于点 D，交 y＝ 的图象于点 B，当点 M在 y＝ 的 图象上运动时，以下结论： ①S△ODB＝S△OCA； ②四边形 OAMB的面积不变； ③当点 A是 MC的中点时，则点 B是 MD的中点． 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11．若 3a﹣7b＝0，则 ＝ ． 12．反比例函数 y＝ 的图象在每个象限内的函数值 y随 x的增大而减小，则 k的取值范围是 ． 13．已知 AB＝4，点 C在线段 AB上，AC是 AB，BC的比例中项，则 AC的长 ． 14．一个三角形的两边长分别为 3和 6，第三边长是方程 x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 ． 15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 225个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给了 人． 16．对于实数 a，b，定义运算“*”：a*b＝ ．例如 4*2，因为 4＞2，所以 4*2＝42﹣4×2 ＝8．若 x1，x2是一元二次方程 x2﹣5x+6＝0的两个根，则 x1*x2＝ ． 17．如图，AD∥EF∥BC， ，DF＝4，则 DC＝ ． 第 3页（共 4页） 18. 如图，在反比例函数 的图象上，有点 P1，P2，P3，P4，…， Pn，…，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点 作 x轴与 y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1， S2，S3，S4，…，Sn，…，则 S1+S2+S3+•••+S2024的结果为 ． 三．解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．（6分）解方程：（1）3x2﹣1＝4x； （2）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）+6＝0． 20．（6分）已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论 m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为 x1，x2，且满足 + ﹣x1x2＝19，求 m的值． 21．（8 分）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔 在某电商平台 8月份的销售量是 5万件，10月份的销售量是 7.2万件． （1）若该平台 8月份到 10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件 40元，若售价为每件 80元，每天能销 售 20件，售价每降价 0.5元，每天可多售出 2 件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少 库存，若使销售该公仔每天获利 1400元，则售价应降低多少元？ 22．（8分）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3． （1）求 EC的值； （2）求证：AD•AG＝AF•AB． 23.（9分）在长方形 ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点 P从点 A开始沿边 AB向终点 B以 1cm/s的速度 移动，与此同时，点 Q从点 B开始沿边 BC向终点 C以 2cm/s的速度移动．如果 P、Q分别从 A、B同 时出发，当点 Q运动到点 C时，两点停止运动．设运动时间为 t秒． （1）当 t为何值时，PQ的长度等于 5cm？ （2）是否存在 t的值，使得五边形 APQCD的面积等于 26cm2？ 若存在，请求出此时 t的值；若不存在，请说明理由． 第 4页（共 4页） 24．（9分）第 135届春季广交会于 2024年 4月 15日﹣5月 5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用 5万元 研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为 3元/件，在销售过程中 发现：销售量 y（万件）与销售价格 x（元/件）的关系如图所示，其中 AB为反比例函数图象的一部分， BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为 W（万元）． （1）求出 y（万件）与销售价格 x（元/件）的函数解析式； （2）求出这种文创产品的利润 W（万元）与 x（元/件）的 函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 25．（10分）如图，在直角坐标系中，直线 y= 3 1  X与反比例函数 的图象交于 A（m，1）、B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出 的解集； （3）将直线 y= 3 1  X向上平移后与 y轴交于点 C，与双曲线在 第二象限内的部分交于点 D，如果△ABD的面积为 12， 求平移后的直线表达式． 26．（10分）若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0 )的两个实数根，且满足|x1−x2|=1，则此类方 程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2−4x+4=0______； ② 2x2−2 3x+1=0 ______；（填是或否） （2）已知关于 x 的方程 x2+2ax=0 是“差根方程”，求 a 的值； （3）若关于 x 的方程 ax2+bx+1=0 (a,b是常数，a>0 ) 是“差根方程”，请写出 a与 b之间的数量关 系式． ID:3391233 第 1 页 共 2 页 好分数官网：www.haofenshu.com 下载APP查分 关注成绩通知 2024年下学期第一阶段核心素养调研九年级数学（答题卷） 考号：班级：姓名： 座号： 注 意 事 项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 4. 必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。 5. 保持答卷清洁完整。 正确填涂 缺考标记 贴条形码区 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 第I卷 选择题 (共120分) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （1）3x 2 ﹣1＝4x； （2）（2x﹣3） 2 ﹣5（2x﹣3）+6＝0． 20 21 22 ID:3391233 第 2 页 共 2 页 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 23 24 25 26 （ 1 ） 第 1页（共 6页） 2024 年下学期第一阶段核心素养调研 九年级数学试卷（答案） （ 时量：120 分钟 分值：120 分 ） 一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D C B A B B D 二．填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11． 12． 13． 2 ﹣2 14． 16 15． 14 16. 17． 10 18． 三．解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．（6分）解方程：（1）3x2﹣1＝4x； （2）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）+6＝0． 【解答】 20．（6分） 【解答】 第 2页（共 6页） 21．（8分） 【解答】解：（1）设月平均增长率是 x， 依题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是 20%． （2）设售价应降低 y元，则每件的销售利润为（80﹣y﹣40）元，每天的销售量为（20+4y）件， 依题意得：（80﹣y﹣40）（20+4y）＝1400， 整理得：y2﹣35y+150＝0， 解得：y1＝5，y2＝30． 又∵要尽量减少库存， ∴y＝30． 答：售价应降低 30元． 22．（8分）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3． （1）求 EC的值； （2）求证：AD•AG＝AF•AB． 【解答】（1）解： ∵DE∥BC， ∴ ＝ ， 又 ＝ ，AE＝3， ∴ ＝ ， 解得 AC＝9， ∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6； （2）证明： ∵DE∥BC，EF∥CG， ∴ ＝ ＝ ， ∴AD•AG＝AF•AB 第 3页（共 6页） 23.（9分）在长方形 ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点 P从点 A开始沿边 AB向终点 B以 1cm/s的速度 移动，与此同时，点 Q从点 B开始沿边 BC向终点 C以 2cm/s的速度移动．如果 P、Q分别从 A、B同 时出发，当点 Q运动到点 C时，两点停止运动．设运动时间为 t秒． （1）当 t为何值时，PQ的长度等于 5cm？ （2）是否存在 t的值，使得五边形 APQCD的面积等于 26cm2？ 若存在，请求出此时 t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】 解：（1）∵P从点 A开始沿边 AB向终点 B以 1cm/s的速度移动， ∴AP＝tcm， ∵AB＝5cm， ∴PB＝（5﹣t）cm， 由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52， 解得：t1＝0，t2＝2； 当 t＝0秒或 2秒时，PQ的长度等于 5cm； ....................................4分 （2）存在；....................................1分 当 t＝1秒，能够使得五边形 APQCD的面积等于 26cm2． 理由如下： 长方形 ABCD的面积是：5×6＝30（cm2）， 使得五边形 APQCD的面积等于 26cm2，则△PBQ的面积为 30﹣26＝4（cm2）， （5﹣t）×2t× ＝4， 解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1． 即当 t＝1秒时，使得五边形 APQCD的面积等于 26cm2． ....................................4分 第 4页（共 6页） 24．（9 分）第 135 届春季广交会于 2024年 4 月 15 日﹣5月 5 日在琶洲广交会展馆举行．某公司用 5 万 元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为 3 元/件，在销售过程 中发现：销售量 y（万件）与销售价格 x（元/件）的关系如图所示，其中 AB为反比例函数图象的一部 分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为 W（万元）． （1）求出 y（万件）与销售价格 x（元/件）的函数解析式； （2）求出这种文创产品的利润 W（万元）与 x（元/件）的 函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 【解答】 解：（1）当 3≤x≤6时，设解析式为 y＝ ，将（3，10）代入得： k＝3×10＝30， ∴反比例函数解析式为 y＝ （3≤x≤6）； 当 6＜x≤11时，设解析式为 y＝mx+n，将点（6，5），（11，0）代入得： ，解得 ， ∴一次函数解析式为 y＝﹣x+11（6＜x≤11）． ∴y＝ ；..............................................................4分 （2）当 3≤x≤6时，W＝（x﹣3）y﹣5＝（x﹣3）• ﹣5＝25﹣ ， 此时，W随 x的增大而增大，当 x＝6时，W 最大＝10； 当 6＜x≤11时，W＝（x﹣3）y﹣5＝（x﹣3）（﹣x+11）﹣5＝﹣x2+14x﹣38＝﹣（x﹣7）2+11， 此时，当 x＝7时，W 最大＝11． 综上分析，当售价定 7元时，利润最大，是 11万元．....................................................5分 第 5页（共 6页） 25．（10分）如图，在直角坐标系中，直线 y= 3 1  X与反比例函数 的图象交于 A（m，1）、B两点． （1）求反比例函数的表达式；........................ 3 分 （2）根据图象直接写出 的解集；..................3 分 （3）将直线 y= 3 1  X向上平移后与 y轴交于点 C，与双曲线在 第二象限内的部分交于点 D，如果△ABD的面积为 12， 求平移后的直线表达式．.....................4分 【解答】 第 6页（共 6页） 26．（10分）若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0 )的两个实数根，且满足|x1−x2|=1，则此类方 程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2−4x+4=0___否___； ② 2x2−2 3x+1=0 __是____；（填是或否）........................4 分 （2）已知关于 x 的方程 x2+2ax=0 是“差根方程”，求 a 的值；........................3 分 （3）若关于 x 的方程 ax2+bx+1=0 (a,b 是常数，a>0 ) 是“差根方程”，请写出 a 与 b 之间的数 量关系式．........................3分 【解答】 解： （1）①x2−4x+4=0___否___； ② 2x2−2 3x+1=0 __是____； （2）x2+2ax＝0， 因式分解得：x（x+2a）＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2a， ∵关于 x的方程 x2+2ax＝0是“差根方程”， ∴2a＝±1，即 a＝± ； （3）设 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣ ，x1•x2＝ ， ∵关于 x的方程 ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴|x1﹣x2|＝ ＝1，即 ＝1， ∴b2＝a2+4a．