精品解析：山东省泰安市宁阳县第二十四中学（五四制）2024—-2025学年九年级上学期期中模拟数学试题

2024-2025学年九年级（上）数学期中模拟试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数（ ）的图像上有A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三个点，则下列各式中正确的是（　　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 5. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ） A. 4km B. 2km C. 2km D. （＋1）km 6. 下列关于抛物线的说法正确的是（　　） ①开口方向向上； ②对称轴是直线： ③当时，y随x的增大而减小； ④当或时，． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 7. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图1，在等腰中，，动点从点A出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若函数是反比例函数，则____． 12. 若，则的角度数为__________． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，无人机着陆后滑行___秒才能停下来． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为6，则k的值是______． 15. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是___________． 16. 如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是_____ ． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）请求出这个反比例函数的解析式； （2）蓄电池的电压是多少？ （3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 19. 某超市销售一种商品，成本每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，部分数据如表： 售价x(元/千克) 销售量y(千克) （1）求与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为元，则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 21. 如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， （1）求坡顶D到的距离. （2）求建筑物的高度．（参考数据：） 22. 已知二次函数y=-x2+2x+m． （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB与这个二次函数的解析式； （3）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？ 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； （3）如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级（上）数学期中模拟试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求锐角的正切值，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 3. 在函数（ ）的图像上有A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三个点，则下列各式中正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数（ ），当时，函数在第二象限，y随x增大而增大；当时，函数在第四象限，y随x增大而减小，比较函数大小得出结论． 【详解】如图， 函数（ ），当时，点A（1，）在第四象限， ； 当时，点B、点C在第二象限，函数值大于零，且y随x增大而增大， ； 综合以上信息可得： ． 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图像性质，牢记反比例函数图像特征是解题关键． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案． 【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键． 5. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ） A. 4km B. 2km C. 2km D. （＋1）km 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB，则AD=OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=2km. 考点：三角函数的应用 6. 下列关于抛物线的说法正确的是（　　） ①开口方向向上； ②对称轴是直线： ③当时，y随x的增大而减小； ④当或时，． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令，得出与轴的交点，根据函数图象即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小； 故①正确，②错误，③正确； 令，即， 解得：， 如图，当或时，，故④不正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 7. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点D，连接BD，如图，由题意：BD⊥AC，求出AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果． 【详解】解：取点D，连接BD，如图， 由题意：BD⊥AC， 由勾股定理得， AB=， BD=， sinA=， 故选B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，得，，根据二次函数的对称轴可得，从而即可得到一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ， 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图形、一次函数的图形、反比例函数的图形，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键． 9. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤． 【详解】解：由图得：，， 对称轴在轴右侧， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， ， ， 故②正确； 由图象得， 解得：， 抛物线与的另一个交点为， ， 即：， 故③正确； 设，则图象为过且垂直于轴的一条直线， 与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故④正确； 抛物线的对称轴是直线， 且， 当时， ， ， 故⑤正确； 综上所述：正确的有②③④⑤，共个； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质，能利用数形结合的思想解题是解题的关键． 10. 如图1，在等腰中，，动点从点A出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．设，分两种情况：①当点在上运动，即时，②当点运动到点时，点恰好运动到点，当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，分别求出函数关系式，根据时，，列出方程，求出，（舍去），得出的长是即可． 【详解】解：设． ①当点在上运动，即时，由题意知： ， ， ∵在等腰中，， ， ， ∴， ，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分； ②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图， 当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，， ， 由图2知，当时，， ， 解得，（舍去）， 的长是． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若函数是反比例函数，则____． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数满足的次数为，且系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 12. 若，则的角度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，无人机着陆后滑行___秒才能停下来． 【答案】20 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s取得最大值时的t的值即可得． 【详解】解：∵，， ∴当t＝20时，s取得最大值100， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为6，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到 ，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=x m，CF=x m，求出x=10，则BH=DF=+30，CF=m，DH=BF，再求出AH=，即可求解． 【详解】 解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H， ∴DH=BF，BH=DF， ∵斜坡的斜面坡度i=1：， ∴， 设DF=x m，CF=x m， ∴CD=， ∴x=10， ∴BH=DF=10m，CF=m， ∴DH=BF=+30（m）， ∵∠ADH=30°， ∴AH=（m）， ∴AB=AH+BH=（m）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16. 如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角锐角函数值的混合运算： （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． （1）请求出这个反比例函数的解析式； （2）蓄电池的电压是多少？ （3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点带入表达式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式即可得到答案； （2）根据电压电流电阻即可求解； （3）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，设， 由图像可知，过点，则， 这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，电压为定值，即（1）中， 蓄电池的电压是； 【小问3详解】 解：由（1）知， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则，解得， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在范围． 【点睛】本题考查反比例函数解实际应用题，读懂题意，正确理解反比例函数模型，并利用函数知识解实际问题是解决本题的关键． 19. 某超市销售一种商品，成本每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，部分数据如表： 售价x(元/千克) 销售量y(千克) （1）求与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为元，则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价为元时获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设，将，、，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题意可得：，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【小问1详解】 解：设， 将，、，代入，得： ， 解得：， ； 【小问2详解】 由题意可得： ， ∴当时，取得最大值为， 答：售价为元时获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 21. 如图，为了测量某建筑物的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度．根据测量员的测量数据， （1）求坡顶D到的距离. （2）求建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出； （2）解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ，在中，米，， ∴，即， 米， 答：坡顶到地面的距离为米； 【小问2详解】 由（1）知，米， 米， 在中，， 是等腰直角三角形， 米， 在中，，， （米， （米． 即建筑物的高度约为米． 22. 已知二次函数y=-x2+2x+m． （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB与这个二次函数的解析式； （3）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？ 【答案】（1）m＞-1；（2）y=-x+3；（3）DE的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点时，△＞0，即可得到结论； （2）把点A（3，0）代入y=-x2+2x+m得到-9+6+m=0得到B（0，3）， 解方程组即可得到结论； （3）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD，得到当DE的值越大时，S△ADB的面积越大，设D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y根据图形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）当抛物线与x轴有两个交点时，△＞0，即4+4m＞0， ∴m＞-1； （2）∵点A（3，0）在抛物线y=-x2+2x+m上， ∴-9+6+m=0，∴m=3． ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，且B（0，3）， 设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b中，得到 ， 解得， ∴直线AB的解析式为y=-x+3； （3）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD， ∵AB为定值，∴当DE的值越大时，S△ADB的面积越大， 设D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y ∴S△ADB=S梯形AGCB-S△BDC-S△ADG， ∴S△ADB=-（y-3）x-（3-x）y=-（x-）2+， ∵a=-＜0， ∴当时，S△ADB的最大值=， 将代入y=-x2+2x+3，得到，即D（，）， 又∵S△ADB=DE•AB，且AB==3， ∴×3DE=． ∴DE=， 答：DE的最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，抛物线上点的坐标特征，勾股定理，确定当DE的值越大时，S△ADB的面积越大是解题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； （3）如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【小问1详解】 解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： 【小问3详解】 如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $