精品解析：云南省昆明仁泽中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

昆明仁泽中学2024—2025学年上学期10月月考 高二数学试卷 命题人：胡树平 审题人：沈正洪 （考试时长：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的向量为，为坐标原点，则为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 5. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A. B. C. D. 3 7. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，直线，则到的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线：（），直线：．下列命题正确的有（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，与都相交 D. ，使得坐标原点到的距离为2 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 的最大值是 C. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点为直线上的动点，则的最小值为______． 13. 已知直线过点和点，则点到直线的距离为____________. 14. 人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 16. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 17. 在长方体中，. （1）证明：平面面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知圆过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值． 19. 已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线． （1）求曲线的方程； （2）若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； （3）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为、，设点在圆上，求点到直线距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明仁泽中学2024—2025学年上学期10月月考 高二数学试卷 命题人：胡树平 审题人：沈正洪 （考试时长：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图可得阴影部分表示,进而利用交集的定义求解即可 【详解】由题,,由图,图中阴影部分表示, 所以, 故选:D 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查利用韦恩图求集合 2. 已知复数在复平面内对应的向量为，为坐标原点，则为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由图,,进而由复数的模的定义求解即可 【详解】由图,,所以, 故选:B 【点睛】本题考查复数的模,考查复数在复平面上的表示 3. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 4. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【详解】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 5. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可. 【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3， 从而，圆的半径为 故所求圆的方程为 即 故选：C 6. 已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，为的中点， 所以， 又，则， 所以. 故选：B 7. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则四边形是平行四边形，可得，就是直线和BN所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接，相交于点，连接，则， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以就是直线和BN所成的角， 设正方体的棱长为2， 则， 由余弦定理得. 故选：C. 8. 已知点，直线，则到的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线过定点，由时点线距离最大，再应用两点距离公式求最大值. 【详解】直线可化为， 联立，即直线过定点， 要使到的距离的最大，只需，即距离最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线：（），直线：．下列命题正确的有（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，与都相交 D. ，使得坐标原点到的距离为2 【答案】BD 【解析】 【分析】由斜率相等计算判断AC；由斜率互为负倒数计算判断B；由点到直线距离公式列式计算判断D. 【详解】对于A，当，即时，直线与重合，A错误； 对于B，由，即时，与斜率互为负倒数，，B正确； 对于C，由选项A知，当时，与重合，C错误； 对于D，由，得，，此方程有解，D正确. 故选：BD 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 的最大值是 C. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】 如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A选项正确； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，错误； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点为直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可看成点与定点的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由可看成点与定点的距离， 因为点为直线上的动点， 则点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 13. 已知直线过点和点，则点到直线的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】取直线的一个单位方向向量为，由点到直线的距离公式为，代入运算，即可得解． 【详解】由题意知，直线的一个方向向量为,0,， 取直线的一个单位方向向量为， 又为直线外一点，且直线过点,2,， ， ,,，， 点到直线的距离为． 故答案为：． 14. 人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，    则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 16. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 证明：连接交于点,连接. 因为 所以. 又平面，平面, 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明，原题即得证； （2）证明就是直线与平面所成的角，再解三角形得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 因为平面，所以. 因为，所以. 因为. 因为, 又平面, 所以平面, 所以就是直线与平面所成的角， 由题得 所以直线与平面所成的角为. 17. 在长方体中，. （1）证明：平面面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）因为，所以四边形是正方形，所以， 又四边形是平行四边形，所以，所以， 因为长方体中，平面，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，来证明平面，进而证明平面面； （2）建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，通过求法向量的夹角来得到二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，所以， 设平面的一个法向量为，，， ，取，所以， 故，又二面角是锐角， 所以，二面角的余弦值为. 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中档题． 18. 已知圆过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）设，表示出圆C的标准方程，利用待定系数法计算即可求解； （2）当直线时最小，利用几何法求弦长即可；如图，先证，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，设，则圆C的标准方程为， 又圆C过点， 所以，解得， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，连接，则， 当直线时，最小，此时， 所以的最小值为； 如图， 取弦长的中点，连接，， 则四边形为矩形，， ， 又，所以，， 当且仅当时，等号成立. 所以四边形的面积为， 即四边形面积的最大值为6. 19. 已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线． （1）求曲线的方程； （2）若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； （3）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为、，设点在圆上，求点到直线距离的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，利用两点间的距离公式表示出，，再代入，化简即可； （2）取中点，连接，可求得，再利用点到线的距离公式求解即可； （3）根据四点在以为直径的圆上，可求得直线过定点，作出图象，结合图象可知当为的延长线与圆的交点时，点到直线距离的最大值，求解即可. 【小问1详解】 解：设， 则有， 又因为， 即有， 整理得， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 解：因为，， 取中点，连接， 则且平分， 又因为， 所以， 即圆心到直线的距离为， 由点到线的距离公式可得：， 解得， 所以直线的斜率为； 【小问3详解】 解：因为，所以直线， 设， 由题意可知四点在以为直径的圆上， 所以此圆的方程为， 即， 由，可得， 即， 即直线的方程为：， 所以直线过定点：， 点在圆上， 所以当为的延长线与圆的交点时，点到直线距离的最大值， 此时， 又因为， 所以. 即点到直线距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题第（3）问的关键是求出直线过定点，再数形结合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $