26.2特殊二次函数图象同步练习 2024-2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

26.2特殊二次函数图象同步练习2024-2025学年九年级上册数学沪教版 (1) 二次函数 的图像 要点归纳 1. 函数. 的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，图像的顶点是(0，0). 2. 函数 当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下. 3. 函数. 当a>0时，对称轴的左侧y随x的增大而减小，对称轴的右侧y随x的增大而增大；当x=0时函数y有最小值0. 疑难分析 例1 抛物线 与直线y= 2x-3交于点(1,b). (1)求a和b的值; (2)求抛物线 的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3) 当x取何值时，二次函数. 的y值随x的增大而增大? 例2 如图26-2，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线 CD，这时水面宽度 10米. (1) 在如图26-2所示的坐标中求抛物线的解析式； (2) 若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能到拱桥顶? 基础训练 1. 若抛物线 经过点(1, 2),则a= . 2. 抛物线 开口向 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 . 3. 抛物线 的开口方向向下，则m= . 4. 抛物线 除了点 以外，都位于 上方. 5. 抛物线 与 形状相同，则a的值为 . 6. 函数 是y关于x的二次函数.当m= 时，其图像开口向上；当m= 时，其图像开口向下. 7. 直线y=x与抛物线. 的交点坐标是 . 8. 抛物线.y=-3x²上一点到x轴的距离是3，则该点的横坐标是 . 9. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x²;②y= x²;(③y=x²的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 (填序号). 10. 如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为 当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，此时水面离桥顶的高度h是 米. 11. 在同一坐标系中，作 的图像，它们的共同特点是( ). A. 抛物线的开口方向向上 B. 抛物线的开口方向向下 C. 都是关于x轴对称的抛物线 D. 都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 12. 函数 与 的图像可能是( ). 13. 已知一个二次函数的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线 的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式. 14. 抛物线的顶点为原点，以y轴为对称轴，且经过点. (1) 求这个函数的解析式； (2) 写出抛物线上与点 A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算. 的面积. 拓展训练 15. 如图，若一抛物线 与四条直线. 围成的正方形ABCD 有公共点，求a的取值范围. (2) 二次函数 的图像 要点归纳 1. 使学生能利用描点法作出二次函数 的图像，并能结合图像确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解二次函数. 的图像相对于函数. 的图像而言，只是上下平移. 2. 通过二次函数 与 的对比研究，让学生感受从特殊到一般的思考方法，体会数形相结合的思想. 3. 使学生经历探索二次函数 图像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯. 疑难分析 例1 抛物线 顶点坐标是(0，2)，且形状与 相同，求抛物线的解析式. 例2 如图26-3，卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1:11000的比例图上,跨度AB =5厘米,拱高OC =0.9厘米,线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB.在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1厘米作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标. (1) 求出图中以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域； (2)如果DE与AB 的距离OM=0.45厘米，求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据： 计算结果精确到1米). 基础训练 1. 抛物线 共有的性质是( ). A. 开口向上 B. 对称轴都是y轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点 2. 在函数①中，图像开口大小按题号顺序表示为( ). A. ①>②>③ B. ①>③>② C. ②>③>① D. ②>①>③ 3. 抛物线 是由抛物线 （ ） A. 向上平移2个单位得到的 B. 向下平移2个单位得到的 C. 向上平移3个单位得到的 D. 向下平移3个单位得到的 4. 任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线 如当n=0,±2时,关于这些抛物线有以下结论，其中判断正确的个数是( ). ①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知a<-1,点(a-1,y₁), (a,y₂), (a+1,y₃)都在函数 的图像上，则( ). 6. 已知二次函数 与反比例函数 它们在同一直角坐标系中的图像大致是( ). 7. 填表: 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性 y=-5x²+3 y=7x²-1 8. 函数 是二次函数，当m= 时，其图像开口向下. 9. 若函数 的图像经过点(0, 1),(1, 2),则 10. 把抛物线 向下平移3 个单位得到抛物线 . 11. 将抛物线 的图像绕原点 O 旋转 180°，则旋转后的抛物线解析式是 12. 若抛物线 的顶点在x轴下方，则m的值为 . 13. 若函数 的函数值为5，则自变量x的值应为 . 14. 若二次函数 当x取. 时，函数值相等，则x取. 时，函数的值为 . 15. 若点 P(-1,a)和Q(1, b)都在抛物线 上，则线段PQ的长为 . 16. 已知抛物线的对称轴是y轴，顶点的纵坐标为5，且过点(1，2)，求这条抛物线的解析式为 . 17. 已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是（），且与y轴的交点的纵坐标是 求该抛物线的解析式. 18. 2008年7 月某地区遭受严重的自然灾害，空军某部队奉命赴灾区空投物资.已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A(如图所示)，如果空投物资离开A 处后下落的垂直高度. )米，它到A处的水平距离. 米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点 P 处，飞机到 P 处的水平距离OP 应为多少米? 拓展训练 19. 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C. (1)求A, B,C三点的坐标; (2) 过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. (3) 二次函数y = a(x + m)²的图像 要点归纳 1. 理解并掌握 型二次函数图像的顶点坐标和对称轴的求法，学会确定二次函数的增减性. 2. 掌握抛物线图像左右平移规律. 3. 通过二次函数y=a(x-h)²与 的对比研究让学生感受从特殊到一般的思考方法，体会数形结合的思想. 疑难分析 例1 已知二次函数 (1) 说出抛物线 可以由抛物线 怎样平移得到； (2) 说说函数 有哪些性质. 例2 已知二次函数 的顶点坐标为(--1，0)，且过点 (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 点B(2, -2)在这个函数图像上吗? (3) 你能通过左右平移函数图像，使它过点 B吗? 若能，请写出平移方案. 基础训练 1. 把抛物线y=4(x-2)²向 平移 个单位，就得到函数.y=4(x+2)²的图像. 2. 函数 的最大值为 ，函数 的最大值为 . 3. 若抛物线 的对称轴为x=-3，且它与抛物线 的形状相同，开口方向相同，则点(a，m)关于原点的对称点为 . 4. 把抛物线 向左平移2个单位得到抛物线 ；若将它向下平移2个单位，得到抛物线 . 5. 已知抛物线y=-(x+2)²,当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. 6. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x 的函数关系式为( ). B. y= 50(1-x) 7. 下列命题中，错误的是( ). A. 抛物线 不与x轴相交 B. 抛物线 与 形状相同，位置不同 C. 抛物线 的顶点坐标为 D. 抛物线 的对称轴是直线 8. 顶点坐标为(-5，0)且开口方向、形状与函数 的图像相同的抛物线是( ). 9. 将抛物线向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为( ). 10. 抛物线 的顶点在( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 11. 将二次函数 的图像开口反向，并向上下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y= kx+1有一个交点为(3,4).求: (1) 这条新抛物线的函数解析式； (2) 这条新抛物线和直线y= kx+1的另一个交点. 12. 已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点(2，-2)与( 求此函数解析式. 拓展训练 13. 如图，已知抛物线 的顶点为C，直线与抛物线交于 A，B两点.试求 (4) 二次函数 的图像 要点归纳 1. 结合函数的图像认识抛物线 与抛物线 之间的平移关系，理解和掌握函数 的图像性质. 2. 掌握由抛物线 平移得到抛物线 (a,h,k是常数,a≠0)的方法. 3. 能利用图像确定二次函数 的图像的开口方向、对称轴及顶点坐标. 4. 列表说明函数y=a(x--h)²+k(a,h,k是常数,a≠0)的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标. 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=a(x--h)²+k a<0 向下 直线x=h (h,k) a>0 向上 疑难分析 例 1 说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线 通过怎样的平移得到的. 例2 如图26-4，已知二次函数 的图像经过x轴上点A(1，0)和点 B(3,0),且与y轴相交于点C. (1) 求此二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； (2)求∠CPB的正弦值. 基础训练 1. 二次函数 图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( ). A. 开口向下，对称轴为直线x=--2，顶点坐标为(2，9) B. 开口向下，对称轴为直线x =2，顶点坐标为(2，9) C. 开口向上，对称轴为直线x=--2，顶点坐标为(-2，9) D. 开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(-2，-9) 2. 图像的顶点为(-2，-2)，且经过原点的二次函数是( ). 3. 不论m取任何实数，抛物线. 的顶点都( ). A. 在y=x直线上 B. 在直线y=-x上 C. 在x轴上 D. 在y轴上 4. 已知二次函数 的图像上有 三个点,则y₁, y₂, y₃的大小关系为( ). 5. 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数表达式为 则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( ). A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 60米 6. 将抛物线. 先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是 . 7. 抛物线 的顶点为C，已知y=-kx+3的图像经过点C，则这个一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积为 . 8. 若抛物线 经过点(1, 2) 与点 (1) 求a,b的值; (2)若把此抛物线向右平移3个单位，求此时抛物线的顶点坐标. 9. 将抛物线 先向下平移2个单位，再向左平移2个单位. (1) 求此时抛物线的解析式； (2) 应将此抛物线向右平移多少个单位，才能使所得的抛物线经过原点? 拓展训练 10. 如图，抛物线 向右平移1个单位得到抛物线y₂，，回答下列问题： (1) 求抛物线 y₂ 的顶点坐标； (2) 若再将抛物线 y₂ 绕原点 O旋转180°得到抛物线y₃，求抛物线 y₃的解析式. 11. 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度 BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系，如图所示. (1) 请你直接写出O, A, M三点的坐标; (2) 一艘小船平放着一些长 3米、宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)? 学科网（北京）股份有限公司 $$