26.2 第1课时 二次函数y=ax²的图象和性质（7大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

26.2 第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质 知识点二 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是轴对称图形，对称轴是轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线的顶点是原点. 2. 二次函数的图象的做法 （1） 列表：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2） 描点：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3） 连线：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口向上 开口向下 越大，开口越小 对称性 关于轴对称，对称轴是直线＝0 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最小值＝0 当=0时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最小值； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大. 题型一．二次函数y=ax2的图象 解题技巧提炼 二次函数必须满足的三个条件 (1)表达式是整式; (2)自变量的最高次数是2; (3)二次项系数不为 0. 1．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点　　 A． B． C． D． 【分析】把点坐标代入二次函数解析式可求得的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可． 【解答】解： 二次函数的图象经过点， ，解得， 二次函数解析式为， 当时，，当或时，， 故点在抛物线上， 故选：． 【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 2．如图，、分别为上两点，且线段轴，若，则直线的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的对称性可知点的横坐标为3，代入抛物线解析式可求点的纵坐标，从而可得直线的表达式． 【解答】解：线段轴，且， 由抛物线的对称性可知，点横坐标为3， 当时，， 直线的表达式． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的对称性与点的坐标的关系，关键是根据对称性求点的横坐标． 3．关于二次函数． （1）其图象开口向 　 　，对称轴是 　　，顶点坐标为 　　，当时，随的增大而 　　，当时，随的增大而 　　，当时，有最 　　值，其值是 　　． （2）若，，为函数图象上的三点，则，，的大小关系是 　　． 【分析】利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）， 该图象开口向下，对称轴是轴，顶点坐标为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值，其值是0． 故答案为：下，轴，，减小，增大，小，0． （2）当时，随的增大而增大，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 4.下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 【答案】(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴 (2)函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是 【分析】本题考查了对称轴的性质，二次函数的图形和性质，解题的关键是画出二次函数的图像；（1）画出二次函数的图像，根据轴对称的性质，即可求解；（2）根据图像可以观察出函数的二次函数的最低点和最高点． 【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 4 描点、连线，函数图象如图所示． 这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是轴； （2）函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是． 5．关于二次函数的图象，下列说法错误的是　　 A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图象关于轴对称 【分析】由题意可知中，，，时，开口向上，时，开口向下，由，，可确定出对称轴，据此可判断、的正误；由抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，且在原点处，据此可判断的正误；根据与的图象即可直接判断． 【解答】解：根据二次函数图象可得： 二次函数的图象的形状是一条抛物线，正确； 由可知，它的开口向上，且关于轴对称，正确； 它的顶点坐标是抛物线的最低点，错误； 与的图象关于轴对称，正确． 故选． 【点评】本题考查了二次函数的性质，是最基础的二次函数，牢记其性质是解答本题的关键，难度不大． 6．（易错）已知抛物线与的形状相同，则　　． 【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可． 【解答】解：抛物线与的形状相同， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等． 题型二．二次函数y=ax2的性质 解题技巧提炼 二次函数的性质 当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小． 1．对于函数，下列说法正确的是　　 A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【分析】直接根据二次函数的性质求解． 【解答】解：抛物线， 开口向上，对称轴为轴， 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大． 故选：． 2．关于抛物线，给出下列说法，其中正确的说法有　　 ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上两点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，可得出答案． 【解答】解：， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②对称轴为，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，故③错误； ④若、是该抛物线上两点，则，故④正确． 共有3个正确的， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 3．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是　上升　．（填“上升”或“下降” 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴为轴， 在对称轴左侧随的增大而增大， 抛物线在轴左侧的部分是上升的， 故答案为：上升． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 4．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 　　． 【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， 所以，． 【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 5．二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为 　①③②　（填入编号） 【分析】抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小． 【解答】解：，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小， 二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为①③②． 故答案为：①③②． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小是解题的关键． 6．如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①；②；③的图象，则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是 　①③②　．（按照要求只填写序号） 【分析】二次函数，越大，抛物线的开口越小，根据这一结论判断即可． 【解答】解：， 由里到外的三条抛物线对应的函数分别是：①③②． 故答案为：①③②． 【点评】本题关键在于考查抛物线解析式中二次项系数与抛物线图象的关系，它的正负决定了抛物线的开口方向，它的绝对值的大小决定了抛物线开口的大小． 7．已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）当为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【分析】（1）根据二次函数的定义求出的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值； 【解答】解：（1）函数是关于的二次函数， ，， 解得：，； （2）函数图象的开口向下， ， ， 当时，该函数图象的开口向下； （3）当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， 又或1， 当时，有最小值， 最小值为． 【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键． 8．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． （1）函数有最小值； （2）函数，当时，随着的增大而增大； （3）与的函数图象形状相同； （4）函数的图象是开口向下的抛物线． 【分析】（1）根据二次函数的性质：当时，有最小值，可得，解不等式即可； （2）根据二次函数的性质：当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，得出，解不等式即可； （3）根据二次函数的性质：相等时，函数图象形状相同，得出，解方程即可； （4）根据二次函数的性质：当时，抛物线开口向下，得出，解方程，求出负数即可． 【解答】解：（1）函数有最小值， ， ； （2）当时，函数的函数值随着的增大而增大， ， ； （3）与的函数图象形状相同， ， 或； （4）函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ． 题型三．二次函数y=ax2增减性的应用 解题技巧提炼 比较函数值的大小，可先求出函数值，再比较;也可利用函数的增减性比较;还可利用点与对称轴之间的距离比较. 1．已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】依据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：抛物线， 时，随的增大而减小， ， ； 故选：． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 2．已知点、、在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断，，之间的关系，再判断即可． 【解答】解：．，因为，所以随的增大而增大，所以，不符合题意； ．，当和时，相等，即，故不符合题意； ．，当时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，所以，不符合题意； ．，当时，随的增大而增大，时，随的增大而增大，所以，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断的大小． 3．二次函数在其图象对称轴右侧，随值的增大而增大，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数在其图象对称轴右侧，随值的增大而增大和二次函数的性质可以求得的值． 【解答】解：二次函数在其图象对称轴右侧，随值的增大而增大， ， 解得，， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 题型四．二次函数y=ax2对称性的应用 解题技巧提炼 1. 关于轴对称，对称轴是直线＝0 2. 对称点问题汇总： ①关于x轴对称，x坐标不变，y坐标互为相反数； ②关于y轴对称，y坐标不变，x坐标互为相反数； ①关于原点对称，x坐标与y坐标都互为相反数. 1．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则　 　． 【分析】由函数的解析式可知函数的对称轴为，从而得出的值． 【解答】解：由函数可知这个函数的对称轴为， 点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， 对称轴， ． 故答案为1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图象上所经过的点，均能满足该函数的解析式． 2．若点在抛物线上， 则点关于轴对称点的坐标是　　． 【分析】把点的横坐标代入抛物线解析式求得纵坐标， 进而让纵坐标相等， 横坐标互为相反数， 即可求得点关于轴对称点的坐标 ． 【解答】解： 点的纵坐标为：， 所求的点与点关于轴对称， 所求的点的横坐标为，纵坐标为 4 ， 点关于轴对称点的坐标是． 故答案为：． 【点评】用到的知识点为： 点在函数图象上， 点的横纵坐标就适合这个函数解析式；两点关于轴对称， 纵坐标相等， 横坐标互为相反数 ． 3．若点在抛物线上，则点关于原点对称点的坐标是　　． 【分析】首先把点坐标代入中可得的值，进而可得点坐标，然后再根据关于原点对称点的坐标特点可得答案． 【解答】解：点在抛物线上， ， ， 点关于原点对称点的坐标是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 4．已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是 　　． 【分析】根据抛物线，可以计算出点的纵坐标，写出抛物线的对称轴，再根据点与点关于此抛物线的对称轴对称，即可得到点的坐标． 【解答】解：点在抛物线上，点的横坐标是， 点的纵坐标为：，该抛物线的对称轴为直线， 点的坐标为， 点与点关于此抛物线的对称轴对称， 点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为　　． 【分析】将点的坐标代入，可得出的值，函数的对称轴为轴，从而得出点的坐标． 【解答】解：将点得，， 解得：，则，对称轴为轴， 故点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图象上所经过的点，均能满足该函数的解析式． 6．（易错）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为 　． 【分析】根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【解答】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，． 结合图象，可得当时，的取值范围是． 题型五．二次函数y=ax2与一次函数的图象共存问题 解题技巧提炼 排除法--解两种图象共存题的捷径 解答两个函数图象在同一平面直角坐标系中的问题时，可以分系数大于0与系数小于0两种情况讨论，并结合一些特殊点来排除选项;也可以直接分析每个选项,逐一排除有矛盾的选项. 1．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除、，然后根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象进行判断． 【解答】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除、； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象，掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系是关键． 2．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除，然后根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象进行判断． 【解答】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，排除； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由二次函数图象的开口及与轴交点的位置可确定的正负，再利用一次函数经过的象限确定的正负，对比后即可得出结论． 【解答】解：， 一次函数图象经过点，故、不合题意； 、由二次函数的图象开口向上，可知，由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，结论一致，选项符合题意； 、由二次函数的图象开口向下，可知，由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，结论矛盾，选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图象找出每个选项中的正负是解题的关键． 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以、错误，正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以错误． 解法二：项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与轴的交点，知，故不符合题意； 项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故符合题意； 项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故不符合题意； 项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 题型六．（重点）二次函数y=ax2几何问题 解题技巧提炼 浅谈二次函数y=ax2几何问题涉及的几个知识点解题技巧 （1） 求两点所在直线解析式方法：待定系数法.即先定两点的坐标，再根据待定系数法求待敌系数，最后求得直线的解析式； （2） 求三角形面积2种不同方法： ①与坐标轴平行（或垂直）→切割三角形，分成小三角形面积相加； ②与坐标轴不平行（或垂直）→作铅锤高、水平高，可以切割成共底（或共高）的小三角形面积相加或组合成四边形减其他多余部分图形面积求解. （3） 面积和差倍问题：将不同的三角形通过平行线或平移转化成平行线问题，根据等底等高或对称去求解. （4） 等腰三角形的存在性问题： 所需工具：直尺和圆规 要知道等腰三角形实际是垂直平分线与对称图形的产物，找等腰三角形的点问题，题目一般会给出2个确定点和一个动点，遵循“先易后难”原则： 先易：先讨论两个顶点分别是顶点时，即以一个顶点为圆心，另一个顶点到该顶点的长度为半径画圆，其弧与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 后难：动点为顶点时候，我们一般结合垂直平分线的性质，即把已知2点作为线段，作垂直平分线，其垂直平分线与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 1．已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中，求： （1）求和． （2）求点坐标． （3）△的面积． 【分析】（1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【解答】解：（1）一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； （2）由一次函数与二次函数联立可得， 解得或， ， ； （3）在中，令，得， ， ， ． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． 2．已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中． （1）求点的坐标． （2）直接写出当为何范围时，一次函数值大于二次函数值？ （3）在轴上是否存在点，使的面积是4，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【分析】（1）根据待定系数法求得两个函数解析式，再联立方程组，解方程组即可求得的坐标； （2）根据图象解答即可； （3）设，过点作轴于点，过点作轴于点，根据三角形的面积列出方程求得便可． 【解答】解：（1）过点， ， 解得， 二次函数的解析式为：， 一次函数的图象相过点， ， 解得， 一次函数的解析式为：， 联立方程组， 解得或， 的坐标为； （2）由图象可得，一次函数图象在二次函数图象上方时，或， 当或时，一次函数值大于二次函数值； （3）设，当点在轴右侧时，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，， ， 解得， ，． 当点在轴左侧时，同理可求点，， 综上所述：点的坐标为，或，． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是正确地求出点的坐标． 3．如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、4，直线与轴交于点，连接、． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 　　个． 【分析】（1）由抛物线的解析式求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的解析式求得的坐标，然后根据，利用三角形面积公式即可求得； （3）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时△的面积、△的面积、△的面积和△的面积都等于的面积的一半． 【解答】解：（1）点、在的图象上，、的横坐标分别为、4， ，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （2）在中，令，则， 的坐标为， ， ． （3）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，此时△的面积和△的面积等于的面积的一半， 作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时△的面积和△的面积等于的面积的一半， 所以这样的点共有4个， 故答案为4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 4．如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点（在第一象限内）使得，求点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的解析式为，把，代入后求出，的值即可得出的解析式；将代入求出即可得出抛物线解析式； （2）需要分类讨论：，，，利用线段的长度来求点的坐标； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，，利用三角形面积公式列出方程，然后解出的值即可得到点坐标． 【解答】解：（1）设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； （2）， ， ①当时，或； ②当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点． 设， ， 解得：， ． ③当时， ； 解得：（舍去）或， ； 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或； （3）联立得， 解得：， ， ， 设，， ， ， 解得：或（舍去）， ． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，面积问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想解决问题． 5．函数与直线交于． （1）求和的值； （2）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴； （3）取何值时，二次函数中随的增大而增大？ （4）求抛物线和直线的两个交点与抛物线顶点所构成的三角形的面积． 【分析】（1）把代入求得，再代入即可求得； （2）根据解析式即可求得顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数的性质求得即可； （4）先求得交点坐标，根据三角形的面积公式求得即可． 【解答】解：（1）直线经过． ， 函数与直线交于． 把代入得，； （2）， 抛物线为， 抛物线的顶点为，对称轴是轴； （3），开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 时，二次函数中随的增大而增大； （4）把代入得，， ， ． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 题型七．新定义与数学建模 解题技巧提炼 （1） 新定义问题先厘清是图象型还是文字概念型，图象型要注意数形结合，文字型要细读概念，来龙去脉以及概念传递目的是什么，再结合例子进行体会概念的运用，也需要数形结合分析； （2） 数学建模是将实际问题转化成二次函数模型来分析解决问题. 1．定义运算“”为：，如：，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义运算“”为：，可得的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象． 【详解】解：， 时，图象是对称轴右侧的部分；时，图象是对称轴左侧的部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“”为：得出分段函数是解题关键． 2．定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：画出函数与函数的图象， 则两个函数的图象的公共点的横坐标就是方程的根， 根据图象可知两个函数的图象共有两个公共点， 其中一个点是， 另一个点也在第三象限，且纵坐标为， 令 解得：（舍去）， ∴两个函数图象的公共点是， ∴方程的解为 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 3．定义：叫做函数的“罗斯函数”．比如：就是的“罗斯函数”．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．根据上面的定义和提示，解答下列问题： (1)的图象的对称轴是　　； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出的“罗斯函数”的大致图象； (3)若直线与轴交于点A，与轴交于点，与的“罗斯函数”图象交于、两点，过点作DE⊥x轴，垂足为点，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，若△AFC与△AED的面积比为1：4，求的值． 【答案】(1)x轴 (2)见解析 (3)±1 【分析】（1）若点在函数的图象上，则点也在其图象上，再结合题意即可得出答案； （2）根据“罗斯函数”的定义即可得出的“罗斯函数”为，再根据描点法画出其图象即可； （3）根据题意易证，根据三角形面积比等于相似比的平方即得出，从而得出．又可求A坐标为(4，0)．设C()，D()，则，，代入，即得出．最后根据C、D在的图象上，得出，由此即可求出a和k的值． 【详解】（1）解：若点在函数的图象上， 则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于x轴对称． 故答案为：x轴； （2）的“罗斯函数”为， ∴可画出其图象大致如下： （3）如图，根据题意可知，， ∴， ∴， ∴． 对于，令，则， ∴A(4，0)． 设C()，D()， 则，， ∴，整理得：． ∵， ∴， 得： 解得：． ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解题意，掌握“罗斯函数”的概念．灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 4．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： （1）的图象关于 　　轴对称； （2）①直接写出函数的伴随函数的表达式 　　； ②在如图①所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； （3）若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且△的面积为12，求的值； 【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； （3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案． 【解答】解：（1）点和点都在的图象上， 的图象关于轴对称， 故答案为：； （2）①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式； ②在中， 当时，； 当时，， 当时，， 描点连线绘制函数图象如下： 故答案为：； （3）由，消去得到， ，， ， 在中，令，则， 解得， ， ，即， 解得：． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 5．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响可以用汽车行驶速度来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据： 0 1 2 3 4 0 2 8 18 32 （1）请根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出坐标所对应的点，并用光滑的曲线将各点连接起来； （2）根据下表中数据呈现的规律，请你直接写出用表示的函数关系式 　　； 1 2 3 4 （3）当汽车的速度分别是，时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？ 【分析】（1）根据表中给出的数据，作出图象即可； （2）根据表中的数据为定值即可列出二次函数关系式； （3）将，代入二次函数关系式，求出的值即可． 【解答】解：（1）如图： （2）， 即； 故答案为：； （3）时，， 时，． 答：当汽车的速度分别是，时，击影响分别是4.5，40.5． 【点评】本题考查了二次函数的应用，要注意培养学生读图、读表格，从中得到解题信息的能力，本题难度一般． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2 第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质 知识点二 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是轴对称图形，对称轴是轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线的顶点是原点. 2. 二次函数的图象的做法 （1） 列表：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2） 描点：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3） 连线：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口向上 开口向下 越大，开口越小 对称性 关于轴对称，对称轴是直线＝0 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最小值＝0 当=0时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最小值； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大. 题型一．二次函数y=ax2的图象 解题技巧提炼 二次函数必须满足的三个条件 (1)表达式是整式; (2)自变量的最高次数是2; (3)二次项系数不为 0. 1．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点　　 A． B． C． D． 2．如图，、分别为上两点，且线段轴，若，则直线的表达式为　　 A． B． C． D． 3．关于二次函数． （1）其图象开口向 　 　，对称轴是 　　，顶点坐标为 　　，当时，随的增大而 　　，当时，随的增大而 　　，当时，有最 　　值，其值是 　　． （2）若，，为函数图象上的三点，则，，的大小关系是 　　． 4.下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 5．关于二次函数的图象，下列说法错误的是　　 A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图象关于轴对称 6．（易错）已知抛物线与的形状相同，则　 　． 题型二．二次函数y=ax2的性质 解题技巧提炼 二次函数的性质 当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小． 1．对于函数，下列说法正确的是　　 A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 2．关于抛物线，给出下列说法，其中正确的说法有　　 ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上两点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是　 　．（填“上升”或“下降” 4．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 　 　． 5．二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为 　 　（填入编号） 6．如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①；②；③的图象，则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是 　 　．（按照要求只填写序号） 7．已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）当为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 8．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． （1）函数有最小值； （2）函数，当时，随着的增大而增大； （3）与的函数图象形状相同； （4）函数的图象是开口向下的抛物线． 题型三．二次函数y=ax2增减性的应用 解题技巧提炼 比较函数值的大小，可先求出函数值，再比较;也可利用函数的增减性比较;还可利用点与对称轴之间的距离比较. 1．已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是　　 A． B． C． D． 2．已知点、、在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是　　 A． B． C． D． 3．二次函数在其图象对称轴右侧，随值的增大而增大，则的值为　　 A． B． C． D． 题型四．二次函数y=ax2对称性的应用 解题技巧提炼 1. 关于轴对称，对称轴是直线＝0 2. 对称点问题汇总： ①关于x轴对称，x坐标不变，y坐标互为相反数； ②关于y轴对称，y坐标不变，x坐标互为相反数； ①关于原点对称，x坐标与y坐标都互为相反数. 1．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则　 　． 2．若点在抛物线上， 则点关于轴对称点的坐标是　 　． 3．若点在抛物线上，则点关于原点对称点的坐标是　 　． 4．已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是 　 　． 5．若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为　 　． 6．（易错）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为　 　． 题型五．二次函数y=ax2与一次函数的图象共存问题 解题技巧提炼 排除法--解两种图象共存题的捷径 解答两个函数图象在同一平面直角坐标系中的问题时，可以分系数大于0与系数小于0两种情况讨论，并结合一些特殊点来排除选项;也可以直接分析每个选项,逐一排除有矛盾的选项. 1．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 2．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致可能是　　 A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 题型六．（重点）二次函数y=ax2几何问题 解题技巧提炼 浅谈二次函数y=ax2几何问题涉及的几个知识点解题技巧 （1） 求两点所在直线解析式方法：待定系数法.即先定两点的坐标，再根据待定系数法求待敌系数，最后求得直线的解析式； （2） 求三角形面积2种不同方法： ①与坐标轴平行（或垂直）→切割三角形，分成小三角形面积相加； ②与坐标轴不平行（或垂直）→作铅锤高、水平高，可以切割成共底（或共高）的小三角形面积相加或组合成四边形减其他多余部分图形面积求解. （3） 面积和差倍问题：将不同的三角形通过平行线或平移转化成平行线问题，根据等底等高或对称去求解. （4） 等腰三角形的存在性问题： 所需工具：直尺和圆规 要知道等腰三角形实际是垂直平分线与对称图形的产物，找等腰三角形的点问题，题目一般会给出2个确定点和一个动点，遵循“先易后难”原则： 先易：先讨论两个顶点分别是顶点时，即以一个顶点为圆心，另一个顶点到该顶点的长度为半径画圆，其弧与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 后难：动点为顶点时候，我们一般结合垂直平分线的性质，即把已知2点作为线段，作垂直平分线，其垂直平分线与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 1．已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中，求： （1）求和． （2）求点坐标． （3）△的面积． 2．已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中． （1）求点的坐标． （2）直接写出当为何范围时，一次函数值大于二次函数值？ （3）在轴上是否存在点，使的面积是4，若存在，求出 点的坐标，若不存在，请说明理由？ 3．如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、4，直线与轴交于点，连接、． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 　　个． 4．如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求 出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点（在第一象限内）使得，求点坐标． 5．函数与直线交于． （1）求和的值； （2）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴； （3）取何值时，二次函数中随的增大而增大？ （4）求抛物线和直线的两个交点与抛物线顶点所构成的三角形的面积． 题型七．新定义与数学建模 解题技巧提炼 （1） 新定义问题先厘清是图象型还是文字概念型，图象型要注意数形结合，文字型要细读概念，来龙去脉以及概念传递目的是什么，再结合例子进行体会概念的运用，也需要数形结合分析； （2） 数学建模是将实际问题转化成二次函数模型来分析解决问题. 1．定义运算“”为：，如：，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为 ． 3．定义：叫做函数的“罗斯函数”．比如：就是的“罗斯函数”．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．根据上面的定义和提示，解答下列问题： (1)的图象的对称轴是　　； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出的“罗斯函数”的大致图象； (3)若直线与轴交于点A，与轴交于点，与的“罗斯函数”图象交于、两点，过点作DE⊥x轴，垂足为点，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，若△AFC与△AED的面积比为1：4，求的值． 4．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： （1）的图象关于 　 　轴对称； （2）①直接写出函数的伴随函数的表达式 　　 ； ②在如图①所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； （3）若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且△的面积为12，求的值； 5．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响可以用汽车行驶速度来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据： 0 1 2 3 4 0 2 8 18 32 （1）请根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出坐标所对应的点，并用光滑的曲线将各点连接起来； （2）根据下表中数据呈现的规律，请你直接写出用表示的函数关系式 　 　； 1 2 3 4 （3）当汽车的速度分别是，时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$