25.3解直角三角形（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制）数学九年级第一学期

25.3解直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 解直角三角形的定义 由直角三角形中已知的边和角，求出所有未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。 解直角三角形的依据 1. 三边关系：勾股定理，即a²+b²=c²（其中a、b为直角边，c为斜边） 2. 锐角关系：直角三角形两锐角互余，即∠A+∠B=90° 3. 边角关系：锐角三角函数（sinα、cosα、tanα） 解直角三角形的基本类型及解法 1. 已知两边 · 已知两直角边（a、b）：先用勾股定理求斜边c=√，再用tanA= 求∠A，最后由∠B=90°-∠A求∠B · 已知一直角边和斜边（如a、c）：先用勾股定理求另一直角边b=，再用sinA=求∠A，最后由∠B=90°-∠A求∠B 2. 已知一边和一锐角 · 已知一直角边和一锐角（如a、∠A）：由∠B=90°-∠A求∠B，再用sinA=求斜边c=，用tanA=求另一直角边b= · 已知斜边和一锐角（如c、∠A）：由∠B=90°-∠A求∠B，再用a=c·sinA、b=c·cosA求两直角边a、b 型 习 练 题 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短求出AD的取值范围是解题关键． 过点作，求出的取值范围即可解答． 【详解】解：过点作，如图： ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵线段长为正整数， ∴为或或或，共4个数； 当为时，点D与重合，只有一条线段； 当为时，可在点的左右两边，有两条线段； 当为时，在点的左边，只有一条线段； 当为时，在点的左边，只有一条线段； ∴一共有条线段； 故选：C． 2．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 根据，构造直角三角形，过点作于点，过点作于点，由是等腰三角形，利用“三线合一”的性质可证明，根据相似三角形的性质建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图： ， ， 设，，则 在中， ，即 在中，由勾股定理得 联立 解得：， ． 故选：D． 3．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 4．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 5．如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，图形翻折的应用，等边三角形和菱形的性质，通过连接，证明四边形为菱形，从而得出四边相等，对角相等，再利用可推出，已知，在利用余弦定义可知的长度即为折痕的长度． 【详解】解：如图：连接， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵四边形沿翻折成四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 解非直角三角形 6．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 7．田远同学从家里沿北偏西方向走到商场购买文具，再从商场向正南方向到学校，田远同学的家离学校（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意画出图形，然后解直角三角形可得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过A作于D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 答：田远同学的家离学校． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 8．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 9．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 10．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可. 【详解】 如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形， ∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 构造直角三角形求不规则图形 11．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 13．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 14．如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案． 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB， ∴， 在Rt△ADE中， ∵ AD = 8米，坡角α =30°， DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角β = 45°， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）    A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案． 【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3， 由勾股定理可得：， ∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4， ∴， 又∵BB’=3，A’C’= 3， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3解直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 解直角三角形的定义 由直角三角形中已知的边和角，求出所有未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。 解直角三角形的依据 1. 三边关系：勾股定理，即a²+b²=c²（其中a、b为直角边，c为斜边） 2. 锐角关系：直角三角形两锐角互余，即∠A+∠B=90° 3. 边角关系：锐角三角函数（sinα、cosα、tanα） 解直角三角形的基本类型及解法 1. 已知两边 · 已知两直角边（a、b）：先用勾股定理求斜边c=√，再用tanA= 求∠A，最后由∠B=90°-∠A求∠B · 已知一直角边和斜边（如a、c）：先用勾股定理求另一直角边b=，再用sinA=求∠A，最后由∠B=90°-∠A求∠B 2. 已知一边和一锐角 · 已知一直角边和一锐角（如a、∠A）：由∠B=90°-∠A求∠B，再用sinA=求斜边c=，用tanA=求另一直角边b= · 已知斜边和一锐角（如c、∠A）：由∠B=90°-∠A求∠B，再用a=c·sinA、b=c·cosA求两直角边a、b 型 习 练 题 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 3．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 5．如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 解非直角三角形 6．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 7．田远同学从家里沿北偏西方向走到商场购买文具，再从商场向正南方向到学校，田远同学的家离学校（　　） A． B． C． D． 8．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 9．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 10．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 构造直角三角形求不规则图形 11．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 14．如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）    A．15 B．18 C．20 D．22 学科网（北京）股份有限公司 $