精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试题

塘沽一中教育集团2024－2025学年度第一学期期中检测试卷 八年级数学 本试卷分为第I卷（选择题共36分）和第Ⅱ卷（非选择题共84分）两部分，试卷满分120分、考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、座位号填写在“答题卡”上，答题圆时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小颔，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的四个汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的三边长分别是2，8，，则的取值可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 3. 如图，中的边上的高是（ ） A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（ ） A. 点A到x轴的距离为3 B. 点A与点关于x轴对称 C. 点A与点关于y轴对称 D. 点A在第二象限 5. 如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知点分别是的中点，且的面积为6，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 80 9. 如图，在四边形中，，点在边上，连接，．若，平分，则图中一定与相等的角（除去）有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 第II卷（非选择题共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 我国建造的港珠澳大桥全长千米，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索的建设运用的数学原理是________． 14. 若一个边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 15. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 16. 如图，若，则_______°． 17. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________． 18. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共计66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请画出关于轴对称的 （2）直接写出，，三点的坐标：，． （3）求的面积． 20. 如图，．求证：． 21. 如图，在在中，是边上的高，． （1）求的度数： （2）若是的角平分线，交于点F，求的度数． 22. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 23. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长； （2）若，，求的度数． 24. 如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图1，当点在线段的中点时，，； （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由． 25. 已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． （1）观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ （2）探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． （3）拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中教育集团2024－2025学年度第一学期期中检测试卷 八年级数学 本试卷分为第I卷（选择题共36分）和第Ⅱ卷（非选择题共84分）两部分，试卷满分120分、考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、座位号填写在“答题卡”上，答题圆时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小颔，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的四个汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项A的图形可以沿一条直线折叠使得直线两旁的部分能够互相重合． 故A选项是轴对称图形． 故选：A． 2. 若三角形的三边长分别是2，8，，则的取值可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件：任两边的和大小第三边；根据此条件，确定m的范围即可完成解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴满足题意；A、B、D不符合题意， 故选：C． 3. 如图，中的边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义即可解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高． 【详解】解：中的边上的高是， 故选：A． 4. 在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（ ） A. 点A到x轴的距离为3 B. 点A与点关于x轴对称 C. 点A与点关于y轴对称 D. 点A在第二象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握点的坐标与图形位置是解答本题的关键． 按照点在坐标平面内的特征以及有关对称点的性质求解即可． 【详解】解：A、点A的坐标为，则点A到x轴的距离为4，故本选项不符合题意； B、点A的坐标为关于x轴的对称点为，故本选项不符合题意； C、点A的坐标为关于y轴的对称点为，故本选项不符合题意； D、点A的坐标为，则点A在第二象限，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，再根据平分得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．直接用一个未知数表示出，，的度数，再利用三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， 设，，， ， ， 解得：， 的度数为：． 故选：B 8. 如图，在中，已知点分别是的中点，且的面积为6，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线平分三角形的面积，由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则，再求出，，，然后利用，数形结合，熟记三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解决问题的关键． 【详解】解：点为的中点，的面积为， ，则， 是的中点， ， 点为的中点， ，， ， 故选：C． 9. 如图，在四边形中，，点在边上，连接，．若，平分，则图中一定与相等的角（除去）有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等．利用等角的余角相等得到，利用角平分线的定义，求得，得到，据此即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 综上，图中一定与相等的角（除去）有2个， 故选：B． 10. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 11. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质及中点的定义得到，，，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 12. 如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平分，得到，可以证明，故①正确；根据，，，得到，可得到②正确；根据，，可得到③正确； 证明，可④错误． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵ ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，大角对大边原理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第II卷（非选择题共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 我国建造的港珠澳大桥全长千米，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索的建设运用的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示，有三角形构成，结合三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：根据图示，运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 ． 14. 若一个边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，根据多边形外角和定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ． 故答案为：8． 15. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况： 当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是； 当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 16. 如图，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理得到，然后根据三角形内角和定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，设交于F，交于， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________． 【答案】32 【解析】 【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得:∠B₁A₁A₂=60°，A₁B₁=A₁A₂，再利用外角定理求∠OB₁A₁= 30°，则∠MON=∠OB₁A₁，由等角对等边得: B₁A₁=OA₁=1，得出△A₁ B₁A₂的边长为1，再依次同理得出:△A₂B₂A₃的边长为2，△A3B3A4的边长为 2²=4，△A4B4A5的边长为2³=8， 则△A5B5A6的边长为24=16, △A6B6A7的边长为25=32． 【详解】∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°． ∴∠OA1B1＝120°． ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°． ∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1． 又∵∠A1B1A2＝60°， ∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°． ∵△A2B2A3是等边三角形， ∴∠B2A2A3＝60°．∴∠B1A2B2＝60°．∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°． ∴A2B2＝2B1A2＝2． 同理得出B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4． 以此类推，A6B6＝32B1A2＝32． 故答案为：32 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和外角定理，难度不大，需要运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，并总结规律，才能得出结论． 18. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 三、解答题（本大题共7个小题，共计66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请画出关于轴对称的 （2）直接写出，，三点的坐标：，． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）2，3，3，1，， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可； （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，，，． （3）求的面积． 20. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ，即． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 先根据，得出，再根据，即可证明． 【详解】略 21. 如图，在在中，是边上的高，． （1）求的度数： （2）若是的角平分线，交于点F，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义： （1）根据三角形内角和定理，可得，再根据三角形高的定义，则由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 22. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明： ， ， ， ， 和是直角三角形， ，， 又有， ， ∵， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据得，再根据垂直定义得，进而根据直角三角形的两个锐角互余得，，由此得，则，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键． 【详解】略 23. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为，的周长为，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用三角形全等的性质可得答案； 【小问1详解】 解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； 【小问2详解】 ，， ， 在和中， ， ， ， ． 24. 如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图1，当点在线段的中点时，，； （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【答案】（1）3， （2） 证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （3） 解：，理由如下： 由（2）可知，， ， 是等边三角形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长； （2）根据等边三角形的性质，即可证明； （3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 点在线段的中点， ， ， 故答案为：3，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． （1）观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ （2）探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． （3）拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论还成立， 理由如下：如图2，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （3） 解：． 理由如下：如图3，作于点D， 同（2）可证， ∴， 点P在的角平分线上，且于C， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （2）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （3）仿照（2）的解法得出，从而得出，再根据得出，得出，继而得出结论． 【小问1详解】 解：作于点D，如图， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $