福建省华安县第一中学2024-2025学年高三上学期10月期中联考数学试题

华安一中2025届高三上学期10月联考数学试题 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 4．已知平面向量满足:，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 6．已知函数的最大值是，为的一个极大值点，则（    ） A． B． C． D． 7．设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 8．将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 10．已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是定义在上的奇函数，则 . 13．已知，，，则 . 14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15（13分）．已知的内角的对应边分别为，且． (1)求角A； (2)若的面积为，周长为15，求． 16（15分）．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 17（17分）．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18（17分）．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 19（17分）．已知函数，，其中，. (1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论函数的单调性： (3)若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C【详解】由，可得：，所以的共轭复数是.故选：C. 2．C【详解】因为，所以，解得或， 故或，又，所以. 故选：C 3．B【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立.所以在上恒成立， 所以，因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即实数的最大值为.故选：B. 4．B【详解】由题意可得，又，且，所以，所以与的夹角为.故选：B. 5．D【详解】由，可得，则， 则.故选：D. 6．A【详解】， 因为函数的最大值是，所以，又，解得， 所以，，因为为的一个极大值点，所以， 所以，.故选：A. 7．C【详解】因为且， 所以，故，结合，解得.故选：C. 8．A【详解】将函数图象向右平移后，可得平移后的解析式为，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，可得，由方程，可得，所以， 因为，所以，因为方程在内有两不等实根，所以，所以，所以.故选：A. 9．ACD【分析】对于A，因为，， 则，解得，故A正确；对于B，因为，则，解得，所以，解得，故B错误； 对于C，因为， 而，当且仅当反向时，等号成立，此时，解得或，当，同向，舍去； 当，满足反向；故C正确； 对于D，若，则，即，所以，则 ，故D正确.故选：ACD 10．ABD 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 11．ABD【详解】由图可得：，又因为，所以，又，所以，所以，将代入得，即，即，又，所以，所以， 对于A，最小正周期，故A正确； 对于B，令，解得， 可得的单调递增区间为， 当时，单调递增区间为，故B正确；对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为，故C不正确； 对于D， ， 所以函数的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 12．【详解】依题意函数是定义在上的奇函数， 所以，，， 恒成立，所以，所以.故答案为： 13．【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 故答案为：. 14．8 【详解】因为，所以，而角为三角形内角，所以，    由，，所以， 化简得到，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最小值为8.故答案为：8. 15．【详解】（1）因为，． 由正弦定理得，则， 即． 在中，，故． 因为，所以．.....................6分 （2）因为的面积为， 所以，得．...................9分 由余弦定理得，则．又，所以，解得．....................13分 16【详解】（1）依题意， ，因此函数的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间是......................6分 （2）由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 由正弦定理，得， 因此， 由，得，则，于是， 所以面积的取值范围为......................15分 17．【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即......................6分 （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为；.....................15分 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为....................15分 18．【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以，因为，所以；.....................4分 （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得，且， 所以 ；....................10分 （3）因为，是角平分线，即， 因为，所以，由正弦定理可知，所以，所以， 整理可得，即， 又因为，且，即， 解得.....................17分 19．【详解】（1）令， 由题意，. 由已知得，解得， 此时， 易知在区间上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极小值，因此.....................4分 （2）由题意，其中，， ①当，即，在上单调递减，在上单调递增. ②当，即，则在上单调递减. 综上，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为......................10分 （3）当时，由（2）可知当时，函数取得最小值， 即，由，可得在上单调递增， 即当时，，对任意，当时，不等式恒成立，则必有，即，解得， 所以k的取值范围是......................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$